Краткий конспект лекций Кемерово 2002 удк: 744 (075)

Вид материала

Конспект

Содержание 6.1.Общие сведения о пересечении поверхности плоскостью. 6.2.Пересечение пирамиды с плоскостью 6.3. Пересечение призмы с плоскостью 6.4. Пересечение цилиндра с плоскостью 6.5. Пересечение конуса с плоскостью 6.6. Пересечение сферы с плоскостью C D'" равны величине диаметра окружности (А В''), малые оси эллипсов АВ' 6.7. Пересечение тора с плоскостью 6.8. Примеры построения чертежей деталей, усеченных проецирующими плоскостями 7. Метрические задачи К метрическим относятся также задачи на построение угла и отрезка с наперед заданным соответственно градусной и линейной величин Отметим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов 7.1 Определение действительной величины плоского угла но его ортогональным проекциям 7.2.1 Взаимно перпендикулярные прямые. 7.2.2.Взаимно перпендикулярные прямая и плоскость 7.2.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Подобный материал:

• Конспект лекций (для студентов всех форм обучения) Кемерово 2002, 1424.32kb.
• Конспект лекций москва 2004 удк 519. 713(075)+519. 76(075) ббк 22. 18я7, 1805.53kb.
• Конспект лекций по курсу "Начертательная геометрия и инженерная графика" Кемерово 2002, 786.75kb.
• Конспект лекций для студентов ссузов Кемерово 2010, 1664.44kb.
• Конспект лекций Для студентов вузов Кемерово 2006, 1068.06kb.
• Конспект лекций Омск 2002 удк 629. 424., 467.89kb.
• Конспект лекций кемерово 2003 удк: 637. 992, 1167.63kb.
• Конспект лекций Кемерово 2004 удк: 637. 992, 2553.59kb.
• Н. В. Рудаков Краткий курс лекций, 1552.23kb.
• Учебное пособие Кемерово 2004 удк: 637. 5: 579. 2 (075., 1001.84kb.

^ 6.1.Общие сведения о пересечении поверхности плоскостью.

При пересечении любого тела е плоскостью получается некоторого вида плоская фигура, называемая сечением. Под сечением понимают ту часть секущей плоскости, которая находится внутри рассеченного тела и ограничена линией сечения. Линией сечения тела плоскостью является контур этого сечения,

Плоскости, с помощью которых получается сечение, называют секущими.

Фигура сечения многогранника — многоугольник, число сторон которого равно числу граней, пересекаемых плоскостью. Вершинами этого многоугольника являются точки пересечения ребер с секущей плоскостью, а сторонами — линии пересечения граней с секущей плоскостью. Плоские сечения многогранников — замкнутые фигуры.

В пересечении кривой поверхности плоскостью в общем случае получается плоская кривая линия (окружность, эллипс и т. п.). При пересечении линейчатых поверхностей плоскостями могут получаться, в частности, и прямые линии, если секущая плоскость направлена вдоль образующих (цилиндра, конуса и др.).

Основным способом построения точек линии пересечения поверхности с плоскостью является способ вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательная плоскость пересекает секущую плоскость по прямой, а заданную поверхность по некоторой кривой или прямой линии. Точки пересечения этих линий и будут искомыми точками, принадлежащими поверхности и секущей плоскости.

Построение проекций линии сечения поверхности плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость проецирующая. В этом случае одна из проекций линии сечения уже имеется на чертеже: она совпадает с проекцией плоскости. Остается лишь найти другие проекции этой линии.

^ 6.2.Пересечение пирамиды с плоскостью

Плоскость пересекает пирамиду по многоугольнику. Если плоскость параллельна основанию пирамиды, в сечении получается фигура, подобная основанию. При построении линии пересечения


74

пирамиды с плоскостью определяют точки пересечения ее ребер с данной плоскостью или строят линии пересечения граней пирамиды с этой плоскостью.

На рис.6.1 показано построение проекции линии сечения пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью  Фронтальная проекция линии сечения совпадает с фронтальной проекцией _v секущей плоскости. Горизонтальная и профильная проекции сечения находятся с помощью линий связи проведённых из точек 1 ... б до пересечения с горизонтальными проекциями соответствующих рёбер пирамиды.



Рис 6.1

75

Натуральная величина сечения определена способом замены плоскостей проекции. Так как сечение имеет фронтальную ось симметрии, при построении его натурального вида эта ось проведена параллельно _v.

Для построения точек 1о...6о данного сечения использованы их размеры у.

