Регрессионный анализ в задачах психолого-педагогических исследований
Реферат - Математика и статистика
Другие рефераты по предмету Математика и статистика
равнении (1) У - зависимая переменная, а Х - независимая переменная, а0 свободный член, а1 - коэффициент регрессии, или угловой коэффициент, определяющий наклон линии регрессии по отношению к осям координат.
В уравнении (2) Х - зависимая переменная, а У - независимая переменная, b0 свободный член, а b1- коэффициент регрессии, или угловой коэффициент, определяющий наклон линии регрессии по отношению к осям.
Линии регрессии пересекаются в точке О , с координатами, соответствующими средним арифметическим значениям корреляционно связанных между собой переменных Х и У. Линия АВ, проходящая через точку О, соответствует линейной функциональной зависимости между переменными величинами Х и У, когда коэффициент корреляции между Х и У равен .При этом наблюдается такая закономерность чем сильнее связь между Х и У, тем ближе обе линии регрессии к прямой АВ, и, наоборот, чем слабее связь между этими величинами, тем больше линии регрессии отклоняются от прямой АВ. При отсутствии связи между Х и У регрессии оказываются под прямым углом по отношению друг к другу и в этом случае .
Количественное представление связи (зависимости) между Х и У (между У и Х) называется регрессионным анализом. Главная задача регрессионного анализа заключается, собственно говоря, в нахождении коэффициентов а0, b0, a1 и b1 и определений уровня значимости полученных аналитических выражений (1) и (2), связывающих между собой переменные Х и У.
При этом коэффициенты регрессии а1 и b1 показывают, насколько в среднем величина одной переменной изменяется при изменении на единицу меры другой. Коэффициент регрессии а1 в уравнении (1) можно подсчитать по формуле
(3)
а коэффициент в уравнении (2) по формуле (4)
(4)
где - коэффициент корреляции между переменными X и Y
- среднеквадратическое отклонение, подсчитанное для переменной X
- среднеквадратическое отклонение, подсчитанное для переменной .
Коэффициенты регрессии можно вычислить также без подсчета среднеквадратических отклонений по следующим формулам
(5)
(6)
В том случае, если неизвестен коэффициент корреляции, коэффициенты регрессии можно вычислить по следующим формулам:
(7)
(8)
Сравнивая формулы (1) (вычисление ) (7) и (8), видим, что в числителе этих формул стоит одна и та же величина: . Последнее говорит о том, что величина , и взаимосвязаны. Более того, зная две из них - всегда можно получить третью. Например, зная величины и можно легко получить :
(9)
Формула (9) достаточно очевидна, поскольку, умножив , вычисленный по формуле (3) на , вычисленный по формуле (4), получим:
Формула (9) очень важна, поскольку она позволяет по известным значениям коэффициентов регрессии и определить коэффициент корреляции, и, кроме того, сравнивая вычисления по формулам (1) и (9) , можно проверить правильность расчета коэффициента корреляции, коэффициенты регрессии характеризуют только линейную связь и при положительной связи имеют знак плюс, при отрицательной - знак минус.
В свою очередь свободные члены и в уравнениях регрессии придется вычислять по следующим формулам. Для подсчета свободного члена уравнения регрессии (1) используется формула:
(10)
Для подсчета свободного члена уравнения регрессии (2) используется формула:
(11)
Вычисления по формулам (7), (8), (10) и (11) достаточно сложны поэтому при расчетах коэффициентов регрессии используют, как правило более простой метод. Он заключается в решении двух систем уравнений. При решении одной системы находятся величины и и при решении другой - и . Общий вид системы уравнений для нахождения величин и таков:
(12)
Общий вид системы уравнений для нахождения величин - и таков:
(13)
В системах уравнений (12) и (13) используются следующие обозначения:
- число элементов в переменной X или в переменнойY
- сумма всех элементов переменной X
- сумма всех элементов переменной Y
- произведение всех элементов переменной Y друг на друга
- произведение всех элементов переменной Y друг на друга
-попарное произведение всех элементов переменной X на соответствующие элементы переменной Y
Для применения метода линейного регрессионного анализа необходимо соблюдать следующие условия:
. Сравниваемые переменные X и Y должны быть измерены в шкале интервалов или отношений.
. предполагается, что переменные X и Y имеют нормальный закон распределения.
. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных должно быть одинаковым.
.2 Нелинейное уравнение регрессии
Простейшие случаи парной нелинейной корреляционной зависимости - это гиперболическая и параболическая. Их уравнения имеют вид:
(14)(15)
Как и в случае линейной зависимости, параметры находятся методом наименьших квадратов, который дает следующие системы нормальных уравнений:
для гиперболической зависимости (16)
для параболической зависимости (17)
Параметры , находим решая эти системы нормальных уравнений.
Теснота взаимосвязи между признаками в нелинейной зависимости измеряется с помощью корреляционного отношения, рассчитываемого по формуле
(18)
где - общая дисперсия признака У; - межгрупповая дисперсия признака У.
Общая дисперсия результативного признака У складывается из двух дисперсий: межгрупповой ?/p>