Поверхностные интегралы
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
круге функции z = 1 - x2 - y2, z'x (x,y) = - 2x, z'y (x,y) = 2y непрерывны. По формуле (4) получаем S?? f(x,y,z) dS = S?? v 1 + 4x2 + 4y2 dS =
= G?? v 1 + 4x2 + 4y2 v 1 + 4x2 + 4y2 dx dy =
= G?? (1 + 4x2 + 4y2) dx dy.
Переходя в полученном интеграле к полярным координатам x = ? cos, y = ? sin ?, находим
G?? (1 + 4x2 + 4y2) dx dy = 0?2?d?0?1(1 + 4?2) ? d? =
0?2?[?2/2 + ?4]01 d? = 3/2 0?2?d? = 3/2 ?|01= 3?.
Пример 2. Вычислить интеграл S?? (y2 + z2) dxdy, где S - верхняя сторона поверхности z = v1 - x2, отсеченная плоскостями y = 0, y = 1 (рис. 10).
Решение: Проекцией G данной поверхности на плоскость Оxy является прямоугольник, определяемый неравенствами - 1 ? x ? 1, 0 ? y ? 1. По формуле (8) находим
?? (y2 + z2) dxdy = G?? [y2 + (v1 - x2)2] dxdy =
=-1?1dx0?1(y2 + 1 - x2) dy =-1?1[y3/3 + y - x2y]01 dx =
=-1?1(4/3 - x2) dx = [4x/3 - x3/3]-11 = 2.
Пример 3. Вычислить интеграл S?? x dydz + y dzdx + z dxdy, где S - верхняя сторона плоскости x + z - 1 = 0, отсеченная плоскостями y = 0, y = 4 и лежащая в первом октанте (рис. 11).
Решение: По определению, S??xdydz+ydzdx+zdxdy=
=G1?? x (y,z) dydz + S?? y dzdx + G2?? z (x,y) dxdy.
Здесь G1 и G2 - проекции поверхности S на плоскости Оxy и Оyz, а S?? y dzdx = 0, так как плоскость S параллельна оси Оy. По формулам (8) и (9) соответственно находим
S?? z dxdy =G2?? (1 - x) dxdy =0?4dy0?1(1 - x) dx = 2,
S?? x dydz =G1?? (1 - z) dydz =0?4dy0?1(1 - z) dz = 2.
Следовательно
S?? x dydz + y dzdx + z dxdy = 2 + 0 + 2 = 4.
Пример 4. Вычислить интеграл S?? z cos ? dS, где S - верхняя сторона полусферы x2 + y2 + z2 = 1, расположенной над плоскостью Оxy, а ? - острый угол между нормалью к поверхности S и осью Оz (рис. 12).
Решение: По формуле (11), связывающей поверхностные интегралы обоих типов, имеем
S?? z cos ? dS = S?? z dx dy.
Проекцией G данной поверхности S на плоскость О является круг x2 + y2 ? 1. По формуле (8) получаем
S??. z dx dy = G?? v1 - x2 - y2 dx dy.
Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, находим
G?? v1 - x2 - y2 dx dy = 0?2?d?0?1v1 - ?2 ? d? =
0?2?[- (1 - ?2)3/2/3]01 d? = 1/3 0?2?d? = 2?/3.
Пример 5. Вычислить интеграл S?? x dydz + y dzdx + z dxdy, где S - внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0 (рис. 13).
Решение: Используя формулу Остроградского, получаем
S?? x dydz + y dzdx + z dxdy =V??? (1 + 1 + 1) dx dy dz = 3 V??? dx dy dz = 30?1dx0?1-xdy10?1-x-ydz = 30?1dx0?1-x[z] 01-x-ydy = 30?1[y - xy - y2/2]01-x
dx = 30?1[1 - x - x (1 - x) - (1 - x)2/2] dx = 3/6 = .
Пример 6. Вычислить интеграл S?? x3 dydz + y3 dzdx + z3 dxdy , где S - внешняя сторона сферы x2 + y2 + z2 = R2.
Решение: Применяя формулу Остроградского, имеем
S?? x3 dydz + y3 dzdx + z3 dxdy = V??? (x2 + y2 + z2) dx dy dz,
откуда, введя сферические координаты, получаем
V??? (x2 + y2 + z2) dx dy dz = 30?2?d?0?? sin ? d?0?R ?4 d? = 12 ? R5/5.
