Поверхностные интегралы
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
2. Основная часть. Математическое исследование
2.1 Поверхностный интеграл первого рода
2.2 Поверхностный интеграл второго рода
2.3 Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода
2.4 Формула Остроградского
2.5 Формула Стокса
3. Приложения поверхностных интегралов
4. Тесты
5. Практические задания
1. Введение
Интеграл - одно из основных понятий математического анализа возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным, например находить длину пути, пройденного движущейся точкой, по её скорости. С другой стороны, измерять площади, объемы, работу сил за определенный промежуток времени и т.п.
Поверхностный интеграл - интеграл от функции заданной какой-либо поверхности. К поверхностному интегралу приводит, например, задача вычисления массы, распределенной плотностью f(М).Для этого разбивают поверхность на части S1, S2, …, Sn и выбирают в каждой их них по точке Mi. Если эти части достаточно малы, то их массы приближенно равны f(Mi) Si, а масса всей поверхности будет равна ni=1 f(Mi) Si. Поэтому точное значение массы поверхности есть lim ni=1 f(Mi) Si, где предел берется при условии, что размеры всех частей Si (и их площади) стремятся к нулю. К аналогичным пределам приводят и другие задачи физики. Эти пределы называются поверхностными интегралами первого рода от функции f(M) по поверхности S.
Целью моей работы стало составление пособия для студентов по теме "Поверхностные интегралы".
Задачи работы.
. Систематизировать теоретический материал по данной теме.
. Разработать тесты.
. Подобрать практические задания.
. Выявить практическое применение данного материала.
2. Основная часть. Математическое исследование
.1 Поверхностный интеграл первого рода
Пусть в точках некоторой поверхности S гладкой или кусочно-гладкой определена ограниченная функция f(M)=f(x,y,z). Разобьем поверхность S произвольно на n частей с площадями ?S1, ?S2, …, ?Sn.
Рис. 1
Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку Mi(?i,?i, ?i) составим формулу
ni=1 f(Mi) ?Si (1)
Сумма (1) называется интегральной суммой для функции f(M) по поверхности S. Обозначим через ? наибольший из диаметров частей поверхности.
Определение. Если интегральная сумма (1) при ?>0 имеет предел, равный J, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается одним из следующих символов
=S?? f(M) dS = S?? f(x,y,z) dS
В этом случае функция f(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности S, а S - областью интегрирования.
Данное определение по сути аналогично определению двойного интеграла. Поэтому свойства и условия существования двойных интегралов без особых изменений переносятся на поверхностные интегралы.
Вычисление поверхностных интегралов первого рода производится сведением поверхностного интеграла к двойному.
Пусть поверхность S задана уравнением z=z (x,y), где функция z (x,y) вместе с производными z'x (x,y) и z'y (x,y) непрерывна в замкнутой области G - проекция S на плоскость Oxy (рис 2) и пусть функция f(x,y,z) непрерывна на поверхности S и следовательно, интегрируема по этой поверхности.
Рис. 2
Разобьем поверхность S произвольно на n частей и спроектируем это разбиение на плоскость Oxy. Получим соответственно разбиение области G на части G1, G2, …, Gn. Площадь ?Si каждой части поверхности может быть представлена в виде
?Si =Gi?? v 1+z'x2(x,y)+ z'y2(x,y) dx dy(2)
Применяя к двойному интегралу теорему о среднем, получаем
?Si = v 1+z'x2(?i,?i)+ z'y2(?i,?i) ?Si, где (?i,?i) - некоторая точка области Gi, ?Si - площадь Gi.
Обозначим через Mi - точку на частичной поверхности с координатами (?i,?i,?i), где Si = z (?i, ?i), а (?i,?i) - точка которая имеется в формуле (2). Составим интегральную сумму для функции f(x,y,z) по поверхности S, выбирая точки Mi в качестве промежуточных:
ni=1 f (?i,?i,?i) ?Si = ni=1 f [?i,?i, z(?i,?i)] v 1+z'x2(?i,?i)+ z'y2(?i,?i) ?Si (3)
В правой части равенства находится интегральная сумма для двойного интеграла от непрерывной в области G функции
[x,y,z(x,y)] v1+z'x2(x,y)+ +z'y2(x,y).
Поэтому lim?>0ni=1 f [?i,?i, z(?i,?i)] v 1+z'x2(?i,?i)+ z'y2(?i,?i) ?Si =
= S?? f[x,y,z(x,y)] v 1+z'x2(x,y)+ z'y2(x,y) dx dy
Так как функция f(x,y,z) интегрируема по поверхности S, то
lim?>0ni=1 f (?i,?i,?i) ?Si = S?? f(x,y,z) dS.
Следовательно, переходя к пределу в (3) при ?>0, получаем искомую формулу
?? f(x,y,z) dS = G?? f[x,y,z(x,y)] v 1+z'x2(x,y)+ z'y2(x,y) dx dy,(4)
выражающую поверхностный интеграл первого рода через двойной интеграл по проекции поверхности S на плоскость Oxy.
Аналогично получаются формулы, выражающие интеграл по поверхности S через двойные по её проекциям на плоскости Oyz.и Oxz.
2.2 Поверхностный интеграл второго рода
Введем предварительно понятие стороны поверхности. Возьмем на гладкой поверхности S произвольную точку М и проведем через неё нормаль к поверхности (вектор n). Рассмотрим теперь на поверхности S какой-либо замкнутый контур, проходящий через точку М и не имеющий общих точек с границей поверхности S. Будем перемещать точку М по замкнутому контуру вместе с вектором n так, чтобы вектор n все время оставался нормальным к S и чтобы его направление менялось при этом перемещении непрерывно (рис. 3).
Рис. 3
Рис. 4
В начальное положение точка М вернется либо с тем же направлением нормали, либо с