Решение краевой задачи на графе методом Ритца
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ся только на [a, b]. Это значит, что на отрезках [xi, xi+1] обращаются в 0 сплайны вида:
i=0,…,N-1.
Каждый из них отличен от нуля самое большее на интервале (xi-n, xi+n+1). Поэтому из предположения
при
следует что
при и ,
а значит и на всей действительной оси. В силу линейной независимости функций на имеем cp=0, p=i - n,…,i; i=0,…,N - 1.
Таким образом, функции линейно независимы, и так как по теореме 3.1 размерность пространства , то они образуют базис в этом пространстве. Теорема доказана.
При практических вычислениях удобнее использовать не сами В-сплайны, а функции, получающиеся из них при умножении на постоянные множители:
, (3.5)
эти функции называют нормализованными В-сплайнами.
Тождество для нормализованных В-сплайнов имеет вид:
(3.6)
Распишем формулы (3.5) более подробно:
а) (3.7)
б) (3.8)
в) (3.9)
г) (3.10)
Первые 4 функции, высчитанные по формулам 3.7-3.10, изображены на рис. 3.1:
Рисунок 3.1. Примеры нормализованных В-сплайнов.
Мы рассмотрели построение сплайнов на отрезке. Рассмотрим теперь, как будут выглядеть сплайны, построенные на графе.
Дадим определение графа.
Определение 3.2. Геометрическим графом Г называется объединение точек всех ребер и некоторого (может быть пустого) подмножества вершин, которые мы называем внутренними. Вершины, не вошедшие в Г, называются граничными. [2]
Пусть Е(Г) - множество ребер , J(Г), ?Г, V(Г) - это множество внутренних, граничных и всех вершин графа Г соответственно. Для каждой вершины a?V(?) обозначим через E(a) множество всех ребер, примыкающих к а. Аналогично, для каждого ребра ??E(?) через V(?) обозначим множество вершин, примыкающих к ?.
Пусть Г0 - объединение точек всех ребер графа. Будем рассматривать функции u: Г>R и u: Г0>R, uA() - сужение функции u() на множество А.
Для примера возьмем граф, изображенный на рисунке 3.2. Для построения такого графа были выбраны 4 точки, лежащие в одной плоскости - А1, А2, А3 и О.
Рисунок 3.2. Пример графа.
Как видно из рисунка 3.2, рассмотренный граф имеет 3 ребра, все ребра имеют одну общую вершину.
Введем сетку на каждом ребре графа. Пусть длины ребер графа соответственно равны l1, l2, l3, оси координат расположены так, как изображено на рисунке 3.3, то есть оси абсцисс совпадают с ребрами графа и направлены от центра, общая точка всех трех ребер - точка О - принята за начало координат, ось ординат направлена перпендикулярно плоскости графа вверх.
Рисунок 3.3. Система координат.
Обозначим i-тое ребро графа за OAi и разобьем каждое ребро на ni частей, i=1,2,3, получив таким образом три сетки с шагами
.
В результате таких действий получим набор точек xij, где i=1,2,3 и символизирует условный номер ребра графа, а j изменяется от 0 до ni, где ni - это число точек разбиения на i-том ребре (рис.3.4).
Таким образом, имеем набор точек на графе:
, (3.11)
где
, i=1,2,3, j=0,1,..,ni . (3.12)
Рисунок 3.4. Сетка на графе.
Рассмотрим теперь способ построения сплайнов на графе. Возьмем для примера сплайны вида (3.8), изображенные на рисунке 3.1(б). В общем сплайны на ребрах графа строятся так же, как на отрезках прямых, таким образом все сплайны, вершины которых не совпадают с точкой О, будут задаваться формулой:
, k=1,2,3; i=1,..,ni - 1 (3.13)
В вершине О сплайн будет иметь особый вид, так как эта вершина инцидента сразу 3 ребрам - OA1, OA2 и OA3, и сплайн должен располагаться одновременно на всех трех ребрах, поэтому он будет задаваться формулой (3.14):
. (3.14)
Изобразив сплайны (3.9) и (3.10) на графе (3.2), получим следующую схему (рис. 3.5).
Для дальнейшей работы с такими сплайнами будет удобнее их переобозначить. В результате этого переобозначения получим функции:
Рисунок 3.5. Схема сплайнов.
3.2 Решение системы алгебраических уравнений
В результате проведенной работы мы получили систему уравнений (1.56), где х принадлежит графу Г.
Au(x)=f(x) (1.56)
, . (1.57)
Оператор А имеет вид (1.57), пусть он аддитивен, положителен и симметричен, так что:
Согласно формуле (1.57),
. (3.15)
В главе 2 мы получили общую схему системы, с помощью которой будем решать исходную задачу. Система (2.22) имеет различные образы матриц в зависимости от того, какие функции будут взяты в качестве базисных. Наиболее удобными функциями являются линейные В-сплайны, так как в таком случае матрица Ф в системе (2.23) получится разреженной, почти трехдиагональной.
Рассмотрим подробнее выбор базисных функций.
Определение 3.5. Два элемента гильбертова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Конечная или бесконечная последовательность попарно ортогональных элементов называется ортогональной системой. Если все элементы ортогональной системы нормированы, то система называется ортонормированной. [7]
Определение 3.6. Пусть Н - гильбертово пространство и {?n} - ортонормированная в нем система. Мы будем называть эту систему полной в Н, если не существует элемента Н, кроме тождественного нуля, который был бы ортогонален ко всем элементам системы. [7]
Выберем функции ?k(х), k=0,1,2,…, таким образом, чтобы они удовлетворяли однородным краевым условиям и при этом образовывали бы полную систему. Например, возьмем след