Развитие логического мышления младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
В±общения школьников, когда они к одной группе относят насекомых и птиц потому, что " они летают", кита и дельфина - к рыбам потому, что " живут в морях и плавают" и т.п.
Умение рассуждать, обосновывать и доказывать то или иное положение более или менее уверенно и правильно тоже приходит постепенно и в результате специальной организации учебной деятельности, когда учитель ставит учащихся в такие условия, когда они должны самостоятельно сделать те или иные выводы и заключения. [6]
Опираясь на эти способности можно развивать логическое мышление младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания.
1.3 Математический смысл действий сложения и вычитания
Сложение
Действие сложение и вычитание рассматривается с точки зрения различных теорий: количественной теории, аксиоматической теории и теории измерения величин.
По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отношение "непосредственно следовать за", и понятия "натуральное число" и "предшествующее число".
Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу ? прибавить 1, то получим число ?, следующее за ?, т.е. ?+1=?, и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу ? натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2+3=5, то сумма 2+4 равна числу 6, которое непосредственно следует за числом 5. происходит так потому, что в сумме 2+4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. таким образом, сумму ?+b можно найти, если известна сумма ?+b. Эти факты и положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.
Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:
)(? ? ? N) ?+1=?
2)(? ?, b ? N) ?+b= (?+b) .
3)Число ?+b называется суммой чисел ? и b, а сами числа ? и b - слагаемыми.
Как известно, сумма любых двух натуральных чисел представляет собой также натуральное число, и для любых натуральных чисел ? и b сумма ?+b - единственна. другими словами, сумма натуральных чисел существует и единственна. особенностью определения является то, что заранее не известно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственна ли она? [11]
С точки зрения количественной теории сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств.
Если A и B - конечные множества и A ? B = , то m (A U B) = m (A) +m (B). Именно этот факт положен в основу определения суммы целых неотрицательных чисел, где m (A) - это численность множества A;
m (B) - это численность множества B.
Суммой целых неотрицательных чисел ? и b называется целое неотрицательное число ?+b, равное числу элементов в объединении непересекающихся множеств A и B таких, что m (A) = ?, m (b) =b.
?+b = m (A U B), где ?= m (A); b = m (B); A ? B =
Число ? и b при этом называются слагаемыми.
Операция, с помощью которой по данным целым неотрицательным числам ? и b находится целое неотрицательное число c, являющееся их суммой, называется сложением.
Коммутативный и ассоциативный законы сложения распространяются на любое конечное число слагаемых.
В начальном курсе математики сложение целых неотрицательных чисел вводится на конкретных примерах и задачах, решение которых связано с необходимостью объединять рассматриваемые множества и пересчитывать элементы в полученном объединении.
При непосредственном сравнении измерения величин можно установить равно они или нет. Если величины не равны, то можно указать, какая из них меньше, а какая больше. Для того чтобы получить более точный результат, необходимо величины измерить. Измерение различных величин, в техническом отношении, носит совершено различный характер. Для дли он один, для масс - он другой, для времени - третий и т.д. Однако в основе любого измерения лежит один и тот же принцип: измеряемый объект сравнивается с эталоном, т.е. с предметом или явлением, величина которого принята за единицу измерения. В результате сравнения получается число, характеризующее измеряемую величину.
Длина является величиной характеризующей пространственную протяженность объектов. Тем самым можно выяснить смысл арифметических операций над натуральными числами, рассматриваемые как меры длин отрезков.
Пусть отрезок z состоит из отрезков x и y, и пусть длины этих отрезков при выбранной единице e выражаются натуральными числами c, ?, b, т.е. c= m e (z), ? = me (x), b= m e (y). Это означает, что отрезок x состоит из ? отрезков, равных e; отрезок y состоит из b отрезков, равных e. Следовательно, весь отрезок z состоит из ?+b отрезков, равных e т.е. me (z) = c = ?+b = me (x) +me (y). Таким образом, можно дать определение суммы натуральных чисел:
Суммой натуральных чисел ? и b называется натуральное число ?+b, являющееся мерой длины отрезка z, состоящего из отрезков x и y, мерами длин которых являются