^ 6.3. Пересечение призмы с плоскостью

При построении линии пересечения призмы с плоскостью определяют точки пересечения ее ребер с данной плоскостью. Эту линию можно также построить, определяя линии пересечения отдельных граней призмы с плоскостью. В результате пересечения поверхности призмы плоскостью может быть получен прямоугольник (рис.6.2а ), если эта плоскость параллельна боковым рёбрам призмы, или различного вида многугольники (рис.6.2 б,в.), если плоскость не па параллельна им

Н
а рис 6.3 показано построение проекций линии сечения

треугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью 

В сечении получен четырёхугольник ABCD, фронтальная проекция которого совпадает с фронтальной проекцией _v секущей плоскости. Точки А,В являются точками пересечения боковых рёбер призмы с плоскостью , а отрезок CD - линия пересечения верхнего основания призмы с этой плоскостью.

Натуральный вид сечения Ао Во Со Do построен способом замены плоскостей проекций, для этого введена новая плоскость проекций,


76







параллельная плоскости о, и на эту плоскость спроецированы точкиA,B,C,D. Из проекций А, В", С D проведены линии связи, перпендикулярные к следу _v, и на свободном поле чертежа проведена линия Ао Do, параллельная _v. Эта линия принята за базу отсчёта размеров у на фигуре сечения потому, что прямая AD принадлежит фронтальной плоскости задней грани призмы, которую принимают за базовую. Точки Во и Со построены с помощью размеров у_в и у_с.

^ 6.4. Пересечение цилиндра с плоскостью

При пересечении цилиндра плоскостью фигура сечения будет зависеть от угла наклона плоскости по отношению к оси вращения.



77

Если секущая плоскость параллельна оси вращения (рис 6.4 а ), в сечении цилиндра получится прямоугольник. Если плоскость перпендикулярна оси вращения (рис 6.4 , б), в сечении получится окружность.

Когда секущая плоскость расположена под углом к оси вращения цилиндра, в сечении получается эллипс (рис 6.4 в) или его часть ( рис 6.4', г).



Рис 6.4

На рис 6.5 показано построение проекций линии сечения цилиндра фронтально - проецирующей плоскостью  (_v).

Линией пересечения является эллипс. Большая ось эллипса - АВ = А' 'В'^/, малая ось CD = СD - диаметр цилиндра.

Ось цилиндра и вся цилиндрическая поверхность перпендикулярны плоскости Н. Следовательно, все точки цилиндрической поверхности, в том числе и линия пересечения ее с плоскостью а(а ) проецируется на плоскость Н в окружность, на ней отмечают горизонтальные проекции точек А, 1, С, 2, В', D', 2', 1' эллипса, расположив их равномерно по окружности. В проекционной связи строят фронтальные проекции А, \", С, В, 2^//, В на фронтальном следе _v секущей плоскости.

Профильные проекции точек строят по их горизонтальной и фронтальной проекциям на линиях связи. Профильная проекция линии пересечения цилиндра с секущей плоскостью - эллипс, большая ось CD которого в данном случае равна диаметру цилиндра , а малая ось АВ - профильная проекция отрезка АВ. Натуральный вид сечения построен способом замены плоскостей проекций на плоскости Т, перпендикулярной плоскости V. Большая ось эллипса - отрезок АоВо  A₂B₂, малая - отрезок CoDo  d. Эллипс может быть построен по его большой и малой осям.

78






^ 6.5. Пересечение конуса с плоскостью

В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конуса вращения могут получиться различные линии, называемые вершину конуса, в его сечении получается пара прямых - образующие конуса ( рис 6.6, а). В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса, получается окружность (рис 6.6, б).

79

Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться парабола (рис.6.6. в), гипербола (рис.6.6, г) или эллипс (рис.6.6.д,е).

Если углы  (угол наклона образующей конуса к его оси) и  (угол наклона секущей плоскости к оси конуса) равны, т.е. секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, в сечении получается парабола (рис^.6.6, в). В этом случае секущая плоскость a(av) пересекает все образующие, кроме одной, которой она параллельна.

Если секущая плоскость а (a v), направленная под углом к оси вращения конуса, пересечет его так, что угол  будет меньше угла , то в сечении получится гипербола (рис.6.6.г). В этом случае секущая плоскость параллельна двум образующим конуса.

Эллипс получается в том случае, когда угол  между секущей плоскостью  (_) и осью вращения больше, чем угол  между осью вращения и образующей конуса (рис.6.6. д, е), т.е. когда плоскость пересекает все образующие конуса.

