Статика текучего тела
Методическое пособие - Физика
Другие методички по предмету Физика
dz j cosa,
где j - ускорение массовой силы.
Обозначим проекции ускорения внешней массовой силы на координатные оси 0x, 0y и 0z:
X = j cosa;= j cosb; = j cosg.
Проекция массовой силы равна:
dG cosa = r dx dy dz X.
Подставляя в уравнение уравнения, и, запишем:
р dy dz - dy dz + r X dx dy dz = 0.
Получаем уравнение проекций сил на ось 0x в виде:
+ r X = 0.
Аналогично можно получить и уравнения проекций сил на оси 0y и 0z. Система уравнений равновесия жидкости запишется в виде:
+ r X = 0;
+ r Y = 0;
+ r Z = 0.
Таким образом, для равновесия массы жидкости необходимо, чтобы сумма всех внешних поверхностных и массовых сил, или их проекций на координатные оси равнялась нулю.
Умножив каждое из уравнений соответственно на dx, dy и dz и сложив, получим:
dx + dy + dz = r X dx + r Y dy + r Z dz.
Так как давление р зависит только от трёх независимых переменных координат x, y, z, левая часть последнего уравнения представляет собой полный дифференциал функции р = f:
dp = dx + dy + dz.
Тогда dp = r .
Уравнение называется основным дифференциальным уравнением гидростатики.
3. Поверхность уровня
Поверхностью уровня называется такая поверхность, все точки которой имеют одно и то же значение рассматриваемой функции: например, поверхность равной температуры, поверхность равного потенциала и т.д. Для рассмотрения задач гидрогазодинамики особое значение имеет поверхность равного давления, которую кратко будем называть поверхностью уровня.
Поверхность, во всех точках которой давление жидкости одинаково называется поверхностью равного давления.
Так как во всех точках поверхности уровня гидростатическое давление одинаково р = const, то изменение давления dp = 0. Из основного уравнения гидростатики dp = r получим r = 0.
Так как плотность r 0, то
X dx + Y dy + Z dz = 0.
где X, Y и Z - проекции ускорения массовой силы на координатные оси.
Уравнение представляет собой дифференциальное уравнение поверхности равного давления, то есть уравнение поверхности уровня.
Свойства поверхности уровня
. Две поверхности уровня не пересекаются между собой.
Действительно, допустим, что поверхность давления р1 пересекается с поверхностью давления р2. Тогда в точках линии пересечения этих поверхностей давление должно быть одновременно равным и р1 и р2, что невозможно, так как р1 р2. Следовательно, пересечение этих поверхностей невозможно.
. Внешние массовые силы направлены нормально к поверхности уровня.
Доказать это положение можно следующим образом. Работа силы dF на элементарном пути dl равна: dА = r . Но для поверхности уровня трёхчлен в скобках равен нулю, поэтому работа силы dF на пути dl вдоль поверхности уровня равна нулю.
С другой стороны, согласно рис. 8 работа силы dF равна dА = dF cosQ dl. Поскольку dА = 0, а dF 0 и dl = 0, то cosQ должен быть равен нулю, то есть угол Q = .
Рассмотрим равновесие капельной и газообразной жидкости в поле земного тяготения в пределах небольшой ограниченной области. Ускорения свободного падения в различных точках этого пространства будут параллельны и направлены вертикально вниз. Расположим координатную ось 0z вертикально вверх. При этом ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2 будет направлено параллельно оси 0z.
Составим уравнение поверхности уровня, учитывая, что для данного случая равновесия жидкости величины X, Y и Z будут равны соответственно:
X = gx = 0; Y = gy = 0; Z = gz = - g,
где gx, gy и gz - проекции ускорения g по координатным осям.
Подставляя эти значения в дифференциальное уравнение поверхности уровня X dx + Y dy + Z dz = 0 получим дифференциальное уравнение поверхности уровня для рассматриваемых условий:
g dz = 0 или dz = 0.
Интегрируя это уравнение, находим
- g z = const
или= const = С.
Так как С = const - произвольная постоянная, то это уравнение будет уравнением семейства горизонтальных плоскостей, параллельным осям 0x и 0y,
Итак, ели на жидкость действует только сила тяжести, поверхность уровня есть горизонтальная плоскость.
Следовательно, в пределах любой горизонтальной плоскости, проведенной через область, занятую покоящимся газом, давление остаётся неизменным. При равновесии газа гидростатическое давление в точке р изменяется только с высотой расположения этой точки р = f.
Если закрытый резервуар заполнен капельной жидкостью, то во всех точках свободной поверхности гидростатическое давление одинаково р0. Свободная поверхность воды в открытом резервуаре испытывает одно и то же атмосферное давление рбар. Свободная поверхность в этих случаях является поверхностью уровня и, следовательно, горизонтальной плоскостью. В условиях равновесия поверхность уровня неподвижна.
Волновая поверхность водоёма также есть поверхность уровня рбар, но волновая поверхность изменяется во времени, то есть подвижна.
Проведём произвольную горизонтальную плоскость n - n. Эта плоскость также будет поверхностью уровня. Во в?/p>