Краткий конспект лекций Кемерово 2002 удк: 744 (075)

Вид материала

Конспект

Содержание Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекции на Если прямые пересекаются в точке К, то их проекции тоже пересекаются, при этом проекции точки К' и К" расположены на одном перпе 2.4.Построение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций 2.5. Точка на прямой. Проецирование прямого угла. Следы прямой. Для построения фронтального следа прямой I Для построения профильного следа прямой I 3.2 Следы плоскости Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций 3.3 Взаимопринадлежность точки и прямой плоскости. Прямые особого положения. Построим фронталь плоскости, заданной следами. Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций 3.4 Положение плоскостей относительно плоскостей проекций Горизонталь этой плоскости перпендикулярна к плоскости W и представляет собой отрезок прямой линии. 3.5.1. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной или двум плоскостям проекций Определяем видимость 3.6. Построение линии пересечения двух плоскостей 3.7.Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения 3.8. Пересечение двух плоскостей общего положения 3.9. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пресечения прямых линий с плоскостью 4. Способы преобразования чертежа ... Полное содержание

Подобный материал:

• Конспект лекций (для студентов всех форм обучения) Кемерово 2002, 1424.32kb.
• Конспект лекций москва 2004 удк 519. 713(075)+519. 76(075) ббк 22. 18я7, 1805.53kb.
• Конспект лекций по курсу "Начертательная геометрия и инженерная графика" Кемерово 2002, 786.75kb.
• Конспект лекций для студентов ссузов Кемерово 2010, 1664.44kb.
• Конспект лекций Для студентов вузов Кемерово 2006, 1068.06kb.
• Конспект лекций Омск 2002 удк 629. 424., 467.89kb.
• Конспект лекций кемерово 2003 удк: 637. 992, 1167.63kb.
• Конспект лекций Кемерово 2004 удк: 637. 992, 2553.59kb.
• Н. В. Рудаков Краткий курс лекций, 1552.23kb.
• Учебное пособие Кемерово 2004 удк: 637. 5: 579. 2 (075., 1001.84kb.

^

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекции на-

зывается фронталью – f (рис.2.4), (y-const).





Рис. 2.4.


14

Профильная прямая р- прямая параллельная профильной плоскости проекции W (x-const), рис. 2.5.

Профильная проекция отрезка прямой равна самому отрезку E'"F"'= EF; E'F' параллельна оси у; E"F" параллельна оси z. Проецирующими прямыми - называются такие прямые,

которые перпендикулярные плоскостям проекций (рис. 2.6, 2.7, 2.8). Прямая, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекции, называется фронтально - проецирующей прямой (рис.2.6),




Фронтальная проекция отрезка прямой равна самому отрезку

(C'D"= CD).

C'D' параллельна оси х.

C'"D'" параллельна оси z.




Рис. 2.5.

Рис. 2.6.

Прямая перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекции называется горизонтально - проецирующая прямая

(рис.2.7).


Рис. 2.7.



15

Прямая перпендикулярная к профильной плоскости проекции называется профильно - проецирующая прямая (рис.2.8).




Рис. 2.8.


2.3.Взаимное положение двух прямых на комплексном чертеже

Если через данную точку А требуется провести прямую, параллельную данной прямой LМ,то построение сводится к проведннию через точку А прямой, параллельной L"M", и через точку А' прямой параллельной L'M', рис.2.9 а.




16

В случае, изображенном на рис.2.9 б, параллельные прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл.Н, Поэтому горизонтальные проекции этихпрямых расположены на одной прямой.

^ Если прямые пересекаются в точке К, то их проекции тоже пересекаются, при этом проекции точки К' и К" расположены на одном перпендикуляре (рис.2.10).

Действительно, если точка К принадлежит обеим прямым АВ и CD, то проекция этой точки должна быть точкой пересечения проекций данных прямых,

Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между собой, можно сделать всегда по отношению к пря-мым общего положения, независимо от того, даны ли проекциина трех или двух плоскостях проекций, необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы точки пересечения одноименных проекций находились на одном и том же перпендикуляре к соответствующей оси проекций (рис.2.11) или. на чертеже без оси проекций (рис.2,12), эти точки оказались бы налинии связи установленного для нее направления. Но если однаиз данных прямых параллельна какой- либо из плоскостей проекций, а на чертеже не даны проекции на этой плоскости, тонельзя утверждать, что такие прямые пересекаются между со-бой, хотя бы и было соблюдено указанное выше условие, на-пример, в случае, данном на рис.2.13, прямые АВ и CD, из ко-торых прямая CD параллельна плоскости W, не пересекаются между собой; это может быть подтверждено построением профильных проекций или применением правила о делении отрез-ков в данном отношении.