На рис.6.7 дано построение проекций линии сечения конуса фронтально - проецирующей плоскостью , когда в сечении получается эллипс. На фронтальной плоскости проекций V фигура сечения - эллипс - изобразится в виде прямой АВ, совпадающей с фронтальной проекцией _ секущей плоскости. Эта прямая будет большой осью эллипса. Малая ось эллипса перпендикулярна большой и проходит через ее середину. Отрезок АВделят пополам и получают фронтальную проекцию малой оси в виде точки CD". Для нахождения горизонтальной проекции малой оси через нее проводят параллель, которая проецируется на горизонтальную

плоскость проекции окружностью радиуса ОТ. Точки 1 и 1^ сечения принадлежат профильным очерковым образующим конуса. Они отделяют видимую в профильной проекции часть l-C-A "'-D"'-1^'^//

сечения от невидимой 1-В -1^///.

Натуральная величина сечения AoBoCoDo построена способом замены плоскостей проекций на плоскости Т, перпендикулярной плоскости V. Большая ось эллипса - отрезок АоВо  А₂В₂, малая - отрезок CoDo  d. Наряду с построением эллипса по точкам возможно построение его по большой и малой осям.


80






Рис 6.6

81




Рис 6.7

^ 6.6. Пересечение сферы с плоскостью

Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Если секущая плоскость параллельна плоскости проекций, окружность сечения проецируется на эту плоскость проекций без искажения. Если секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций, проекциями окружности являются эллипсы.

На рис 6.8 изображена сфера, пересеченная фронтально - проецирующей плоскостью ( ), которая пересекает сферу по окружности диаметра АВ = А В с центром в точке O₁ (проекция O₁ точка пересечения v с перпендикуляром, опущенным из проекции О" центра сферы на плоскости }. Горизонтальная и профильная

82

проекции этой окружности представляют собой эллипсы, длины больших осей которых СD и ^ C D'" равны величине диаметра окружности (А В''), малые оси эллипсов АВ' и А В'" получают проецированием.

Построение начинают с характерных точек. Точки А и В линии сечения принадлежат главному фронтальному меридиану, точки 2 и 2^ находятся на экваторе сферы, точки 3 и 3^ принадлежат главному профильному меридиану. Горизонтальные проекции Аи B^/ построены в проекционной связи на горизонтальной проекции главного фронтального меридиана по фронтальным проекциям А В

Горизонтальные проекции 2 и 2^построены в проекционной связи на

горизонтальной проекции экватора. Проекции З'" и 3^

строят по фронтальной проекции. Горизонтальные проекции (Cи D построены с







83

помощью параллели KF радиуса ОК Горизонтальные проекции промежуточных точек 1 и 4 также построены с помощью параллелей. Профильные проекции точек построены по горизонтальным и фронтальным проекциям соответствующих точек. На горизонтальной проекции часть эллипса невидима. Точки 2 и 2^ , отделяющие видимую часть эллипса от невидимой, находятся на экваторе. На профильной проекции видимость эллипса определяется с помощью проекций 3" и З^ ", которые находятся на фронтальной проекции профильного очерка.

Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.

^ 6.7. Пересечение тора с плоскостью

В
Кривые Персея
пересечении тора с плоскостью могут быть получены различного рода кривые линии. Если плоскость проходит через ось вращения тора, в сечении получаются две окружности - образующие, если плоскость перпендикулярна к оси вращения, в сечении получаются две окружности - параллели.




а б в г Рис.6.9


84

Все другие плоскости пересекают поверхность по кривым, они имеют общее название - кривые Персея (Персей - геометр Древней Греции). Вид кривых зависит от величины расстояния от секущей плоскости до оси тора.

На рис 6.9 изображены кривые Персея, полученные в пересечении тора плоскостями А- А ( рис 6.9 , а). Б- Б ( рис 6.9 б). В- В ( рис 6.9, в), Г- Г (рис 6-9 , г).

Кривую линию пересечения тора плоскостью в общем случае строят с помощью вспомогательных плоскостей, пресекающих тор и секущую плоскость. При этом подбирают плоскости, пересекающие тор по окружности, т.е. расположены перпендикулярно оси тора или проходящей через его ось.

На рис.6.10.показано применение вспомогательных плоскостей y₁ (y₁) и y₂ (y₂), перпендикулярных оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью а (а"').



