Теория вероятности — задачи

Оглавление

 

 

 

Задача 1. 2

Задача 2. 3

Задача 3. 4

Задача 4. 5

Задача 5. 6

Задача 6. 7

Список литературы.. 9

 

 

 

Задача 1

В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.

Решение:

A – благоприятный исход — вытащена окрашенная деталь

Равновозможных исходов: 50, их них благоприятных только 5, то есть 5 раз из 50 можно вытащить окрашенную деталь.

P(A)=5/50=1/10=0,1

Ответ: Вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной 0,1 или 10%.

 

 

Задача 2

Из десяти первых букв русского алфавита выбирают наудачу без возвращения четыре буквы и записывают в порядке поступления слева направо. Какова вероятность того, что составленное «слово» будет оканчиваться на букву «А».

Решение:

Так как буквы выбирают последовательно, то вероятность выбора буквы «А» в каждом выборе будет разной.

Найдем n число всех слов из 4-букв в данном опыте, которое  равно числу упорядоченных подмножеств по 4-элемента из 10 элементов, т. е.

Теперь разберем событие A , которое представляет собой составленное слово наудачу из 4 букв, которое оканчивается буквой «А». Букву «А» нужно поставить в конец слова, так что его место будет фиксированным, следовательно следует распределить на оставшиеся места остальные буквы, выбранные наудачу.  Таким образом,

Следовательно вероятность, что составленное «слово» будет оканчиваться на букву «А»:

Ответ: вероятность, что составленное «слово» будет оканчиваться на букву «А» — 0,1 или 10%

 

 

 

Задача 3

Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 3.

Решение:

Цифру «3» содержат 19 цифр из ста: 3, 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 43, 53, 63, 73, 83, 93. Следовательно остальные 81 цифра (100 – 19) цифру «3»  не содержат.

Следовательно вероятность того, что извлечённый жетон первым не будет содержать цифру «3» = 81/100.

Ответ: вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры «3» 81/100 или 0,81.

 

 

 

Задача 4

Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

Решение:

Решение: найдём общее число способов, коими можно расставить на одной полке 8 книг.

n!=8!= 40320

2 определенные книги рядом могут оказаться в 7 случаях без учёта перестановок, а если с учесть перестановки этих 2-х книг, то в 14-ти случаях.

Оставшиеся шесть книг для каждого из этих 14 случаев можно расставить 6!=720 способами. Поэтому благоприятствующих комбинаций существует 14 × 6!=14 × 720 = 10080

То есть  оказываются рядом две определённые книги в 10080 комбинациях.

Тогда вероятность того, что поставленными рядом книги окажутся две определенные по классическому определению:

 

Ответ: вероятность того, что две определенные книги из восьми окажутся поставленными рядом равна ¼ или 0,25.

 

 

Задача 5

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Иван Петров. Найдите вероятность того, что в первом туре Иван Петров будет играть с каким- либо бадминтонистом из России.

Решение:

В первом туре Иван Петров может сыграть с 25 бадминтонистами (26 – 1 ), из России в их числе будет 9 человек (10-1). Следовательно вероятность того, что Иван Петров в первом туре будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 9/25 или 0,36.

Ответ: вероятность того, что в первом туре Иван Петров будет играть с каким- либо бадминтонистом из России равна 9/25 или 0,36.

 

 

 

Задача 6

В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2,……10. На удачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся:

  1. Деталь № 1
  2. Деталь№ 1 и № 2

Решение:

  1. Найдем общее число элементарных возможных исходов опыта, которое равно числу способов, которыми шесгь деталей можно извлечь из десяти возможных, т. е. .

Число благоприятствующих интересующему нас событию исходов, то есть то, что  деталь № 1 окажется среди отобранных шести деталей, следовательно, остальные выбранные в числе шести деталей — пять деталей помечены другими номерами. Очевидно, число таких исходов равно числу способов, которыми из оставшихся девяти деталей можно отобрать пять деталей, т.е. .

Вероятность детали № 1 оказаться среди выбранных шести деталей из 10 равна отношению числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов к общему числу возможных элементарных исходов:

  1. Число, благоприятствующих интересующему нас другому событию, когда детали № 1 и № 2 окажутся среди отобранных деталей, следовательно остальные выбранные в числе шести деталей — четыре детали помечены другими номерами, равно числу способов, которыми четыре детали можно выбрать из оставшихся восьми, т. е. .

Вероятность детали № 1 и № 2 оказаться среди выбранных шести деталей из 10 равна отношению числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов к общему числу возможных элементарных исходов:

 

Ответ: вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся:

  1. Деталь № 1 – 0,6
  2. Деталь№ 1 и № 2  — 1/3

 

 

 

 

Список литературы

  1. Балдин, К.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков. — М.: Дашков и К, 2016. — 472 c.
  2. Большакова, Л.В. Теория вероятностей для экономистов: Учебное пособие / Л.В. Большакова. — М.: ФиС, 2009. — 208 c.
  3. Буре, В.М. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / В.М. Буре, Е.М. Парилина. — СПб.: Лань, 2013. — 416 c.
  4. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для прикладного бакалавриата / В.Е. Гмурман. — Люберцы: Юрайт, 2016. — 479 c.