Поверхностные интегралы
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
? его приложениях.
Пусть S - поверхность, заданная уравнением z = z (x,y), где функции z(x,y), z'x(x,y), z'y(x,y), непрерывны в замкнутой области G - проекции S на плоскость Oxy, являющаяся контуром, ограничивающим область G. Выберем верхнюю сторону поверхности S (рис. 8).
Рис. 8
Тогда при сделанных предположениях справедлива следующая теорема.
Если функция P (x,y,z) непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место следующая формула:
P (x,y,z) dx = S?? (?P/?z cos? - ?P/?y cos?) dS,(19)
где cos?, cos? - направляющие косинусы нормали к поверхности S, а контур L пробегается в положительном направлении.
Доказательство.
Преобразуем криволинейный интеграл L P (x,y,z) dx, взятый по контуру L в интеграл по поверхности S. Это преобразование проведем по следующей схеме: > l > G?? >S??, то есть криволинейный интеграл по пространственному контуру L преобразуем сначала в криволинейный интеграл по плоскому контуру l, затем переведем его в двойной интеграл по области G и, наконец, этот последний интеграл преобразуем в интеграл по поверхности S. Так как контур L лежит на поверхности S, то координаты его точек удовлетворяют уравнению z = z (x,y) и поэтому значение функции P (x,y,z) в точках контура L равны значениям функции P [x, y, z (x,y)] в соответствующих точках контура l, являющегося проекцией L. Проекции же соответствующих участков разбиения контуров L и l на ось Oх совпадают. Поэтому совпадают также интегральные суммы для криволинейных интегралов второго рода от функции P по контурам L и l, а значит, равны и интегралы:
L P (x,y,z) dx = l P [x,y, z(x,y)] dx
Далее применяя формулу Грина, перейдем к двойному интегралу по области G. Получаем
l P [x,y, z(x,y)] dx = -G?? (дP/дy + дP/дz * z'y) dx dy
Здесь подинтегральная функция равна частной производной по y от сложной функции, получающейся из P (x,y,z) после подстановки z (x,y) вместо z. Поскольку S - верхняя сторона поверхности, то есть cos ? > 0(? - острый угол между нормалью и осью Оz), нормаль имеет проекции -z'x, -z'y, 1. А так как направляющие косинусы нормали пропорциональны соответствующим проекциям, то
cos ? / cos ? = -z'y /1 = -z'y
Поэтому -G?? (дP/дy + дP/дz * z'y) dx dy = -G?? (дP/дy - дP/дz * cos ?/cos ?) dx dy
Теперь, воспользовавшись формулами (8) и (11), можно этот двойной интеграл преобразовать в поверхностный. Получаем
G?? (дP/дy - дP/дz*cos ?/cos ?) dx dy = -S?? (дP/дy*cos ? - дP/дz*cos ?) dS
Итак, P (x,y,z) dx = S?? (дP/дz*cos ? - дP/дy*cos ?) dS
Аналогично доказывается при соответствующих условиях справедливость имеющихся формул:
Q (x,y,z) dy = S?? (дQ/дx*cos ? - дQ/дz*cos ?) dS (20)
R (x,y,z) dz = S?? (дR/дy*cos ? - дR/дx*cos ?) dS (21)
Складывая почленно равенства (19), (20), (21) получаем формулу P dx + Q dy + R dz = S?? [(дQ/дx - дP/дy) cos ? + (дR/дy - дQ/дz) cos ? +(дP/дz - дR/дx) cos ?] dS, которая называется формулой Стокса.
С помощью формулы (14), связывающей поверхностные интегралы, можно переписать формулу Стокса в следующем виде: P dx + Q dy + R dz = S?? (дQ/дx - дP/дy) dx dy + (дR/дy - дQ/дz) dy dz +(дP/дz - дR/дx) dz dx,
Формула Стокса позволяет вычислять криволинейные интегралы по замкнутым контурам с помощь поверхностных интегралов.
3. Приложения поверхностных интегралов
Механические приложения поверхностных интегралов первого рода.
.С помощью названных интегралов можно определить массы, моменты, координаты центров тяжести и т.п. величины для материальных поверхностей, вдоль которых распределены массы с определенной в каждой точке поверхностной плотностью.
.Притяжение простого слоя.
Поверхностные интегралы первого рода естественно входят в рассмотрение при изучении притяжения масс, распределенных на поверхности.
Пусть по поверхности S непрерывным образом распределены массы с заданной в каждой точке M (x,y,z) поверхности плотностью ? (M) = ? (x,y,z). Пусть, далее, в точке А(?, ?, ?), вне поверхности, находится единица массы. Требуется найти, с какой величине и по направлению силой F притягивается точка А поверхностью S, если в основу положен ньютонов закон притяжения (закон всемирного тяготения).
Если бы точка А притягивалась одной лишь материальной точкой M(x,y,z) с сосредоточенной в ней массой m, то величина силы притяжения была бы равна F = m/r2 , где r2 есть расстояние АМ, то есть
= v (x - ?) 2 - (y - ?) 2+ (z - ?) 2 (1)
Так как сила направлена от А к М, то её направляющие косинусы будут
(x - ?)/r, (y - ?)/r, (z - ?)/r и следовательно, проекции силы притяжения F на оси координат выразятся так:
Fx = m (x - ?)/r, Fy = m (y - ?)/r, Fz = m (z - ?)/r(2)
В случае системы притягивающих материалы точек эти выражения заменились бы суммами подобных выражений, наконец при непрерывном распределении масс по поверхности появляется вместо сумм интегралы.
Применяя обычный прием изложения, можно было бы рассмотреть элемент dS поверхности с массой ?dS , как бы сосредоточенной в одной из его точек М (x,y,z). Оказываемое им на точку А притяжение будет иметь проекции на оси
dFx = ? (x - ?)/r2 dS, dFy = ? (y - ?)/r2 dS, dFz = ? (z - ?)/r2 dS,
где r означает расстояние АМ, выражаемое формулой (1). Теперь остается лишь "просуммировать" эти выражения, что приведет к следующим формулам для проекции силы F притяжения простого слоя на оси:
= S?? ? (x - ?)/r2 dS, Fy = S?? ? (y - ?)/r2 dS, Fz = S?? ? (z - ?)/r2 dS(3)
Этим сила F определена полностью как по величине, так и по направлени