Рис 6.10

85

Top имеет два изображения — фронтальную проекцию и половину профильной проекции. Полуокружность радиуса R₂ (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью у₂ касается проекции плоскости а (следа а"''). Тем самым определяются профильная проекция 3 (О 3  а' ) и по ней фронтальная проекция 2" одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R₁ - профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью у₁. Она пересекает профильную проекцию плоскости а (след а'") в двух точках 5 и 7 — профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натурального вида фигуры сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния /₁ и /₂ на фронтальной проекции для нанесения точек 5о, 7о и Зо. Точки 6о, 8о и 4о построены как симметричные.

^ 6.8. Примеры построения чертежей деталей, усеченных проецирующими плоскостями

Иногда на практике возникает необходимость в построении фигуры сечения не на проекциях детали, а отдельно на чертеже, на- пример с целью определения истинной величины этой фигуры. Если при этом секущая плоскость наклонена к плоскостям проекций, сечение называют наклонным

Пример наклонного сечения детали дан на рис 6.11 Как видно из чертежа, фигура сечения детали фронтально-проецирующей пло- скостью состоит из прямоугольника (результат пересечения наруж- ной поверхности детали — многогранника) и эллипса (результат пересечения плоскостью цилиндрического отверстия). Кроме того, в плоскость сечения попали прямоугольный вырез, идущий вдоль основания детали, два цилиндрических отверстия, из них одно сквозное, и вырез в верхней части детали. Цилиндрические отверстия изображаются в форме прямоугольников, так как секущая плоскость направлена вдоль образующих этих поверхностей.

Истинная величина фигуры сечения определена способом замены плоскостей проекций. Ось проекций новой системы на чертеже не по

86

казана. Поскольку полученная фигура сечения симметрична, в подстроении ее использована ось симметрии. На чертеже эту ось лучше располагать параллельно следу секущей плоскости. Тогда все размеры, выражающие длину фигуры сечения (I) и ее частей, могут быть непосредственно с помощью линий проекционной связи перенесены с фронтальной проекции на указанную ось. Размеры, относящиеся к ширине фигуры сечения (/; и др.), взяты с горизонтальной проекции.

Величина большой оси эллипса, как проекции линии сечения цилиндра наклонной плоскостью, определена по фронтальной проекции. Малая ось равна диаметру цилиндрического отверстия.

Фигуру сечения детали можно размещать и не в проекционной связи с фронтальной проекцией, в том числе и с ее поворотом.




Рис 6.11

87

^ 7. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Метрическими называются задачи, в которых приходится определять значения измеряемых величин - измерять величину угла между' двумя прямыми и расстояние между двумя точками.

^ К метрическим относятся также задачи на построение угла и отрезка с наперед заданным соответственно градусной и линейной величины.

В основе алгоритма решения любой метрической задачи лежит свойство плоской фигуры, параллельной плоскости проекций: она (фигура) проецируется на эту плоскость в конгруентную фигуру;

фаФаФ.

В задачах на построение проекций угла, равного 90°, используется теорема о частном случае проецирования прямого угла: прямой угол проецируется ортогонально без искажения, если одна из его сторон параллельна плоскости проекции, а вторая сторона не перпендикулярна к этой плоскости:

([АВ][ВС])([АВ],ВС)А^В^В^С^



Рис 7.1

При определении расстояния между двумя точками или построении отрезка заданной длины можно использовать как методы преобразования ортогональных проекций, так и пользоваться построением прямоугольного треугольника.

^ Отметим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов (доказательства рассмотреть самостоятельно).


п
88
рямой. 1 Если стороны угла не параллельны плоскости проекции, то угол проецируется на эту плоскость с искажением.

2. Если хотя бы одна сторона тупого, прямого или острого угла параллельна плоскости проекции, то проекцией угла на эту плоскость будет угол с тем же названием, что и сам угол:

а) проекция острого угла будет меньше проецируемого угла;

б) прямой угол проецируется без искажения;

в) проекция тупого угла больше проецируемого угла,

3.Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекции, то на эту плоскость он проецируется без искажения.

4.Проекции острого и тупого углов могут проецироваться на плоскость без искажения не только при условии параллельности сторон угла плоскости проекции.

5. Если стороны угла параллельны плоскости проекции или одинаково наклонены к ней, то деление пополам проекции угла соответствует его делению пополам в пространстве.

Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона, параллельная плоскости проекции, равна прямому углу, то и проецируемый угол также

^ 7.1 Определение действительной величины плоского угла но его ортогональным проекциям

Решение задачи сводится к перемещению плоскости общего положения, которой принадлежит угол, в положение, параллельное какой- либо плоскости проекции. Такое перемещение можно осуществить с помощью методов преобразования ортогональных проекций.

