Параллельные прямые в курсе основной школы
Курсовой проект - Педагогика
Другие курсовые по предмету Педагогика
0) была бы меньше 180, что противоречит сделанному предположению. Поэтому сумма углов треугольника ABC1 также равна 180. Отсюда, в точности так же как выше, заключаем, что в каждом из треугольников A1BC1 и A1AC1 сумма углов равна 180.
Теперь уже нетрудно доказать теорему 2. Пусть сумма углов некоторого треугольника ABC равна 180. Опустив на его большую сторону высоту BD, разобьем его на два прямоугольных треугольника ABD и CBD (см. рис. а).
Сумма углов каждого из треугольников ABD, CBD также равна 180 (т. к. если бы сумма острых углов хотя бы одного из треугольников ABD и CBD была меньше 90, то сумма углов треугольника ABC также была бы меньше 180). По доказанному выше, отсюда следует, что сумма острых углов любого прямоугольного треугольника равна 90. Но каждый треугольник A1B1C1 можно разбить на два прямоугольных треугольника высотой, опущенной на большую сторону (см. рис.б). Так как сумма острых углов каждого из этих треугольников (A1B1D1 и B1C1D1 на рис. б) равна 90, то сумма углов треугольника A1B1C1 равна 180, что и завершает доказательство теоремы.
Теорема 3. Если сумма углов любого треугольника равна 180, то справедлив V постулат.
Пусть A - точка, лежащая вне прямой DD (см. рис.) . Опустим из точки A перпендикуляр AC на прямую DD и проведем через точку A прямую BB, перпендикулярную к AC. Ясно, что прямые BB и DD не пересекаются (иначе образовался бы треугольник с суммой углов, большей 180).
Надо доказать, что любая другая прямая MN, проходящая через точку А, пересекается с прямой DD. Из двух лучей АM, АN выберем тот, который с отрезком АС составляет острый угол; пусть это будет луч АN и пусть (рис. в низу на с.22) точка В и N лежат по одну сторону от прямой АС (в противном случае можно было бы поменять обозначения точек В и В. Угол ВАN обозначим через а.
рис.1 рис.2
Отложим на луче СD отрезок СР1=СА (рис. 2). Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике АСР1 каждый из углов LА, LР1=450=1/2*900 (ведь, по предположению, сумма углов треугольника равна 1800). Отложим теперь на прямой СD отрезок Р1Р2= Р1А. тогда в равнобедренном треугольнике АР1Р2каждый из углов LР1АР2, LР2, как легко подсчитать, равен 1/2*450=1/4*900. Затем построим точку Р3 прямой СD (так, чтобы АР2= Р2Р3) и т.д. В результате получим лучи АР1,АР2, АР3…, каждый из которых пересекает прямую СD. При этом LВАР1=1/2*900, LВАР2=1/4*900, LВАР3=1/8*900, …Ясно, что после конечного числа шагов получим такой луч АРn (пересекающий прямую DD), для которого LВАРn=1/2n*900<а. этим и завершается доказательство теоремы.
Как известно из V постулата (или аксиомы параллельности) вытекает, что сумма углов любого треугольника равна 1800.
Таким образом, теорема 3 показывает, что утверждение сумма углов треугольника равна 1800 эквивалентно V постулату (эта эквивалентность имеет место только при выполнении остальных аксиом геометрии Евклида).
В заключение приведем одно из доказательств V постулата, помещенных Лежандром в его книге "Начала геометрии". Для доказательства V постулата нужно лишь установить, что сумма углов треугольника не может быть меньше 180: ведь тогда из теоремы 1 будет вытекать, что сумма углов треугольника в точности равна 180, а потому, согласно теореме 3, будет справедлив V постулат. Доказательство проводится "от противного": пусть существует треугольник ABC, сумма углов которого меньше 180, скажем, равна 180- ? (см. рис.).
Построим на стороне BC вне треугольника ABC треугольник BCD, равный ABC, и проведем через точку D прямую, пересекающую стороны AB и AC угла BAC в точках M и N. В таком случае сумма углов треугольника BCD также равна 180- ?, а у треугольников BDM и CDN суммы углов не превосходят 180 (теорема 1).
Поэтому сумма 12 углов четырех треугольников: ABC, BCD, BDM и CDN не превосходит 720-2?. Но суммы трех углов при точках B, C и D равны 180; поэтому сумма оставшихся трех углов при вершинах A, M и N не превосходит (720-2?) - 540 = 180- 2?. Таким образом, мы построили треугольник AMN, сумма угол которого не превосходит 180-2?. Далее таким же способом строим треугольник, сумма углов которого не превосходит 180- 4?, затем треугольник, сумма углов которого не превосходит 180- 8?, и т. д. Но таким путем мы, в конце концов, придем к треугольнику с отрицательной суммой углов, - а такого треугольника явно не может быть! Полученное противоречие и доказывает, что сумма углов любого треугольника равна 180, а значит (теорема 3), V постулат имеет место.
Ошибочность этого доказательства состоит в том, что Лежандр, не оговаривая этого явно, пользуется следующим утверждением: через любую точку D, взятую внутри угла CAB, можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла. Но это предложение эквивалентно самому V постулату: его так же не удается доказать, исходя из остальных аксиом, как и V постулат.
Неевклидова геометрия Лобачевского и абсолютная геометрия. Многие попытки доказательства V постулата проводились по схеме "доказательства от противного", т. е. предполагалось, что V постулат не имеет места, и делался ряд выводов, имеющих место в этом случае. Если бы при этом удалось прийти к противоречию, то V постулат был бы доказан. По этому пути шли упомянутые выше Хасан ибн ал-Хайсам и Омар Хайям, а также во многом следовавшие за Хайямом азербайджанский математик XIII века Насир Ад