Решение краевой задачи на графе методом Ритца
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?игает минимума на решении операторного уравнения (2.8).
Наоборот, если в представлении
есть функция, на которой функционал достигает минимума, то первая вариация функционала на этой функции равна 0, следовательно
,
какова бы ни была функция z(x). Применяя это условие к (2.12) и одновременно полагая:
,
получим:
что выполняется только при
.
Это означает, что функция, на которой функционал (2.9) достигает минимума, является решением операторного уравнения (2.8). Утверждение доказано.
Теорема 2.1. Теорема о минимуме квадратичного функционала. Пусть А - положительный оператор в DA, . Пусть уравнение (2.8) имеет решение , то есть выполняется
в H, . (2.13)
Тогда квадратичный функционал
(2.14)
принимает на u0 минимальное значение в DA , то есть для всех имеет место , причем только при .
С другой стороны, пусть среди всех элементов функционал (2.14) принимает свое минимальное значение на элементе u0. Тогда u0 является решением уравнения (2.8) в H, то есть справедливо (2.13).
Теорема 2.2. Теорема Рисса. Любой линейный ограниченный функционал F в гильбертовом пространстве H может быть представлен в виде:
Fu=(u,v),
где v - некоторый элемент Н, однозначно определяемый функционалом F. Кроме того, ||v||=||F||. [4]
Если , , то , и (2.14) может быть записан в виде:
.
В данном случае - линейный ограниченный функционал, поэтому
.
Для : , отсюда . В соответствии с теоремой Рисса, такое, что . Отсюда получим:
.
То есть при u=u0 можно записать следующее выражение: .
Таким образом, получаем важное для дальнейшего рассуждения выражение:
. (2.15)
Если , то ,
, то .
В таком случае будет являться решением уравнения
, и из оценки (2.15) получим: .
Если правые части отличаются незначительно, то и соответствующие решения отличаются незначительно. Это позволяет оценить погрешность при поиске аппроксимации решения.
Если n-ное приближение решения u0 таково, что , то имеем:
(2.16)
То есть, если известна постоянная С, то соотношение (2.16) позволяет оценить погрешность приближенного решения . Но в то же время вопрос сходимости к f тесно связан с вопросом удачного выбора базиса.
.3 Метод пробных функций
Общая схема численного решения заключается в сведении задачи (2.7) к поиску минимума функции многих переменных.
Рассмотрим класс Vn пробных функций заданного вида:
(2.17)
содержащих n свободных параметров и принадлежащих множеству Vn. На этом классе функций рассматриваемый функционал будет функцией n переменных - свободных параметров:
; (2.18)
найдя минимум функции Fn(a) и соответствующие ему значения параметров , мы определим функцию , на которой функционал достигает своего минимума в классе Vn.
Определение 2.3. Будем называть функционал Ф[y(x)] непрерывным, если он непрерывно зависит от функции y(x), то есть если фиксировать y(x), то для любого ?>0 найдется такое ?(?)>0, что при выполнении
будет выполняться равенство: .
Очевидно, наличие или отсутствие этого свойства зависит как от вида функции, так и от выбора нормы функции. Например, наиболее распространенные функционалы имеют вид:
, (2.19)
где f - непрерывная функция всех своих аргументов.
Определение 2.4. Бесконечная система функций заданного вида называется полной, если при она может аппроксимировать в данной норме со сколько угодно высокой точностью любую функцию множества Y.
Теорема 2.3. а) если система функций полная, а функционал Ф[y(x)] непрерывен, то последовательность является минимизирующей,
б) если требования пункта (а) выполнены и функционал удовлетворяет дополнительному условию
,?,?>0 (2.20)
то последовательность сходится к решению задачи (2.7).
Если последовательность выбрана удачно, то величина Фn будет близка к своему пределу уже при небольшом n. Однако оценить фактическую точность полученного приближения на основании таких расчетов не удается, поэтому далее рассмотрим метод, дающий более высокую точность и лучшую оценку погрешности.
.4 Метод Ритца
Рассмотрим абстрактную схему метода Ритца для нахождения приближения к обобщенному решению операторного уравнения.
При зададим элементы , каждый из которых принадлежит пространству HA. Обозначим через HN линейную оболочку элементов
.
Будем считать, что выполнены следующие условия:
)при элементы
) линейно независимы;
)последовательность подпространств {HN } предельно плотна в HА , то есть для существуют такие элементы , что
,
где - оценка аппроксимации и при n>0.
Будем искать приближение к обобщенному решению u0 уравнения
=f при каждом n в виде .
Далее подробно рассмотрим нахождение коэффициентов ai.
Ряд важных математических задач сводится к минимизации квадратичного функционала. Примером является решение корректно или некорректно поставленных задач для линейного операторного уравнения (2.8), приводящее к одному из функционалов:
(2.21)
(2.22)
(функционал Тихонова) или функционалу (2.9).
Если в качестве пробных функций взять обобщенные многочлены
, (2.23)
то на них квадратичный функционал будет квадратичной функцией параметров ak. Задача на нахождение мин?/p>