Развитие логического мышления младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
числа ? и b:
?+b= me (z), где z= x+y; me (x) = ?; me (y) = b
Существование и единственность суммы натуральных чисел вытекают из существования и единственности меры длины отрезка при выбранной единицы измерения.
Рассмотрим основные законы, которым удовлетворяет операция сложения целых неотрицательных чисел:
.(??,b ? Ne) (?+b= b+?) - коммутативный закон сложения.
(??,b, c ? Ne) ( (?+b) + c = ?+ (b+c)) - ассоциативный закон сложения. [1]
Вычитание
При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.
Вычитанием натуральных чисел ? и b называется операция, удовлетворяющая условию: ?-b =с тогда и только тогда, когда b+с =?.
Число ?-b называется разностью чисел ? и b, число ? - уменьшаемым, а число b - вычитаемым.
В начальном обучении математике определение вычитания, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с появления действий над однозначными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычитание связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. [11]
С точки зрения количественной теории разностью множеств A и B называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B.
Разностью множеств A и B обозначают A \ B. Тогда, по определению, имеем:
\ B = {x | x ? A и x? B}.
В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность множеств A \ B называют дополнением множества B до множества A, и обозначают символом BA.
Пусть B?A. Дополнением множества B до множества A называется множество, содержащее все элементы множества A, которые не принадлежат множеству B. A \ B = BA
Из определения следует, что BA= {x | x ? A и x? B}.
Как уже было сказано, в случае, когда B?A,
Разностью целых неотрицательных чисел ? и b называется целое неотрицательное число с, удовлетворяющее условию b+с =?.
Вычитание множеств обладает рядом свойств. В частности, можно доказать, что для любых множеств A, B и C справедливы следующие неравенства:
)(A \ B) \ C = (A \C) \ B;
2)(A U B) \ C = (A \C) U (B \ C);
)(A \ B) ? C = (A ? C) \ (B ? C);
)A \ (B U C) = (A \ B) ? (A \C);
5) A \ (B ? C) = (A \ B) U (A \C). [11]
Используя определение разности целых неотрицательных чисел, можно дать теоретика - множественное обоснование правил, связывающих операции вычитания:
.Правило вычитания числа из суммы:
а) (?+b) - с= (?-b) +b, если ??с
б) (?+b) - с= ?+ (b - с), если b?с
Чтобы вычесть из суммы число, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.
2.Правило вычитания суммы из числа:
?- (b + с) = (?-b) - с.
Чтобы вычесть из числа сумму, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое суммы.
Рассмотрим смысл действий сложения и вычитания с точки зрения измерения величин.
Пусть отрезок x состоит из отрезков y и z, и пусть, как прежде, ? = me (x), b= me (y), c= me (z).
Тогда отрезок z называется разностью отрезков x и y и обозначают z= x - y. Очевидно, что в этом случае мера отрезка z равна разности мер отрезков x и y, т.е. c= me (z) = me (x) - me (y) = ?-b.
Разностью натуральных чисел ? и b называется натуральное число ?-b, равное мере длины отрезка z, являющегося разностью отрезков x и y, мерами длин которых являются числа ? и b,
?-b= me (z), где z= x-y; me (x) = ?; me (y) = b
Необходимо заметить, что о разности отрезков x-y имеет смысл говорить только в том случае, когда отрезок x больше отрезка y. Следовательно, разность натуральных чисел ? и b, существует, единственна и является натуральным числом только при соблюдении условия ? >b. [1]
1.4 Методический смысл действий сложения и вычитания
В течение всех четырех лет начального обучения ведется работа по формированию у детей понятий о натуральном числе и арифметических действиях. С самого начала это делается в неразрывной связи с рассмотрением различных случаев практического применения этих понятий, с работой, направленной на усвоение детьми некоторых свойств чисел, десятичной системы счисления, арифметических действий и основанных на них приемов вычислений. Результатом этой работы должно стать усвоение детьми как включенных в программу вопросов теоретического характера, так и сознательное и прочное овладение навыками применения изученных вопросов теории к решению разнообразных практических и учебных задач и выполнению устных и письменных вычислений. Теория и практика должны при этом в ходе всей работы над арифметической частью программы выступать в их единстве и взаимосвязи. Как показывают наблюдения за опытом реализации программы в практике массовой школы, именно это важнейшее требование программы довольно часто нарушается.
Проявляется это в том, что, отрабатывая, скажем, навыки устных вычислений, учителя нередко забывают при этом о необходимости довести до сознания детей теоретическую основу в