Рис.2.10


Рис.2.11




а) б)

Рис.2.9


17

Если точка пересечения npoeкцuu прямых не расположены на одном перпендикуляре к оси х, то прямые скрещиваются (рис.2.14).

На рис.2.14, 2.15 изображены две скрещивающиеся прямые общего положения: хотя одноименные проекции и пересекаются между собой, но точки их пересечения не могут быть соединены линией связи, то есть прямые не пересекаются между собой.




Рис.2.13. Рис.2.14 Рис. 2.15

^ 2.4.Построение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций

Чтобы определить на эпюре истинную (натуральную) длину отрезка прямой, можно воспользоваться способом прямоугольного треугольника (рис.2.16, 2.1.7),

Прямая АВ - общего положения (то есть, не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций). Поэтому обе ее проекции А'В' и А"В" имеют искажения по сравнению с натуральными размерами.

На рис.2.16 слева, длина отрезка АВ и угол, составленный прямой АВ с плоскостью Н, определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции А'В' при втором катете В'В°,равном В" 1.АВ=А'В°.

18

Для установления натуральной величины отрезка АВ проводим на одной из проекций (горизонтальной) прямую параллельную оси х.

Полученный отрезок А2 откладываем на перпендикулярно проведенном из точки А" отрезке и полученную точку А° соединяем с В". В результате построений получаем натуральную величину прямой АВ и угол ₂, который равен истинному углу наклона прямой АВ к плоскости V.

Отрезки линий уровня - фронтали, горизонтали, профильные проецируются в натуральную величину, соответственно на фронтальную, горизонтальную и профильные плоскости проекции. Во всех остальных случаях отрезки прямых проецируются с искажением.




Рис.2.16 Рис.2.17

Угол прямой линии с плоскостью проекций определяется как острый угол между этой прямой и ее проекций на данную плоскость (рис. 2.17).

Этот угол входит в тот же прямоугольный треугольник, который строят для Н.В.

Если прямая имеет какую - либо проекцию, равную действительной ее длине, то на комплексном чертеже угол между проекцией этой прямой и плоскостью проекций будет действительным углом прямоугольного треугольника.

19

^ 2.5. Точка на прямой. Проецирование прямого угла. Следы прямой.





На рис 2.18 дана прямая с (общего положения), проходящая через точку А. Точка В принадлежит этой прямой с и горизотальная проекция этой точки В' принадлежит горизонтальной проекции прямой с (с'). Исходя из инвариантного свойства параллельных проекций (если точка принадлежит линии, то проекции точки принадлежат одноимённым проекциям этой линии) находим В" следующим образом: проводим из точки В линию связи до пересечения с с".

Одним из свойств параллельного проецирования является то, что отрезок прямой линии делится точкой в каком-либо отношении и, следовательно, проекции этого отрезка делятся проекцией этой точки в том же отношении.

На рис. 2.19 дан пример деления отрезка в некотором заданном от ношении. Отрезок КМ разделён в отношении 2:4. Для этого из точки К' проведена произвольная вспомогательная прямая, на которой отложено шесть (2 + 4) отрезков произвольной длинны, но равных между собой. Проведя отрезок 6М' и параллельно ему через точку 2 прямую, получаем N', затем находим N". Точка N поделила отрезок КМ в отношении 2:4.

При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется на плоскость проекции без искажения (прямым углом), если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна.


20

На рис.2.20 отрезок АВ параллелен плоскости Н. Угол АВС прямой (90°). Угол A'B'C' - прямой.



Рис.2.20


Прямая общего положения пересекает все три плоскости проекций. Точки пересечения прямой линии и плоскостей проекций называют следами прямой. Соответствено, точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекции Н называют горизонтальным следом (1н); точку пересечения прямой I с фронтальной плоскостью проекций V называют фронтальным следом (lv); точку пересечения прямой I с профильной плоскостью проекций W называют профильным следом (lw).

На рис,2.21а,б 1н', lv', lw' - горизонтальные проекции следов 1н,1v, 1w.

1н", 1v"; 1w" - фронтальные проекции следов 1н; 1v; 1w. 1н" , 1v'",1w'" - профильные проекции следов 1н; 1v; 1w.

Из рис.2.21 видно, что 1н =1h'; 1v = 1v" , 1w =1w"'.

Для построения на комплексном чертеже горизонтального следа прямой I (рис.2.21 б) необходимо продолжить фронтальную проекцию 1" до пересечения с осью х, затем из этой точки восстановить перпендикуляр к оси х до пересечения его с горизонтальной проекцией прямой 1(1').

Полученная точка является горизонтальной проекцией горизонтального следа 1н' и здесь же находится сам горизонтальный след 1н. Так как 1н находится на горизонтальной плоскости проекций Н (т.к. 1  Н), то его фронтальная проекция 1н" находится на оси х, профильная проекция 1н'" находится на оси у плоскости W.