Пример 7. Вычислить с помощью формулы Стокса интеграл
L P x2 y3 dx + dy + z dz, где L- окружность, заданная уравнениями x2 + y2 = 1, z = 0, а поверхностью S служит верхняя сторона полусферы x2 + y2 + z2 = 1 (z > 0) и контур L проходится в положительном направлении.
Решение : Так как
дQ/дx - дP/дy = - 3 x2 y2; дR/дy - дQ/дz = 0; дP/дz - дR/дx = 0,
то по формуле Стокса получаем
L P x2 y3 dx + dy + z dz = -3 S?? x2 y2 dx dy = - ?/8.
Практические задания.
.Вычислить поверхностные интегралы первого рода.
а) S?? x (y+z) dS; где S - часть цилиндрической поверхности x = v 1-y2, отсеченная плоскостями z = 0, z = 1;
б) S?? (3x2 + 5y2 + 3z2 -2) dS; где S - часть поверхности y = v x2 +z2, отсеченная плоскостями y = 0, y = 1;
в) S?? (x2 + y2 + 3z2) dS; где S - часть поверхности z = v x2 +y2, отсеченная плоскостями z = 0, z = 1;
г) S?? (x2 + y2 + z - ) dS; где S - часть поверхности 2z=2-x2-y2, отсеченная плоскостью Оxy;
д) S?? v 1 + 4x2 + 4z2 dS; где S - часть поверхности y = 2-x2-z2, отсеченная плоскостями y = 0.
. Вычислить поверхностные интегралы второго рода.
а) S?? (x2 + y2 + z2) dxdz; где S - внешняя сторона поверхности x2 = 2y, отсеченная плоскостями y = 2, z = 0, z = 1;
б) S?? (x2 + z2 + y2) dxdz; где S - внутренняя сторона поверхности y = v x2 +z2, отсеченная плоскостями y = 0, y = 1;
в) S?? (x2 + z2 + y2) dydz; где S - внутренняя сторона части полусферы y = v R2 - y2 -z2, вырезанная конусом x = v y2 +z2;
г) S?? (5x2 + 5y2 + z2) dxdy; где S - внешняя сторона части внешней полусферы z = v 4 - x2 - y2, вырезанная конусом z = v x2 +y2;
д) S?? (x2 + y2 + 3z2) dxdy; где S - внешняя сторона поверхности= v x2 +y2, отсеченная плоскостями z = 0, z = 2.
.Выразить поверхностный интеграл второго рода через поверхностный интеграл первого рода.
а) S?? (x2 - 2y2 + 6z2) dxdy;
б) S?? (x2/9 + y2/4 + 2z) dxdy;
в) S?? (2x + 3y + 4z) dxdy;
г) S?? (x2 + z2) dydz;
д) S?? (x dydz + y dzdx + z dxdy.
.Применяя формулу Остроградского, преобразовать поверхностные интегралы в интегралы по объему
а) S?? (x cos? + y cos? + z cos?) dS;
б) S?? (x2 + y2 + z2) (dydz + dxdz + dxdy);
в) S?? (xy dxdy + yz dydz + zx dzdx);
г) S?? (дu/дx dydz + дu/дy dxdz + дu/дz dxdy);
д) S?? (x dydz + y dzdx + z dxdy).
.С помощью формулы Остроградского вычислить следующие интегралы
а) S?? (x cos? + y cos? + z cos?) dS; где S - поверхность эллипсоида x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1;
б) S?? (x3 cos? + y3 cos? + z3 cos?) dS; где S - поверхность сферы x2 + y2 + z2 = R2;
в) S?? x2 dydz + y2 dzdx + z2 dxdy; где S - поверхность конуса x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 0, (0 ? z ? b);
г) S?? x dydz + y dzdx + z dxdy; где S - поверхность цилиндра x2 + y2 = а2, (-1 ? z ? 1);
д) S?? x dydz + y dzdx + z2 dxdy; где S - внешняя сторона поверхности куба -0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1, 0 ? z ? 1.
.С помощью формулы Стокса вычислить криволинейные интегралы
а) L y dx + z dy + x dz;где L - окружность x2 + y2 + z2 = a2, S - часть плоскости x + y + z = 0 ограниченная данной окружностью;
б) L (y+z) dx + (z+x) dy + (x+y) dz;где L - окружность x2 + y2 + z2 = a2, S - часть плоскости x + y + z = 0 ограниченная данной окружностью;
в) L x y dx + dy + z dz; где L - окружность x2 + y2 = R2, z = 0;
г) L (y2-z2) dx + (z2-x2) dy + (x2-y2) dz;где L - сечение поверхности куба 0 ? x ? а, 0 ? y ? а, 0 ? z ? а плоскост