Решение краевой задачи на графе методом Ритца
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ФГБОУ ВПО ВГУ)
Факультет прикладной математики, информатики и механики
Кафедра вычислительной математики и прикладных информационных технологий
Дипломная работа
Направление/Специальность: 010501 Прикладная математика и информатика
Наименование специализации: Численные методы
Решение краевой задачи на графе методом Ритца
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой Т.М. Леденева, профессор, д.т.н.
Руководитель К.П. Лазарев, доцент, к.ф.-м.н.
Студент К.М. Горевалова
Воронеж 2012
Оглавление
Введение
1.Модельная задача уравнения колебаний струны
1.1 Вывод уравнения колебаний струны
.2 Модельная задача деформации системы из трех струн
. Вариационные методы
.1 Поиск экстремума функционала
.2 Минимизация функционала
.3 Метод пробных функций
.4 Метод Ритца
. Решение модельной задачи
.1 Подпространства сплайнов
.2 Решение системы алгебраических уравнений
. Описание программы и тестовые расчеты
Заключение
Список литературы
Приложение
Введение
Для описания и исследования сложных систем нередко используется такой подход, при котором сложный объект представляется составленным из отдельных элементов, приписанных ребрам некоторого графа. Примерами таких систем являются сетки из струн, решетки из стрежней, электрические и гидросети, задачи теплопроводности. Процессы, происходящие в каждом элементе, описываются с помощью дифференциальных уравнений. Если между элементами существуют взаимодействия, то такие взаимодействия могут быть отражены с помощью условий согласования и краевых условий.
Получившиеся в результате такого представления дифференциальные задачи часто не удается решить точно, в таком случае нужно искать иные возможности решения. Некоторые краевые задачи для дифференциальных уравнений имеют вариационную природу. Воспользовавшись этим наблюдением, мы получаем возможность найти приближенное решение задачи вариационными методами.
Целью данной работы послужили изучение модели сетки из трех струн, разработка алгоритма и написание затем программы для приближенного решения задачи на графе. Для реализации был выбран язык программирования Delphi 7.0. Существует множество пакетов прикладных программ, подходящих для решения таких задач, как поставленная в данной работе, но они универсальны и не учитывают особенности модели, такие как, например, разреженная матрица оператора, поэтому их работа сильно замедленна. Разработанная мной программа, напротив, индивидуальна, поэтому работает значительно быстрее, к тому же она может быть легко модифицирована для похожих моделей.
1. Модельная задача уравнения колебаний струны
1.1 Вывод уравнения колебаний струны
Выведем уравнение малых колебаний струны. Струна, располагающаяся в положении равновесия между точками 0 и l на оси х, совершает малые колебания около этого положения. Принимается, что каждая точка движется только в перпендикулярном к оси х направлении.
Обозначим через u(x,t) отклонение струны от положения равновесия в момент t, предположив для определенности, что концы 0иlостаются закрепленными, так что
u(0,t)=u(l,t)=0.
Кинетическая энергия струны T, как сумма кинетических энергий ее частиц, выражается интегралом
, (1.1)
ритц колебание струна вариационный сплайн алгебраический
где ?dx есть масса элемента струны, отвечающего интервалу dx на оси х. Величина ?=?(х) есть плотность струны в точке х.
Важнейшей характеристикой струны является ее потенциальная энергия U; выражение потенциальной энергии есть фактическое определение струны с механической точки зрения.
Определение 1.1. Струна есть одномерная механическая система, потенциальная энергия каждого участка которой пропорциональна его удлинению по сравнению с положением равновесия. [1]
Таким образом, мы имеем:
. (1.2)
Коэффициент р=р(х), фигурирующий в этом равенстве, называется модулем упругости струны (модулем Юнга).
Считая, что uх - настолько малая величина, что четвертой степенью uх можно пренебречь, получим:
(1.3)
. (1.4)
Функция Лагранжа L = Т - U имеет вид:
. (1.5)
Функционал Гамильтона теперь будет двойным интегралом:
. (1.6)
Напишем уравнение Эйлера - Остроградского:
. (1.7)
Если ? и p постоянны (т. е. струна однородна по плотности и упругости), , то мы получим уравнение:
, (1.8)
которое нас и интересовало.
Граничные условия, естественные с физической точки зрения, здесь можно взять следующие: при t=0 заданы значения функции u(х,0) (т. е. известна форма начального отклонения) и функции ut(х,0) (известна начальная скорость каждой точки).
Покажем, что они определяют лишь единственное решение уравнения (1.7).
Если бы имелось два решения уравнения струны u(1)(x,t) и u(2)(x,t), отвечающие одинаковым значениям
u(1)(x,0)=u(2)(x,0)
и(1)(t)(x,0)=u(2)(t)(x,0),
то их разность
u(x,t) = u(1)(x,t) - u(2)(x,t)
была бы также решением, удовлетворяющим нулевым условиям
u(x,0)=0, ut(x,0)=0.
Мы должны доказать, что u(x,t)?0. Используем для этого следующее соображени?/p>