Параллельные прямые в курсе основной школы
Курсовой проект - Педагогика
Другие курсовые по предмету Педагогика
?г;
) и что все прямые углы равны между собой;
) и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых."
Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных - самый знаменитый. Он всегда интриговал математиков, которые пытались вывести его из четырех предыдущих или вообще отбросить, до тех пор, когда в XIX в. обнаружилось, что можно построить другие, неевклидовы геометрии и что пятый постулат имеет право на существование.
Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.
Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.
Возможно, что уже сам Евклид пытался доказать постулат о параллельных. В пользу этого говорит то обстоятельство, что первые 28 предложений Начал не опираются на V постулат. Евклид как бы старался отодвинуть применение этого постулата до тех пор, пока использование его не станет настоятельно необходимым.
Затем Евклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы вообще ко всем наукам.
Аксиомы
I. Равные порознь третьему равны между собой.
II. И если к ним прибавим равные, то получим равные.
III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
V. И если удвоим равные, то получим равные.
VI. И половины равных равны между собой.
VII. И совмещающиеся равны.
VIII. И целое больше части.
IX. И две прямые не могут заключать пространства.
Книги I-IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы. В книге V разрабатывалось учение о пропорциях, которое примыкало к Евдоксу Книдскому. В книгах VII-IX содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских первоисточников. В книгах X-XII содержатся определения площадей в плоскости и пространстве (стереометрия), теория иррациональности (особенно в X книге); в XIII книге помещены исследования правильных тел, восходящие к Теэтету.
Начала Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием Евклидовой геометрии.
Обычно о Началах говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. Книга имеет свою, весьма примечательную историю. До двадцатого века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.
Начала пользовались исключительной популярностью, и с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах. Позднее Начала с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу. На протяжении четырех столетий Начала публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6-7 изданий. С 1482г. "Начала" Евклида выдержали более 500 изд. на всех языках мира Начала Евклида были основательно изучены арабами, а позднее европейскими учеными. Первые подлинники были напечатаны в 1533 году в Базеле. Любопытно, что первый перевод на английский язык, относящийся к 1570 году, был сделан Генри Биллингвеем, лондонским купцом.
Можно смело утверждать, что Евклид заложил основы не только геометрии, но и всей античной математики.
Лишь в девятнадцатом веке исследования основ геометрии поднялись на новую, более высокую ступень. Удалось выяснить, что Евклид перечислил далеко не все аксиомы, которые на самом деле нужны для построения геометрии. В действительности при доказательствах ученый ими пользовался, но не сформулировал.
Тем не менее, все выше сказанное нисколько не умаляет роли Евклида, первого показавшего, как можно и как нужно строить математическую теорию. Он создал дедуктивный метод, прочно вошедший в математику. А значит, все последующие математики в известной степени являются учениками Евклида.
.2 Попытки доказательства V постулата Евклида
параллельный геометрия учащийся треугольник
Первые 28 предложений Начал не опираются на V постулат, возможно Евклид старался отодвинуть применение этого постулата до тех пор, пока использование его не станет настоятельно необходимым.
Попытки доказать пятый постулат продолжались с тех пор в течение 2000 лет. Их предпринимало множество ученых. Вот неполный перечень:
греки Птолемей (2 в. н. э., тот самый Птолемей, "которого система") и Прокл (5 в.),
араб ал-Хайсам (10 в.),
перс (или таджик) Омар Хайям (11 в. - начало 12 в., тот самый Хайям, который известен как великий поэт),
азербайджанец ат-Туси (13 в.),
немец Клавий-Шлюссель (1514; здесь и дальше дата работы),
итальянцы Катальди (1603), Борелли (1658) и Витале (1680),
англичанин Валлис (1663),
итальянец Саккери (1733),
немец Ламберт (1766),
французы Бертран (1778) и Лежандр (1794, 1823),
русский Гурьев (1798).
Все их попыт