21

^ Для построения фронтального следа прямой I необходимо продолжить горизонтальную проекцию 1 до пересечения с осью х, из этой точки восстановить перпендикуляр к оси до пересечения его фронтальной проекцией прямой 1 (1"). Полученная точка является фронтальной проекцией фронтального следа 1v" и здесь же находится сам фронтальный след lv. Так как 1v принадлежит фронтальной плоскости проекций V( 1  V), следовательно его горизонтальная проекция lv' находится на оси х; профильная проекция lv'" находится на оси Z.



а) б)

Рис. 2.21

^ Для построения профильного следа прямой I необходимо продолжить либо горизонтальную проекцию до пересечения её с осью у плоскости W, либо фронтальную проекцию 1 до пересечения её с осью Z, затем из этой точки восстановить перпендикуляр, соответственно, либо к оси у плоскости W, либо к оси Z до пересечения его с 1″′. Полученная точка является профильной проекцией профильного следа lw'" и здесь же находится сам профильный след lw. Так как lw принадлежит профильной плоскости проекций W (1  W), следовательно его фронтальная проекция lw'" находится на оси Z, а горизонтальная проекция находится на оси у плоскости Н.

22


3. ПЛОСКОСТЬ


3.1 Задание и изображение плоскости на чертеже

Плоскость - это простейшая поверхность.

Положение плоскости в пространстве определяется: а) тремяточками, не лежащими на одной прямой линии, б) прямой иточкой, не принадлежащей данной прямой, в) двумя пересекающимися прямыми, г) двумя параллельными прямыми, д) любой плоской фигурой.

В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана: а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой, (А,В,С) (рис.3.1), б) проекциями прямой и точки взятыми внеэтой прямой, (а,А) (рис.3.2), в) проекциями двух пересекающихся прямых, (a  b) (рис.3.3), г) проекциями двух параллель-ных прямых, (а || b), (рис,3.4), д) проекциями плоской фигуры (треугольника, окружности, квадрата,.,) (рис.3.5).



Рис.3.1 Рис.3.2 Рис.3.3 Рис.3.4 Рис.3.5

Каждое из представленных заданий плоскости рис. (3.1-3,5) может быть преобразовано в любое из них.


23

^ 3.2 Следы плоскости

Более наглядно плоскость может быть изображена при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости проекции.

На рис. 3.6 некоторая плоскость  задана двумя пересекающимися прямыми АВ и СВ. для построения прямой, по которой плоскость р пересечет плоскость Н, достаточно построить две точки, принадлежащих одновременно плоскостям а и Н. Такими точками служат следы прямых АВ и СВ на плоскости Н, т.е. точки пересечения этих прямых с плоскостью Н.

Рис. 3.6 Рис. 3.7 Рис. 3.8

Построив проекции этих следов и проведя через точки Mi' и М₂ 'прямую, получим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей  и Н, Линия пересечения плоскостей  и V определяется фронтальными следами прямых АВ и СВ.

^ Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций, называется следами этой плоскости на плоскостях проекций.

Прямая, по которой плоскость  (рис. 3.7, 3,8) пересекает горизонтальную плоскость проекций Н - горизонтальный след плоскости  и обозначается н.

Прямая, по которой плоскость  пересекает фронтальнуюплоскость проекции V, - фронтальный след плоскости , который обозначается _V. Точка пересечения н и _V на оси Х называется точкой схода следов и обозначается Х_

24

След плоскости на плоскости проекции сливается со своей проекцией на этой плоскости, следовательно, н ⁼ н' , где н' горизонтальная проекция горизонтального следа плоскости ; фронтальная проекция этого следа располагается на оси X.

Фронтальный след плоскости  _V- = v, где v'' - фронтальная проекция фронтального следа плоскости а; горизонтальная проекция этого следа располагается на оси X.

На чертеже плоскость может быть, задана проекциями ее следов (рис. 3,9). Такой чертеж нагляден и представляет удобство при некоторых построениях.

Если рассматривать плоскость  в системе H,V,W, то в общем случае плоскость  пересекает оси X, Y, Z. Такая плоскость называется плоскостью общего положения w - профильный след плоскости 



w=w'"

Рис.3.9 Хо, Yo, Zo- точки схода следов

плоскости 

^ 3.3 Взаимопринадлежность точки и прямой плоскости. Прямые особого положения.

Из положения геометрии следует:

1) прямая принадлежит плоскости, если она проходит черездве точки, принадлежащие данной плоскости.

2) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости или параллельна ей. Зададим плоскость  двумя пересекающимися прямыми АВ и СВ (рис.3.10), плоскость  двумя параллельными прямыми DE и FG. Согласно первому положению прямая, пересекающая прямые, определяющие плоскость, находится в данной плоскости. Из этого следует, что если тоскость задана следами, то прямая принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними следах плоскости (рис, 3.11).

