Поверхностные интегралы
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
противоположным.
Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему её границы, при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности, то поверхность называется двусторонней. Примерами двусторонних поверхностей служат плоскость, сфера, любая поверхность, заданная уравнением z = f(x,y), где f(x,y), fx'(x,y), fy'(x,y) - функции непрерывные в области G плоскости Oxy.
Если же на поверхности S существует замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное, то поверхность называется односторонней.
Простейшим примером односторонней поверхности является лист Мебиуса (рис. 4). При обходе листа Мебиуса по его средней линии и возвращении в исходную точку направление нормали меняется на противоположное.
В дальнейшем рассматриваются только двусторонние поверхности. Для двусторонней поверхности совокупность всех ее точек с выбранным в них направлением нормали, изменяющимся непрерывно при переходе от точки к точке, называется стороной поверхности, а выбор определенной ее стороны - ориентацией поверхности. Двустороннюю поверхность называют также ориентируемой, а одностороннюю - не ориентируемой. С понятием стороны поверхности тесно связано понятие ориентации ее границы.
Пусть S - ориентированная (сторона уже выбрана) поверхность, ограниченная контуром L, не имеющим точек самопересечения. Будем считать положительным направлением обхода контура L то, при движении по которому наблюдатель, расположенный так, что направление нормали совпадает с направлением от ног к голове оставляет поверхность слева от себя (рис. 5). Противоположное направление обхода называется отрицательным.
Рис. 5
Если изменить ориентацию поверхности, то есть изменить направление нормали на противоположное, то положительное и отрицательное направление обхода контура L поменяются ролями. Перейдем теперь к определению поверхностного интеграла второго рода. Пусть S - гладкая поверхность, заданная уравнением z = f(x,y) и R(x,y,z) - ограниченная функция, определенная в точках поверхности S. Выберем одну из двух сторон поверхности, то есть одно из двух возможных направлений нормали в точках поверхности (тем самым мы ориентировали поверхность). Если нормали составляют острые углы с осью oz, то будем говорить, что выбранная верхняя сторона поверхности z = f(x,y), если тупые углы, то нижняя сторона поверхности. Разобьем поверхность S произвольно на n частей и обозначим через Gi проекцию i-й части поверхности на плоскость Oxy. Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку Mi(?i,?i, ?i), сумму ni=1 R(?i,?i, ?i) ?Si,(5)
где ?Si - площадь Gi, взятая со знаком плюс, если выбрана верхняя сторона поверхности S, и со знаком минус, если выбрана нижняя сторона поверхности S. Сумма (5) называется интегральной суммой для функции R(M) = R(x,y,z). Обозначим через ? наибольший из диаметров частей поверхности S.
Определение. Если интегральная сумма (5) при ?>0 имеет предел, равный J , то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функции R(x,y,z) по выбранной стороне поверхности S и обозначается= S?? R(M) dx dy = S?? R(x,y,z) dx dy
В этом случае функция R(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности S по переменным x и y.
Аналогично определяется поверхностный интеграл второго рода по выбранной стороне S по переменным y и z [z и x] от функции P(x,y,z) [Q(x,y,z)], которая определена на поверхности S:?? P(x,y,z) dy dz [S?? Q(x,y,z) dz dx]
Сумму S?? P(x,y,z) dydz + S?? Q(x,y,z) dzdx + S?? R(x,y,z) dxdy называют общим поверхностным интегралом второго рода и обозначают?? P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy(6)
Поверхностный интеграл второго рода обладает такими же свойствами, как и поверхностный интеграл первого рода, но в отличие от последнего при изменении стороны поверхности (переориентации) он меняет знак. К понятию поверхности интеграла второго рода приводит, например, задача о потоке векторного поля. Для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится. Поверхностные интегралы второго рода вычисляются сведением их к двойным интегралам.
Пусть ориентированная (выберем верхнюю сторону) гладкая поверхность S задана уравнением z = f(x,y), где функция f(x,y) определена в замкнутой области G - проекции поверхности S на плоскость Oxy, а R(x,y,z) - непрерывная функция на поверхности S.
Разобьем поверхность S на n частей произвольно и спроецируем это разбиение на плоскость Oxy (рис. 6). Область G разобьется на части G1, G2, …, Gn .
Рис. 6
Выберем на каждой части поверхности произвольную точку Mi(?i,?i, ?i) и составим интегральную сумму ni=1 R(?i,?i, ?i) ?Si, где ?Si - площадь Gi. Так как Si = f(?i,?i), то
ni=1 R(?i,?i, ?i) ?Si = ni=1 R[?i,?i, f(?i,?i)] ?Si (7)
В правой части равенства находится интегральная сумма для двойного интеграла от непрерывной в области G функции R [x, y, f(x,y)]. Переходя к пределу в формуле (7) при ?>0, получаем искомую формулу
?? R(x,y,z) dxdy = G?? R[x, y, f(x,y)] dxdy(8)
выражающую поверхностный интеграл второго рода по переменным x и y через двойной интеграл. Кроме того формула (8) доказывает существование поверхностного интеграла от функции R(x,y,z), непрерывной на рассматриваемой поверхности S.
Если выбрать нижнюю сторону поверхности, то перед интегралом в правой части формулы (8) появится знак минус.
Аналогично устанавливается справедливость следующих формул:
?? P(x,y,z) dydz = G?? P[f(y,z), y, z] dydz(9)
?? Q(x,y,z) dzdx = G?? Q[x, f(x,z), z] dzdx(10)
где поверхность S задана соответст