Решение краевой задачи на графе методом Ритца
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
µ. Полная энергия струны
(1.9)
так же, как и для системы из конечного числа материальных точек, должна оставаться постоянной во все время процесса, что будет строго доказано ниже. Но в начальный момент, по условию,
ut(x,0)=0,
u(x,0)=0,
так что
ux(x,0)=0,
откуда при t=0 и E=0; а тогда в любой момент времени Е=0 и, следовательно,
ut=ux=0.
Отсюда следует, что и(х,t) постоянна; но так как
u(x,0)=0,
то и
и(х,t)=0
при каждом t.
Для струны справедлив закон сохранения энергии. Умножим уравнение струны (1.7) на иt , и проинтегрируем по х:
. (1.10)
Первое слагаемое интегрируем по частям:
. (1.11)
Внеинтегральный член обращается в нуль, так как
ut(0,t)=ut(l,t)=0
и(0,t)=u(l,t)=0.
Таким образом, имеет место равенство:
, (1.12)
Откуда
(1.3)
и, следовательно, Е=const, что и требовалось доказать.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
I. Стационарное линейное уравнение с учетом внешней нагрузки, сопротивления среды и при наличии пружины.
Такое уравнение имеет вид:
, (1.14)
А уравнение Эйлера:
(1.15)
С условиями трансверсальности
, (1.16.1)
. (1.16.2)
II. Рассмотрим теперь стационарное нелинейное уравнение с учетом внешней нагрузки, сопротивления среды и при наличии пружины, то есть уравнение без замены на приближение. В этом случае имеем:
, (1.17)
то есть
U= (1.18)
Тогда уравнение Эйлера имеет вид:
. (1.19)
При этом условия трансверсальности будут следующими:
, (1.16.1)
. (1.16.2)
III. Теперь рассмотрим нестационарное линейное уравнение колебаний струны с учетом внешней нагрузки и сопротивления среды. В этом случае потенциальная энергия будет определяться выражением
, (1.20)
кинетическая энергия
, (1.21)
а функция Лагранжа примет вид:
(1.22)
или
. (1.23)
IV. Наконец, в следующем пункте более подробно рассмотрим нестационарную задачу на графе.
1.2 Модельная задача деформации системы из трех струн
Рассмотрим на примере задачу деформации системы из трех струн. Пусть точки О, A1, A2, A3 (рис.1.1) находятся в одной плоскости. Рассмотрим механическую систему из трех струн, которые в положении равновесия совпадают с отрезками , , . Концы струн закреплены в точках A1, A2, A3 и соединены между собой в точке O.
Рисунок 1.1. Механическая система из трех струн.
Под действием силы, направленной перпендикулярно плоскости струны отклоняются от положения равновесия. Будем считать, что смещение всех точек происходит параллельно одной и той же прямой, перпендикулярной данной плоскости, и длина любого участка струн не меняется в результате смещения, так как рассматриваются малые упругие отклонения системы от положения равновесия.
Отклонение -ой струны от положения равновесия обозначим , где xi - абсцисса рассматриваемой точки струны, , -длина струны.
Для i-той струны (i=1,2,3) обозначим плотность внешней силы через , а натяжение - , аналогично рассмотренной задаче с одной струной.
В результате действия силы система деформируется и принимает следующий вид:
Рисунок 1.2. Деформированная система.
Найдем потенциальную энергию нашей системы трех струн. Эта энергия складывается из потенциальных энергий всех входящих в нее компонентов:
(1.24)
где ?i =[0,li] - промежуток интегрирования, uix(x) - производная функции ui(x), i=1,2,3.
Функция u(x)={u1(x), u2(x), u3(x)} задает реальное положение струн в пространстве, и это реальное положение дает минимум в задаче минимизации функционала потенциальной энергии
(1.25)
в пространстве непрерывно-дифференцируемых функций v(x)={v1(x), v2(x), v3(x)}, удовлетворяющих условиям:
v1(0)= v2(0)= v3(0), (1.26)
v1(l1)=0, v2(l2)=0, v3(l3)=0. (1.27)
Будем выбирать произвольные непрерывно-дифференцируемые функции hi(x) (i=1,2,3) и произвольный параметр ?, и строить новую функцию ui(x)+?hi(x), которая даст нам виртуальное расположение струн в пространстве.
Запишем энергию такой системы:
(1.28)
Очевидно, что при ?=0 виртуальное положение совпадает с реальным, потенциальная энергия которого минимальна. Отсюда следует, что выражение (1.28) имеет минимум при ?=0, поэтому производная этого выражения по ? в нуле равна нулю. Запишем:
(1.29)
Выберем теперь функции hi (i=1,2,3) так, чтобы на концах отрезка ?i они были равны нулю, а hj?0, i?j. Тогда для i=1,2,3:
(1.30)
Лемма 1.3. Лемма Дюбуа-Реймона. Пусть на [t0, t1] функции a() и b() непрерывны и пусть
(1.31)
для любой такой, что x(t0)=x(t1)=0. Тогда функция a() непрерывно дифференцируема и
. [3]
Пусть функции f и Tiuix (i=1,2,3) непрерывны, тогда воспользуемся леммой Дюбуа-Реймона. Т.к. интеграл (1.36) равен нулю , h(t0)=h(t1)=0 и функции fi и Tiuix (i=1,2,3), то функция Tiuix и -fi - (Tiuix)x = 0 (1.32)
Таким образом, выражение (1.32) - это уравнение Эйлера для колебания струны.
Проинтегрируем теперь каждое слагаемое в выражении (1.29) по частям:
(1.33)
где д?i - граница участка ?i, i=1..3.
Предположим теперь, что функции hi, i=1,2,3, в узле O принимают произвольное значение, а hj?0, j?i, тогда:
(1.34)
Таким образом, т.к. u1x(a)= u2x(b)= u3x(c)=0, то получим:
, (1.35)
откуда следует
(1.36)
или
k=1,2,3. (1