Теория вероятности — задачи

Оглавление

 

 

 

Пример 1. 2

Пример 2. 4

Пример 3. 6

Список литературы.. 8

 

 

Пример 1

а) Непрерывная случайная величина X распределена по экспоненциальному закону с параметром λ=0.2. Найдите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (0,2).

Решение:

Решение. Поскольку λ=0.2, то непрерывная величина Х распределена по показательному закону если:

 

 

Вероятность попадания в интервал (a.b) непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону

Тогда в интервале (0,2)

Ответ: Вероятность попадания случайной величины в интервал (0,2) -0,33.

 

б) Длительность времени X безотказной работы элементов имеет экспоненциальное распределение с параметром λ=0.02ч-1

Вычислите вероятность того, что за время t=100 ч элемент:

  1. Выйдет из строя p≈
  2. Будет работать исправно p≈

а) Так как функция распределения

определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t, то, подставив t = 100 в функцию распределения, получим вероятность отказа:

F(50) = 1 — е-0,01*50= 0,394;

б) события «элемент выйдет из строя» и «элемент будет работать исправно» — противоположные, поэтому вероятность того, что элемент будет работать исправно:

Р = 1—0,865 = 0,135

Ответ: вероятность того, что элемент выйдет из строя — 0,865, а того, что элемент будет работать исправно — 0,135

 

 

Пример 2

В течение часа на станцию скорой помощи поступает случайное число X вызовов, распределенное по закону Пуассона с параметром λ=5. Найдите вероятность того, что в течение часа поступит:

  1. Ровно два вызова: p≈
  2. Не более двух вызовов: p≈
  3. Не менее двух вызовов: p≈

 

Запишем ряд распределения случайного числа вызовов в формульном виде:

 

Тогда, если на станцию поступило 2 вызова

 

Если на станцию поступило не более двух вызовов:

 

Если на станцию поступило не менее двух вызовов:

 

Ответ: Вероятность того, что в течение часа поступит

  1. Ровно два вызова: p≈0,084
  2. Не более двух вызовов: p≈0,125
  3. Не менее двух вызовов: p≈0,041

 

Пример 3

Из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованные, наудачу выбирают 3 детали. Найдите закон распределения числа бракованных деталей среди выбранных. Постройте функцию распределения F(x) и укажите ее значение для:

  1. F(1.5) ≈
  2. F(3) ≈

Решение:

Случайная величина X — число стандартных деталей среди отобранных деталей — имеет следующие возможные значения: х1 =0; x2=1; x3= 2. Найдём вероятности возможных значений X по формуле:

где N — число деталей в партии,

n -число стандартных деталей в партии,

m -число отобранных деталей,

k — число стандартных деталей среди отобранных.

Всего исправных деталей: 10-2= 8

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 деталей нет бракованных.

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 деталей одна бракованная.

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 деталей две бракованные.

Контроль

Запишем закон распределения

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.

Функция распределения: F(x) = Р(Х< х).

1)       Если х < 0, то F(x) = 0.

Действительно, значений, меньших числа 0, величина X не принимает. Следовательно, при х < 0 функция F(x) = Р(Х< х) = 0

2)       Если 0 < х < 1, то F(x) =1/45       .

Действительно, X может принять значение 0 с вероятностью .

3)       Если 1 < х < 2, то F(x) =17/45 .

Действительно, X может принять значение 0 с вероятностью  1/45 и значение 1 с вероятностью 16/45  следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий с вероятностью 1/45+16/45=17/45

4)       Если х > 2, то F(x) = 1.

Действительно, событие X < 2 достоверное и вероятность его равна единице.

Итак, искомая функция распределения имеет вид:

Следовательно

  1. F(1.5)= ≈0,378
  2. F(3) =1

 

 

Список литературы

  1. Битнер, Г.Г. Теория вероятностей: Учебное пособие / Г.Г. Битнер. — Рн/Д: Феникс, 2012. — 329 c.
  2. Большакова, Л.В. Теория вероятностей для экономистов: Учебное пособие / Л.В. Большакова. — М.: ФиС, 2009. — 208 c.
  3. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для бакалавров / В.Е. Гмурман. — М.: Юрайт, 2013. — 479 c.
  4. Горлач, Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / Б.А. Горлач. — СПб.: Лань, 2013. — 320 c.
  5. Калинина, В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для бакалавров / В.Н. Калинина. — М.: Юрайт, 2013. — 472 c.
  6. Климов, Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика / Г.П. Климов. — М.: МГУ, 2011. — 368 c.
  7. Колемаев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. — М.: КноРус, 2013. — 376 c.
  8. Колесников, А.Н. Теория вероятностей в финансах и страховании / А.Н. Колесников. — М.: Анкил, 2008. — 256 c.