Решение краевой задачи на графе методом Ритца
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
.37)
Итак, мы вывели нестационарное уравнение колебания:
(Tiuix)x + fi=0 (1.38)
или
(1.39)
Так же мы вывели условие, которое должны выполнятся в узлах соединения О:
(1.40)
Таким образом, краевая задача для описания формы отклонения системы имеет вид:
, , (1.41)
,(1.42)
, ,(1.43)
.(1.44)
Эту задачу можно описать в операторном виде: Au=f или подробнее
Au(x)=f(x) (1.45)
Здесь х принадлежит графу, изображенному на рисунке 1.1 и состоящему из ребер ?1, ?2, ?3; А - оператор, определенный формулой (1.46):
, . (1.46)
Оператор определен на дважды непрерывно дифференцируемых функциях
, (1.47)
удовлетворяющих условиям:
, (1.48)
, (1.49)
. (1.50)
2. Вариационные методы
.1 Поиск экстремума функционала
В классическом анализе функций одной или нескольких переменных одной из центральных задач является задача об отыскании экстремумов дифференцируемых функций. В функциональных пространствах экстремальные задачи так же играют важную роль. Вариационное исчисление имеет своей целью такое обобщение построений классического анализа, которое даст возможность решать подобные экстремальные задачи. В более широком понятии, вариационное исчисление - это анализ бесконечно малых (дифференциальное исчисление) в бесконечномерных пространствах.
Лемма 2.1. Если функционал F(y) дифференцируем при y=y0, то при любом h функция F(y0+ht), как функция от числа t, дифференцируема в обычном смысле по t и при t=0 ее производная равна L(y0,h)=?F(y0,h).
Линейный функционал L(y0,h), определенный единственным образом, называется дифференциалом или, чаще, вариацией функционала F в точке y0 и записывается ?F(y0,h).
Рассмотрим функционал
(2.1)
в пространстве D1(a,b) непрерывных функций на отрезке [a, b], обладающих непрерывными производными первого порядка. Ядро f(x,y(x),y(x)) предполагается непрерывной функцией, обладающей непрерывными производными до второго порядка, определенной в области:
.
Составим приращение функционала F(y):
(2.2)
Вариация такого функционала существует и имеет вид:
(2.3)
Поставим задачу найти те точки, в которых функционал F(y) достигает экстремального значения - своего минимума или максимума.
Лемма 2.2. Во всякой точке y0, где дифференцируемый функционал F(y) достигает экстремума, первая вариация ?F(y0,h) функционала F при любом приращении h равна нулю.
Всякая точка y0, в которой первая вариация функционала обращается в ноль при любом h, называется стационарной точкой функционала. Найдя все стационарные точки функционала и проанализировав их, выберем интересующие нас точки экстремума.
Рассмотрим случай, когда функционал F задан на совокупности функций y(x), принимающих в точках a и b заданные значения y(a) и y(b). Тогда функция h должна обращаться в нуль на концах отрезка [a,b]. Предположим, что решение y(x) обладает непрерывной второй производной. Тогда проинтегрируем второе слагаемое в уравнении (2.3) по частям:
(2.4)
Из условия h(a)=h(b)=0 следует, что внеинтегральный член равен нулю, и выражение вариации принимает вид:
(2.5)
Так как h(x) - любое, то h(x)=0 в выражении (2.5). Поэтому
(2.6)
Мы получили уравнение Эйлера. Итак, если экстремум функционала F существует и достигается на функции у=y(x), обладающей производной второго порядка, то эта функция у=y(x) удовлетворяет уравнению Эйлера. [1]
.2 Минимизация функционала
Если каждой из функций y(x) из некоторого множества функций Y сопоставлено число Ф[y(x)], то говорят, что на множество Y задан функционал.
Задача минимизации функционала формулируется следующим образом:
-найти функцию , на которой функционал достигает своей точной нижней грани на этом множестве:
, y(x), . (2.7)
Иногда эту задачу называют минимизацией функционала по аргументу. Не всякий функционал и не на всяком множестве имеет минимум. Например, решение задачи (2.7) не существует, если функционал не ограничен снизу на заданном множестве, а так же в некоторых других случаях.
Определение 2.1. Оператор А называется симметричным, если он определен на плотном множестве и если для любых элементов ? и ? из области определения этого оператора имеет место тождество
.
Определение 2.2. Симметричный оператор А называется положительным, если для любого элемента имеет место равенство
,
причем выполняется только тогда, когда u=0.
Пусть требуется решить операторное уравнение
, (2.8)
Пусть оператор А аддитивен, положителен и симметричен, так что
(y,Ay)>0 при y?0,
(z,Ay)=(Az,y),
где под скалярным произведением понимается интеграл от произведения функций.
Рассмотрим функционал
(2.9)
где y=y(x),
, (2.10)
а вид (y, Ay) зависит от вида оператора А.
Утверждение 2.1. Решение операторного уравнения (2.8) эквивалентно задаче на минимум функционала (2.9), и наоборот.
Доказательство. В самом деле, запишем произвольную функцию в виде:
(2.11)
Подставляя это выражение в правую часть формулы, получим:
(2.12)
Если - решение уравнения (2.8), то второе слагаемое правой части последнего уравнения обращается в 0, последний же член неотрицателен из-за положительности оператора А. Значит,
,
то есть функционал (2.9) дос?/p>