Статический анализ оптимального алгоритма обнаружения
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
p>
Согласно общей формуле умножения вероятностей
, ,
и выражая совместные вероятности через условные, имеем :
,
где - априорная вероятность наличия сигнала ;
- априорная вероятность отсутствия сигнала ;
- условная вероятность неполучения сигнала при наличии сигнала , т.е. вероятность пропуска сигнала, которую можно выразить через условную вероятность получения сигнала - ;
, т.к. получение и неполучение сигнала составляет определенную группу случайных событий;
- условная вероятность получения сигнала при отсутствии , т.е. вероятность ошибочного обнаружения.
Если подставить в выражение для значения , получим
.
будет минимальным, если второй член в правой части равенства по абсолютной величиной будет равняться третьему члену или будет большим его.
Итак, условие минимума среднего риска имеет вид:
,
Или
.
После получения сигнала выражения и являются функциями правдоподобия.
Отношение является порогом обнаружения, а неравенство
(1.4)
является оптимальным критерием обнаружения.
Решение относительно обнаружения принимается, если выполняется неравенство (1.4). При применении этого критерия средние затраты имеют минимальное значение. Если ?0 выбирается, исходя из заданной вероятности ошибочного обнаружения, то (1.4) является критерием Неймана - Пiрсона.
1.2.3 Задача оценки параметров
При обнаружении траекторий рассматриваются дискретные события. В то же время траектории являются беспрерывными величинами. Поэтому при решении задачи оценки используется совместная плотность распределения вероятности . Функция потерь также беспрерывная и часто подается квадратичной зависимостью
, (1.5)
где Z - истинное значение параметра;
- его оценка (решение относительно значения параметра);
?- - абсолютная ошибка оценки параметра;
С- коэффициент нормирования.
По результатам опыта в содержится информация о параметре .
В данном случае средний риск
.
Используя равенство и считая фиксированным после попытки, достаточно для получения решающего правила минимизировать интеграл .
Откуда и (1.6)
так как .
Таким образом, для квадратичной функции потерь оценкой параметра является его математическое ожидание.
При несимметричной функции оценка совпадает с абiиссой центра масс плоской фигуры, которая заключена под кривой , как показано на рис. 1.2. Тем не менее, часто кривую считают симметричной с выраженным максимумом, поэтому оценка сохраняется с абiиссой максимума (рис.1.3).
Поскольку функция - это условная апостериорная плотность вероятности значений параметров при условии, которое в результате попытки получим , то метод получения оценки параметра в данном случае называется методом максимума апостериорной вероятности.
Функция может быть получена из равенства
и выражается через другие функции таким образом:
, (1.7)
где и - безусловные плотности распределения вероятностей значений параметров и результатов величины ;
- функция правдоподобия или послеопытное значение условной плотности вероятности , когда в результате попытки зафиксировано , и рассматривается как функция от параметра , который оценивается.
Если распределение и неизвестны, то их считают постоянными, так как в этом случае условная апостериорная плотность распределения вероятности отличается от функции правдоподобия только на величину постоянного множителя, вид функции одинаковый и метод максимума апостериорной вероятности совпадает с методом максимума правдоподобия.
Математическое формулировка метода максимума правдоподобия выражается формулой:
, (1.8)
где - функция правдоподобия.
Если измерения независимые, то метод максимума правдоподобия является методом наименьших квадратов. Все перечисленные методы являются оптимальными, поскольку учитывают все статические характеристики случайных величин, которые принимают участие в обработке.
1.3 Дискретизация и квантование радиолокационных сигналов
В последнее время значительное распространение получила некогерентная обработка, когда обработке подлежит принятый сигнал, котоырый является видеосигналом на выходе детектора приемника. Дальше будем рассматривать некогерентную обработку, имея во внимании, что ее принципы обработки для любых сигналов остаются одинаковыми. Разность только в статистических характеристиках сигналов, которые обрабатываются.
Сигнал на выходе детектора приемника представляет собой беспрерывный процесс (рис. 1.4, б), что является следствием действия на сигнал разного вида случайных помех, флюктуаций среды, распространение сигнала и эффективной поверхности отражения цели.
Если бы этого влияния не было, то принятый сигнал за один период повторения зондирующих сигналов при наличии в пространстве, например, двух целей, имел бы вид, изображенный на рис 1.4, а.
При обработке принятый случайный процесс преобразовывается в цифровую форму путем выполнения операций дискретизации по времени и квантования по уровню.
Ось времени делится на дискретные интервалы времени и в точках разбития выбираются зна