Наиболее рациональный путь решения задачи по переводу плоскости угла в положение, параллельное плоскости проекции, достигается путем вращения плоскости угла вокруг линии уровня.

В этом случае для получения ответа на поставленную задачу достаточно произвести поворот только одной точки вокруг горизонтали или фронтали плоскости угла.

При использовании других способов преобразования нам пришлось бы дважды менять плоскости проекции либо дважды осуществлять перемещение (вращение), параллельное плоскости проекции, т.е. в обоих случаях потребовалось построение двух вспомогательных проекций,

89

Приведенные ниже примеры иллюстрируют использование способа вращения вокруг линии уровня для решения задачи определения действительной величины плоского угла.

Пример 1: Определить угол между пересекающимися прямыми а и Ь.




Поворачиваем плоскость (а  b)- вокруг ее горизонтали h в новое положение, параллельное горизонтальной плоскости. Точки А (А э а) и В (Вэ b) принадлежат оси вращения h (A, B)h, поэтому при вращении плоскости а вокруг оси h они не изменяют своего положения.

Следовательно, для определения нового положения плоскости ₁ Н достаточно осуществить поворот только одной точки К. Для этого проводим через К' прямую, перпендикулярную h ( с этой прямой будет совпадать горизонтальная проекция окружности, по которой перемещается точка при ее вращении вокруг горизонтали). Далее определяем положение центра вращения 0 и величину радиуса вращения R для точки К. Положение точки К₁ совместно с А и В определяют новые проекции a'₁ и b₁ (прямых а и b),


90

задающих плоскость ₁ Н. Поэтому А К' В' равен искомому углу °

Пример 2, Определить величину углов треугольника АВС. Повернем плоскость треугольника АВС вокруг фронтали и этого треугольника в положение, параллельное плоскости V. Через вершину А треугольника АВС проводим фронталь u(uu'). Точки А и D, как принадлежащие оси вращения, не изменяет своего положения в процессе преобразования. Поэтому, как и в предыдущем примере, достаточно повернуть только одну точку.

На рис 7.3 в качестве такой точки взята вершина В треугольника АВС. Вершина треугольника С при вращении вокруг фронтали будет перемещаться по дуге окружности, плоскость которой перпендикулярна оси вращения ; поэтому фронтальная проекция этой окружности перпендикулярна  и новое положение точки С₁ определяется в точке пересечения этого перпендикуляра с новым положением (B₁ D). После такого поворота плоскость треугольника переведена в положение параллельное фронтальной плоскости V.

Следовательно, на основании свойства о проецировании плоской фигуры, параллельной плоскости проекции ( изложено в п.7) углы при вершинах А"В₁ и C'₁ проецируются в натуральную величину.


Рис.7.3.

91

7.2 Перпендикулярность прямых, прямой и плосксти. Перпендикулярность плоскостей

^ 7.2.1 Взаимно перпендикулярные прямые.

Пример: Через точку А провести прямую m, перпендикулярную горизонтали h ( рис 7.4 ).

Так одна из сторон h прямого угла, параллельна плоскости H, то на эту плоскость спроецируется без искажения. Поэтому через А проводим горизонтальную проекцию mh'. Отмечаем точку M= m  h. Затем находим М(M"h ), Точки М¹¹ и А определяют m.

Если вместо горизонтали будет задана фронталь и, то геометрические построения по проведению прямой mlu аналогичны только что рассмотренному случаю, с той лишь разницей, что построение неискаженной проекции прямого угла следует начинать с фронтальной проекции.

^ 7.2.2.Взаимно перпендикулярные прямая и плоскость

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим данной плоскости.

Если в плоскости взять не произвольные пересекающиеся прямые, а горизонталь и фронталь, то появляется возможность и в этом случае воспользоваться известной теоремой о проецировании прямого угла,

Пример 1. Восстановить в вершине А перпендикуляр AD к плоскости треугольника АВС (рис 7.5 ).


92




Рис.7.5. Рис.7.6

Для того, чтобы определить направление проекций перпендикуляра, проводим проекции горизонтали h и фронтали  плоскости треугольника АВС. Затем в точке А восставляем перпендикуляр к h, a в А' перпендикуляр к ,

Пример 2. Из точки А опустить перпендикуляр АВ на плоскость  заданную следами (рис 7.6 ).

