Статистика измерений
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?ости вероятности.
Приблизительная аппроксимирующая функция:
у = 0,476 е-0,39х, с достоверностью 0,919.
2. Проверка соответствия эмпирического распределения теоретическому
Процедура выравнивания, сглаживания анализируемого распределения заключается в замене эмпирических частот теоретическими, определяемыми по формуле теоретического распределения, но с учетом фактических значений переменной. На основе сопоставления эмпирических и теоретических частот рассчитываются критерии согласия, которые используются для проверки гипотезы о соответствии исследуемого распределения тому или иному типу теоретических распределении.
Выбор конкретного типа модельного распределения осуществляется исходя из самых общих соображений, опирающихся на визуальный анализ построенных графиков распределения. В практическом анализе обязательной является проверка соответствия изучаемого распределения нормальному закону распределения. Необходимость этого связана с тем, что условием применения значительного числа статистических характеристик и оценок является наличие нормального распределения.
Проверка гипотезы о нормальном распределении основывается на расчёте критерия
,
где - эмпирические абсолютные частоты, - абсолютные частоты теоретического распределения, k - число интервалов.
Формулы, по которым рассчитывается плотность модельного распределения, а также формулы для расчета теоретических частот распределения могут быть легко найдены в общедоступной справочной и учебной литературе. В данной лабораторной работе используются формулы для нормального распределения.
Первая гипотеза Н0 - нормальное распределение.
Функция нормального распределения: , плотность нормального распределения:
,
где - значение изучаемого признака, - средняя арифметическая величина, - среднее квадратическое отклонение изучаемого признака, e, ? - математические константы, - нормированное отклонение.
Проверку проводим с помощью критерия Пирсона.
В этом задании, с помощью критерии Пирсона проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, с этой целью будем сравнивать эмпирические и теоретические частоты.
= 0,2844- Среднее арифметическое значение
n =239- Количество вариантов
h = 0.13- Шаг интервалов
? = 0.073- Оценка среднеквадратического отклонения.
Вычислим теоретические частоты, учитывая
= ?() = 4,333 ?().
Вычислим данные по таблице:
Таблица 8.
ixiui = (xi - )/??() = 4,333 ?().10.065-0.81260.287433,07220.195-0.33110.377843,47530.3250.15040.394545,39740.4550.631850.327137,64150.5851.113330.215524,79860.7151.59480.110912,76270.8452.07630.04595,28280.9752.557780.01531,7691.1053.02070.00420,483
Сравним эмпирические и теоретические частоты.
А) составим расчетную таблицу и из нее найдём наблюдаемое значение критерия
= / .
Таблица 9.
ini18533.07251.9282696.5178.15325843.47514.525210.9754.85233545.397-10.397.108.0982.38141737.641-20.641426.05111.31952124.798-3.79814.4250.5816612.762-6.76245.7253.583765.2820.7180.5160.098881.766.2438.93822.124930.4832.5176.33513.11666.207
Б) по таблице критических точек распределения ?2, по уровню значимости ? = 0,05 и числу степеней свободы К = 9 - 3 = 6 находим критическую точку правосторонней критической области
?2(0,05;6)= 12,6.
Так как ?2 - гипотезу о нормальном распределении отвергаем при уровне значимости ? = 0,05.
Другими словами, эмпирическое и теоретическое значение частот различимо значительно.
Вторая гипотеза Н1 - показательное распределение
Проверка гипотезы о показательном распределении совокупности.
= 0,2844- Среднее арифметическое значение
n =239- Количество вариантов
h = 0.13- Шаг интервалов
? = 0.073- Оценка среднеквадратического отклонения.
.Найдём оценку параметра предполагаемого показательного распределения:
? = 1/ = 1/0,2844 = 3,516
таким образом, дифференциальная функция предполагаемого показательного распределения имеет вид
f(x) = 3.516e-3.516x
.Находим вероятности попадания х в каждый из интервалов по форме:
Pi =P(xi X xi+1) = exp{-?} - exp{-?xi+1}
P1(0 x 0.13) = e-3.516*0 - e-3.516*0.13 = 1 - 0.6331 =0.36692(0.13 x 0.26) = e-3.516*0.13 - e-3.516*0.26 = 0.6331 - 0.4009 =0.2322.3(0.26 x 0.39) = e-3.516*0.26 - e-3.516*0.39 = 0.4009 - 0.2538 =0.1471.4(0.39 x 0.52) = e-3.516*0.39 - e-3.516*0.52 = 0.2538 - 0.1607 =0.0931.5(0.52 x 0.65) = e-3.516*0.52 - e-3.516*0.65 = 0.1607 - 0.1017 =0.059.6(0.65 x 0.78) = e-3.516*0.65 - e-3.516*0.78 = 0.1017 - 0.0644 =0.0373.7(0.78 x 0.91) = e-3.516*0.78 - e-3.516*0.91 = 0.0644 - 0.0409 =0.0236.8(0.91 x 1.04) = e-3.516*0.91 - e-3.516*1.04 = 0.0409 - 0.0258 =0.0181.9(1.04 x 1.17) = e-3.516*1.04 - e-3.516*1.17 = 0.0258 - 0.0163 =0.0105.
Контроль: 0,3669 + 0,2322 + 0,1471 + 0,0931 + 0,059 + 0,0373 + 0,0236 + 0,0181 + 0, 105 1.
3.Находим теоретические частоты:
= n*Pi = 239*Pi
4.Составим расчетную таблицу и определим из неё наблюдаемое значение критерия Пирсона:.
= / .
Таблица 10.
inini - (ni - )2(ni - )2/18587.69-2.697.23610.082525855.52.56.250.112633535.16-0.160.02560.000741722.25-5.2527.56251.238752114.16.947.613.3766668.91-2.918.46810.9504766.64-0.640.40960.0617884.823.1810.11242.0980932.510.490.24010.09562398.0168
по таблице критических точек распределения ?2, по уровню значимости ? = 0,05 и числу степеней свободы К = 9 - 3 = 6 находим критическую точку правосторонней критической области
?2(0,05;6)= 12,6.
Так как ?2 - гипотезу о показательном распределении принимаем!!!.
Исследование показательной функции распределения. From To Count 0-0,13 85 0,13-0,26 58 0,26-0,39 35 0,39-0,52 17 0,52-0,65 21 0,65-0,78 6 0,78-0,91 6 0,91-1,04 8 1,04-1,17 3 Теоретическое распределение.From ToTeoretic Count0-0,1387,680,13-0,2655,50,26-0,3935,160,39-0,5222,250,52-0,6514,10,65-0,788,910,78-0,916,640,91-1,044,821,04-1,172,51
Третья гипотеза Н2 - биноминальное распределение
Точечная оценка: Если имеется реализация из n = 239 испытаний в которых событ