Статика текучего тела
Методическое пособие - Физика
Другие методички по предмету Физика
; характеристическое уравнение r = f.
Связь между плотностью, давлением и температурой устанавливает уравнение состояния газа:
r = или = R T или pVуд = R T,
где р - абсолютное давление, Па;
Т - абсолютная температура, К. Т =;
Vуд - удельный объём;
R - удельная газовая постоянная, различная для разных газов, но не зависящая от температуры и давления, Дж/;
r - плотность, кг/м3.
В случае изотермного процесса изменение давления и объёма газа происходит при поддержании одной и той же температуры. Уравнение состояния определяется законом Бойля-Мариотта:
= const или pVуд = const.
Адиабатный процесс представляет собой случай изменения давления в условиях отсутствия теплообмена. Уравнение адиабаты имеет вид:
= = … = = const,
где k - показатель адиабаты.
Общим случаем является политропный процесс. Уравнение политропы записывается в виде:
= = … = = const,
где n - показатель политропы.
В связи с указанными вариантами характеристического уравнения рассмотрим закон распределения давления в следующих трёх предположениях:
а) плотность постоянна при небольшой высоте столба газа;
б) плотность изменяется, подчиняясь изотермному закону;
в) плотность изменяется по уравнению политропы.
Расположим координатную систему так, чтобы оси 0x и 0y были горизонтальны, а ось 0z была направлена вертикально вверх. Тогда для жидкости в поле земного тяготения проекции ускорения массовой силы на координатные оси равны:
X = gx = 0; Y = gy = 0; Z = gz = - g,
где gx, gy и gz - проекции ускорения g по координатным осям.
Тогда из основного дифференциального уравнения гидростатики имеем:
dp = - r g dz
Распределение давления при небольшой высоте столба газа
Запишем уравнение в виде + g dz = 0 и проинтегрируем с учётом r = const. Подучим:
+ g z = С,
Постоянная интегрирования С определяется из условий на границе. Если на некоторой заданной высоте z0 известно давление р0, то подставляя эти значения в уравнение найдём
С = + g z0.
Следовательно,
+ g z = + g z0
или
= + g .
Из этого уравнения видно, что давление убывает с увеличением высоты расположения данной точки.
Таким образом, при небольшой высоте столба газа и постоянной плотности r распределение давления аналогично таковому для капельной жидкости.
Распределение давления при изотермном процессе
По уравнению состояния r = . В этом случае основное дифференциальное уравнение получит вид
dp = - r g dz = - g dz
или после разделения переменных
g dz = - R T .
Интегрируя это уравнение при R T = const, находим
g = - R T = R T = R T .
Обозначая = h, где h - превышение интересующей нас точки 2 над точкой 1, то же уравнение запишем в виде
g h = R T или g z1 + ln p1 = g z2 + ln p2.
Давление газа по высоте с учётом его сжимаемости в изотермных условиях распределяется по логарифмическому закону.
Эта же зависимость может быть представлена в такой форме:
= или р2 = р1
Отсюда видно, что изменение давления при изменении высоты следует экспоненциальному закону. При h > ? р > 0.
Распределение давления при политропном процессе
В этом случае из уравнения политропы r = r0 . Делая подстановку в основное дифференциальное уравнение гидростатики, получим
dp = - r g dz = - r0 g dz,
откуда
dz = - .
Интегрируя, получим
= = =
= .
Из уравнения политропы можно записать
= и = .
С учётом этой записи предыдущее выражение принимает вид
= .
Мы получили уравнение, которое определяет закон распределения давления при политропном процессе:
g z1 + = g z2 +
или в более общей форме
g z + = g z +
Для адиабатного процесса, заменяя показатель политропы n на показатель адиабаты k, имеем
g z + = g z +
Распределение температуры
Пользуясь формулой, можно составить уравнение, определяющее собой закон распределения температуры в покоящейся газовой среде.
По уравнению состояния имеем
= R T1 и = R T2.
Подставляя эти значения в уравнение, найдём
g z1 + R T1 = g z2 + R T2,
что и представляет собой закон распределения температуры.
Обозначая буквой h разность, находим
R T2 = R T1 - h g,
откуда
Т2 = Т1 - h g.
Из формулы следует, что изменение температуры по высоте происходит по линейному закону.
Для адиабатного процесса, подставляя вместо показателя политропы n на показатель адиабаты k, имеем
Т2 = Т1 - h g.
Для воздуха показатель адиабаты k равен 1,4, а удельная газовая постоянная R = 287,14 Дж/. Тогда из уравнения получим
Т2 Т1 - 0,01 h.
Отсюда видим, что с увеличением высоты на 100 м температура воздух?/p>