Поверхностные интегралы
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ю. Если бы и сама притягиваемая точка А лежала на поверхности S, то проекции притяжения на оси по-прежнему выражались бы интегралами (3), но на этот раз интегралы были бы несобственными, поскольку вблизи точки А подынтегральные функции все перестают быть ограниченными.
.Потенциал простого поля.
В случае одной притягивающей точки M (x,y,z), как мы видели, проекции притягивающей силы на оси имеют выражения (2). Легко усмотреть, что эти проекции являются частными производными по ?, ?, ? от функции
? (?,?,?) = m/r, которая называется ньютоновским потенциалом на точку А поля точки М.
В случае поля, созданного системой материальных точек, потенциал выразился бы суммой дробей этого вида, причем производные потенциала по ?, ?, ? по-прежнему давали бы проекции силы притяжения на оси.
Отсюда естественно приходим и такому выражению для потенциала простого слоя, расположенного по поверхности S, с плотностью ? на точку А:
? (?,?,?) = S?? ? dS/r (4)
Возникает лишь вопрос, сохраняется ли для этого потенциала фундаментальное свойство:
д? / д? = Fx, д? / д? = Fy, д? / д? = Fz (5)
где Fx, Fy, Fz суть проекции силы F притяжения простого слоя на оси и определяются формулами (3).
Если точка А не лежит на поверхности, так что никаких нарушений непрерывности нет, то легко показать, что к интегралу (4) при дифференцировании его по ?, ?, ? применимо правило Лейбница (для этого понадобилось бы лишь повторение уже знакомых нам рассуждений). Таким путем оправдываются и для рассматриваемого случая распределения масс соотношения (5).
4. Тесты
.Если интегральная сумма ni=1 f(Mi) ?Si при ?>0 имеет предел, равный J и обозначается J=S?? f(M) dS= S?? f(x,y,z) dS, то этот предел называется:
а) поверхностным интегралом первого рода;
б) поверхностным интегралом второго рода;
в) двойным интегралом от функции f (x,y,z).
.Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сведением поверхностного интеграла к
а) тройному интегралу;
б) двойному интегралу;
в) криволинейному интегралу.
.Формула, выражающая поверхностный интеграл первого рода через двойной по проекции поверхности S на ось Oxy записывается так;
а) S?? f(x,y,z) dS = G?? f[x,y(x,z),z] v 1+y'x2(x,y)+ y'z2(x,y) dx dz;
б) S?? f(x,y,z) dS = G?? f[x(y,z),y,z] v 1+x'y2(y,z)+ x'z2(y,z) dy dz;
в) S?? f(x,y,z) dS = G?? f[x,y,z(x,y)] v 1+z'x2(x,y)+ z'y2(x,y) dx dy.
.Поверхность называется двусторонней, если
а) на поверхности S существует замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное;
б) обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему её границы, при возвращении в исходную точку не меняет направление нормали к поверхности;
в) обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему её границы, при возвращении в исходную точку меняет направление нормали к поверхности на противоположное.
.Примером односторонней поверхности служит
а) лист Мебиуса;
б) сфера;
в) плоскость.
.По каким переменным определен следующий поверхностный интеграл второго рода: S?? Р(x,y,z) dy dz
а) x и y;
б) x и z;
в) y и z.
.Общий поверхностный интеграл второго рода обозначается символом
а) S?? P(x,y) dydz + Q(x,z) dzdx + R(y,z) dxdy
б) S?? P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy
в) S?? P(x,y) dxdy + Q(x,z) dzdy + R(y,z) dzdx
.Выберите формулу, выражающую поверхностный интеграл второго рода по переменным x и y через двойной:
а) S?? R(x,y,z) dxdy = G?? R[x, y, f(x,y)] dxdy
б) S?? P(x,y,z) dxdy = G?? P[f(y/z), y, z] dzdy
в) S?? Q(x,y,z) dxdy = G?? Q[x, f(x,z), z] dzdx
.Выберите формулу, выражающую поверхностный интеграл второго рода для плоскости Oxz через поверхностный интеграл первого рода
а) S?? R(x,y,z) dxdy = S?? R(x, y, z) cos? dS
б) S?? Q(x,y,z) dzdx = S?? Q(x, y, z) cos? dS
в) S?? P(x,y,z) dydz = S?? P(x, y, z) cos? dS
10.Если выбрать другую сторону поверхности, то поверхностный интеграл второго рода, выраженный через поверхностный интеграл первого рода
а) никогда не изменит знак;
б) изменит знак на противоположный;
в) оставит прежний знак.
.Какая из формул является формулой Остроградского
а) V??? (дP/dx + дQ/dy + дR/dz) dxdydz = S?? P dydz + Q dzdx + R dxdy;
б) V??? (дP/dy + дQ/dx + дR/dz) dxdydz = S?? P dydz + Q dzdx + R dxdy;
в) V??? (дP/dx + дQ/dz + дR/dy) dxdydz = S?? P dydz + Q dzdx + R dxdy.
.Формула, устанавливающая связь между поверхностным и криволинейным интегралами называется
а) формулой Остроградского;
б) формулой Грина;
в) формулой Стокса.
.При каком условии имеет место следующая формула P (x,y,z) dx = S?? (дP/дz*cos ? - дP/дy*cos ?) dS, где cos ? и cos ? - направляющие косинусы нормали к поверхности S, а контур L пробегается в положительном направлении
а) если функция P (x,y,z) непрерывна, а её частные производные первого порядка не являются на поверхности S таковыми ;
б) если функция P (x,y,z) непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S;
в) если функция не является непрерывной, а её частные производные первого порядка непрерывны на поверхности.
5. Практические задания
Примеры решения.
Пример 1. Вычислить интеграл S?? v 1 + 4x2 + 4y2 dS, где S - часть параболоида вращения z = 1 - x2 - y2, отсеченного плоскостью z = 0 (рис. 9).
Решение: Поверхность S, заданная уравнением z = 1 - x2 - y2, проектируется на плоскость Oxy в область G, ограниченную окружностью x2 + y2 = 1 (уравнение окружности получается из уравнения параболоида при z = 0). Следовательно областью G является круг x2 + y2 ? 1.
В этом