Для решения этой задачи достаточно из А провести горизонтальную проекцию AВ_, а из А - ее фронтальную проекцию A" В_v.

^ 7.2.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

Поэтому построение плоскости , перпендикулярной к плоскости , можно осуществить двумя путями;

1. Проводим прямую m, перпендикулярную к плоскости  (или ), затем прямую m заключаем в плоскость  (или ).

93

2. Проводим прямую n, принадлежащую или параллельную плоскости  (или ), затем строим плоскость  (или), перпендикулярно к прямой n.

Так как через прямую m можно провести множество плоскостей (первый путь решения), то задача имеет множество решений. То же самое происходит и при решении по второму пути ( в плоскости или параллельно ей можно провести множество прямых n). Чтобы конкретизировать задачу, необходимо указать дополнительные условия.

Пример 1. Чрез данную прямую а провести плоскость , перпендикулярную к плоскости , заданной параллельными прямыми 1 и f (рис.7.7.).



Рис 7.7

1. Определяем направление проекций перпендикуляра к плоскости . для этого находим горизонтальную проекцию горизонтали h' и фронтальную проекцию фронтали ,

2. Из проекции произвольной точки Аеа проводим проекции перпендикуляра m'h' и m. Плоскость , т.к m


94

Пример 2.Через данную точку А провести горизонтально проецирующую плоскость , перпендикулярную к плоскости , заданной следами (рис.7.8)

Искомая плоскость рдолжна проходить перпендикулярно к прямой, принадлежащей плоскости  В связи с тем, что плоскость  должна быть горизонтально проецирующей, то прямая, перпендикулярная к ней , должна быть параллельна плоскости H, т.е. являться горизонталью плоскости а или (что тоже самое) горизонтальным следом этой плоскости - _н. Поэтому через горизонтальную проекцию точки А проводим горизонтальный след _н_н, фронтальный след vоси X.

7.3. Определение действительной величины угля между прямой и плоскостью. Между двумя плоскостями

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость (прямая не перпендикулярна плоскости).

Пространственная геометрическая модель, иллюстрирующая это определение, показана на рис 7.9 .

План решения задачи может быть, записан:

1 .Из произвольной точки А опускаем перпендикуляр на плоскость;

2. Определяем точку встречи этого перпендикуляра с плоскостью (точка А^ ортогональная проекция точки А на плоскость );


95

3.Находим точку пересечения прямой  с плоскостью а (точка А_- след прямой а на плоскости );

4.Проводим (А°А_)- проекдию прямой а на плоскость ;

5.Определяем действительную величину АА_А^,т.е.⁰. Решение этой задачи может быть значительно упрощено, если определять не ⁰между прямой и плоскостью, а дополнительный до 90° ° В этом случае отпадает необходимость в определении точки А^ и

проекции а_Зная величину у⁰ , вычисляем— ⁰=90-⁰.


Мерой угла между двумя плоскостями служит линейный угол, образованный двумя прямыми — сечениями граней этого угла плоскостью, перпендикулярной к их ребру.

Дня построения линейного угла, являющегося мерой двухгранного угла, необходимо выполнить следующие графические построения, показанные на рис 7.10 в определенной последовательности,

1. Определяем прямую n - линию пересечения данных плоскостей  и  (п= );

2. Проводим плоскость n (эта плоскость будет перпендикулярна также и к плоскостям и ;

3. Определяем прямые a= и b=  ;

4. Находим действительную величину ° между прямыми а и b

. ⁰- искомый угол


96

7.4.Паралельность прямых, прямой и плоскости.

Параллельность плоскостей.


7.4.1. Параллельные прямые.

Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные

проекции также параллельны между собой.

аbа b; а b; а b

Причем, если в пространстве прямые а , b занимают общее положение относительно плоскостей проекций, то для выяснения по эпюру вопроса о параллельности прямых достаточно убедиться, будут ли параллельны между собой их одноименные проекции только на двух плоскостях.

Параллельность проекции на третьей плоскости в этом случае автоматы чески удовлетворяется.

Если прямые параллельны какой- либо плоскости (хотя бы плоскости W), то условие параллельности на третьей плоскости может не выполняться, В этом случае, для выяснения вопроса будут ли прямые параллельны в пространстве, условие параллельности их одноименных горизонтальных и фронтальных проекций будет необходимым, но недостаточным. Для получения ответа следует убедиться в параллельности их профильных проекций.

На рис 7.11 показаны два возможных варианта взаимного расположения прямых АВ и CD.