Поверхностные интегралы
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
венно уравнением x = f(y,z), y = f(x,z), а G1 и G2-проекции поверхности S на плоскость Oyz и Oxz соответственно.
Для вычисления интеграла общего вида (6) используют те же формулы (8) - (10), если поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости. В более сложных случаях поверхность S разбивают на части, обладающие указанными свойствами, а интеграл (6) - на сумму интегралов по этим частям.
2.3 Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода
Поверхностные интегралы второго рода можно ввести и другим способом, а именно как поверхностные интегралы первого рода, в которых под знаком интеграла стоят некоторые специальные выражения, Обозначим через cos ?, cos ?, cos ? направляющие косинусы нормали ориентированной поверхности в произвольной ее точке. Поверхностные интегралы второго рода различаются своим отношением к координатным плоскостям:
- поверхностный интеграл второго рода для плоскости Oxy от функции R(x,y,z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы:
?? R(x,y,z) dxdy = S?? R(x, y, z) cos? dS(11)
- поверхностный интеграл второго рода плоскости Oxz от функции Q(x,y,z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы:
?? Q(x,y,z) dzdx = S?? Q(x, y, z) cos? dS(12)
- поверхностный интеграл второго рода плоскости Oyz от функции P(x,y,z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы:
?? P(x,y,z) dydz = S?? P(x, y, z) cos? dS(13)
Суммируя формулы (11) - (13), получаем формулу, выражающую поверхностный интеграл второго рода общего вида по выбранной стороне поверхности через поверхностный интеграл первого рода:
S?? (P dydz + Q dzdx + R dxdy) = S?? (P cos? + Q cos? + R cos?) dS(14)
Если выбрать другую сторону поверхности, то направляющие косинусы нормали cos ?, cos ?, cos ? изменят знак и, следовательно, изменит знак поверхностный интеграл второго рода.
2.4 Формула Остроградского
Формула Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью. Формула Остроградского имеет широкое применение как в самом анализе, так и в его приложениях.
Выведем эту формулу для замкнутой пространственной области, граница которой пересекается с любой прямой, параллельной осям координат, не более чем в двух точках. Назовем для краткости области простыми. При этом будем рассматривать внешнюю сторону поверхности, ограничивающей эту область. Предполагается, что поверхность гладкая или кусочно-гладкая.
Теорема. Пусть V простая замкнутая область, ограниченная поверхностью S и пусть функции P (x,y,z), Q (x,y,z) и R (x,y,z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в данной области. Тогда имеет место следующая формула:
??? (дP/дx + дQ/дy + дR/дz) dxdydz = S?? (P dydz + Q dzdx + R dxdy)(15)
называется формулой Остроградского.
Доказательство.
Пусть область G -проекция поверхности S (и области V) на плоскость Oxy (рис. 7), а z = z1(x,y) и z = z2(x,y) - уравнения соответствующих частей поверхности S - нижней части S1 и верхней S2.
Рис. 7
Преобразуем тройной интеграл V??? дR/?z dxdydz в поверхностный.
Для этого сведем его к повторному интегралу по формуле Ньютона-Лейбница выполним интегрирование по z.
Получим V??? дR/дz dxdydz = S?? dxdy Z1(x,y)? Z2(x,y) дR/дz dz = = G?? R[x,y,z1(x,y)]dxdy - G?? R[x,y,z2(x,y)]dxdy
Так как область G является проекцией на плоскость Oxy и поверхность S1 и поверхность S2, то двойные интегралы можно заменить равными им поверхностными интегралами (формула (8)), взятыми соответственно по верхней стороне поверхности z = z1(x,y) и верхней стороне поверхности z = z2(x,y), то есть??? дR/дz dxdydz = S2?? R(x,y,z)dxdy - S1?? R(x,y,z)dxdy
Меняя в интеграле по S1 сторону поверхности, получаем
??? дR/дz dxdydz = S2?? R(x,y,z)dxdy + S1?? R(x,y,z)dxdy(16)
где S - внешняя сторона поверхности, ограничивающей область V.
Аналогично доказываются формулы
??? дP/дx dxdydz = S?? P dydz(17)
??? дQ/дy dxdydz = S?? Q dzdx(18)
Складывая почленно равенства (16), (17), (18) приходим к формуле (15).
Замечание. Формула Остроградского верна для любой замкнутой пространственной области V, которую можно разбить на конечное число простых областей. В самом деле, применяя формулу (15) к каждой из областей разбиения и складывая результаты, получаем в левой части равенства тройной интеграл по всей области V, а в правой - поверхностный интеграл по поверхности S, ограничивающий область V, так как поверхностные интегралы по вспомогательным поверхностям берутся дважды по противоположным сторонам и при суммировании взаимно уничтожаются. С помощью формулы Остроградского удобно вычислять поверхностные интегралы по замкнутым областям.
Из формулы Остроградского легко получить выражение для объема области в виде поверхностного интеграла по замкнутой поверхности S - границе этой области. Действительно подберем функции P, Q, R так, чтобы дP/дx + дQ/дy + дR/дz = 1.
Тогда получим= V??? dxdydz = S?? P dydz + Q dzdx + R dxdy,
где, U объем, ограниченный поверхностью S.
В частности полагая P = x/3, Q = y/3, R = z/3, получаем для вычисления объема формулу= 1/3 S?? x dydz + y dzdx + z dxdy
2.5 Формула Стокса
поверхностный интеграл
Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным и криволинейным интегралом. Формулу Стокса широко применяют как в самом анализе, так и ?/p>