Решение краевой задачи на графе методом Ритца
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?мума квадратичной функции F(a) посредством дифференцирования по переменным ak сводится к системе алгебраических линейных уравнений, ее нетрудно решить численно. Этот частный случай метода пробных функций называется методом Ритца.
Выбор функций целесообразно связать с краевыми условиями для задач типа (2.8), которые обычно линейны. Пусть например это условия первого рода:
(2.24)
Выберем какую-нибудь гладкую функцию так, чтобы она удовлетворяла этим краевым условиям:
(2.25.1)
Или
(2.25.2)
Остальные функции выберем так, чтобы они удовлетворяли однородным краевым условиям типа (2.24) и при этом образовывали бы полную систему; например, согласно теореме Вейерштрасса, любую функцию можно аппроксимировать со сколь угодно высокой точностью алгебраическими или тригонометрическими многочленами. Поэтому можно положить:
(2.26.1)
Или
(2.26.2)
В этом случае пробные функции (2.23) при любых коэффициентах ak удовлетворяют неоднородным краевым условиям (2.24) и являются полными на множестве непрерывных функций, удовлетворяющих этим краевым условиям.
Рассмотрим задачу на минимум квадратичного функционала с вещественным симметричным положительным оператором А:
(2.27)
Подставим в функционал пробные функции Ритца и получим квадратичную форму свободных параметров:
(2.28)
Приравнивая к нулю производные этой квадратичной функции по параметрам, получим линейную систему для определения параметров:
(2.29)
Распишем более подробно выражение (2.29):
(2.30)
Данную систему можно переписать в виде матричного уравнения , где
, (2.31)
В зависимости от выбранных базисных функций ?i , i=1,2,..n, матрица Ф, описанная в формуле (2.31), может иметь различный образ. Она может быть как полностью заполненной, так и разреженной, например диагональной.
Решив матричное уравнение, получим коэффициенты . Подставим их в выражение для приближенного решения (2.23). Элемент
назовем приближенным решением уравнения Ay=f ((2.8)) по Ритцу.
Теорема 2.4. Пусть для подпространства HN выполнены условия 1) и 2). Тогда из последовательности приближенных решений уравнения (2.8) по Ритцу можно выделить минимизирующую подпоследовательность для функционала
((2.9)),
которая сходится по норме пространства HA , и следовательно, по норме H, к обобщенному решению уравнения (2.8).
Заметим, что для не квадратичных функционалов Ф[y] линейные по параметрам пробные функции (2.23) не дают никаких преимуществ, так как получающиеся функции параметров
все равно оказываются не квадратичными. Поэтому фактически метод Ритца применяют только для квадратичных функционалов.
3. Решение модельной задачи
.1 Подпространства сплайнов
Введем основные понятия теории сплайнов, необходимые для дальнейшего рассмотрения задачи минимизации.
Пусть на отрезке [a, b] задано разбиение
?: a=x0<x1<…<xk=b. (3.1)
Для целого k?0 обозначим через Ck=Ck[a,b] множество k раз непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций, а через C-1[a, b] - множество кусочно-непрерывных функций с точками разрыва первого рода.
Определение 3.1. Функция Sn,?(x) называется сплайном степени n дефекта ? (0???n+1) с узлами на стеке ?, если
1)на каждом отрезке [xi,xi+1] функция Sn,?(x) является многочленом степени n, то есть:
Сплайн Sn,?(x) имеет непрерывные производные до n-? порядка, а производные более высших порядков, вообще говоря, терпят разрывы в узлах сетки.
Простейшим примером сплайна является единичная функция Хэвисайда:
,
с которой естественным образом связана усеченная степенная функция:
.
Функции ?(x) и являются сплайнами соответственно нулевой степени и степени n дефекта 1 с единственным узлом в нулевой точке.
Теорема 3.1. Функции
; ,
линейно независимы и образуют базис в пространстве Sn,?(?) размерности
(n+1) + ?(N-1).
В математическом анализе встречаются конструкции, связанные с финитными функциями, то есть гладкими функциями, определяемыми на всей действительной оси и отличными от нуля лишь на конечном промежутке оси (носителе).
Расширим сетку, введя дополнительно точки
x-n<…<x-1<a, b<xN+1<…<xn+N . (3.2)
Возьмем функцию
?n(x,t)=(-1)n+1(n+1)(x - t)n
и построим для нее разделенные разности (n+1) порядка по значениям аргумента
t=xi,…,xi+n+1.
В результате получаются функции переменной x:
, i=-n,…,N-1. (3.3)
Лемма 3.1. Сплайны ), i=-n,…,N-1, обладают следующими свойствами:
а)
б)
Лемма 3.2. Функции ) являются сплайнами степени n дефекта 1 с конечным носителем минимальной длины.
Теорема 3.2. Функции), i=-n,…,N-1, линейно независимы и образуют базис в пространстве сплайнов Sn,1(?).
Докажем эту теорему. Покажем сначала линейную независимость функций
, i=-n,…,N-1,
на всей действительной оси. Предположим противное, то есть что существуют такие постоянные c-n,…,cN-1 не все равные 0, что
. (3.4)
Выбирая , получаем, что
и, значит,
c-n=0.
Беря затем
, находим, что
c-n+1=0,
и т.д., то есть имеем:
ci=0, i=-n,…,N-1.
Следовательно, функции линейно независимы на .
Предположим теперь, что соотношение (3.4) выполняет