25




Рис.3.10




Рис.3.11 Рис.3.12

Плоскости  и  заданы следами (рис.3.11, 3.12).

Прямая, проходящая через точки М и N, пересекает следы плоскостей  и . Точка М является горизонтальным следом прямой MN, точка N - фронтальный след прямой MN и, следовательно, прямая MN принадлежит плоскости  (рис.3.11) и плоскости  (рис. 3.12).




26

Из рис. 3.13 следует, что прямая принадлежит плоскости,

если она параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую точку, которая является одноименным следом этой прямой.

Для построения на чертеже точки, лежащей в заданной плоскости, сначала строят прямую, принадлежащую заданной плоскости, затем на этой прямой берут точку.

Например, требуется найти фронтальную проекцию точки D и известно, что точка D принадлежит плоскости, заданной треугольником АВС (рис. 3,14). Сначала строят горизонтальную проекцию прямой, принадлежащей данной плоскости и проходящей через D'. Затем строят фронтальную проекцию той же прямой (А"М") и на ее продлении находят D".

Среди прямых, принадлежащих плоскости, особое положение занимают горизонтали, фронтали и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций.

Горизонталями плоскости называют прямые, лежагцие в ней и параллельные горизонтальной плоскости проекций.

Построим горизонталь плоскости, заданной треугольником АВС. Горизонталь построим через вершину А (рис.3.15).



Рис3.14


Рис.3.15 Рис.3.16

Так как горизонталь плоскости параллельна плоскости Н, то ее фронтальная проекция А"К" параллельна оси X, Строим горизонтальную проекцию точки К и проводим прямую через точки А и К.

27

Рассмотрим построение горизонтали плоскости, заданной следами (рис. 3.16).

Горизонтальный след плоскости является одной из ее горизонталей (нулевая горизонталь). Поэтому построение какой -либо из ее горизонталей сводится к проведению в этой плоскости прямой, параллельной горизонтальному следу плоскости.

Горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости; фронтальная проекция горизонтали параллельна оси X.

Фронталями плоскости называют прямые, лежащие в ней и параллельные плоскости проекций V. Пример построения фронтали в плоскости дан на рис.3.17. Построение выполнено

аналогично




Рис3.17 Рис.3.18

построению горизонтали (см. рис. 3,15), Пусть фронталь проходит через точку А. Так как фронталь параллельна плоскости V, то А'К' параллельна оси X, затем строим фронтальную проекцию К" и фронтальную проекцию фронтали А"К",

^ Построим фронталь плоскости, заданной следами. Рассматривая рис.3.18 устанавливаем, что прямая MB является фронталью плоскости , она параллельна фронтальному следу (нулевой фронтали) плоскости. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси X, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости v.

^ Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций Н, V, W называются прямые, лежащие в ней, и перпендикулярные или к горизонтали плоскости, или к ее фронтали,

28

или к ее профильной прямой. Линия наибольшего наклона к плоскости Н называется линией ската плоскости,

Эти линии определяют угол наклона плоскости к плоскостями,H,V,W.

Согласно правилам проецирования прямого угла горизонтальная проекция линии ската плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости или к ее горизонтальному следу. Фронтальная проекция линии ската строится после построения горизонтальной.



Рис. 3.19 Рис. 3.20

На рис. 3.19 изображена линия ската плоскости : ВК  h, BKB' - линейный угол двугранного угла, образованного этой плоскостью и плоскостью Н. Следовательно линия ската служит для определения угла наклона этой плоскости к плоскости Н.

На рис,3,20 построены линии ската в заданных плоскостях.

Линейный угол между линией ската и ее горизонтальной проекцией равен углу наклона заданной плоскости к плоскости Н.

Линейный угол между линией наибольшего наклона к плоскости V и ее фронтальной проекцией равен углу наклона заданой плоскости к плоскости V.

Линейный угол между линией наибольшего наклона к плоскости W и ее профильной проекцией равен углу наклона заданной плоскости к плоскости W.

29

^ 3.4 Положение плоскостей относительно плоскостей проекций

Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций H,V,W:

1) плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций;

2) плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей проекций;

3) плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций.

1.Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций, является плоскостью общего положения (см, рис. 3,1-3.5), Плоскость общего положения (см рис. 3.9) ,пересекает все плоскости проекций. Следы плоскости общего положения не перпендикулярны к осям проекций

2. Если плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей

проекций, то возможны три случая:

а) плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции. Такие плоскости называются горизонтально проецирующими (рис.3,21, 3.22).




Рис.3.21 Рис.3.22

На рис.3.21 плоскость задана проекциями треугольника АВС. Горизонтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол ф₂ равен углу между заданной плоскостью и плоскостью V. На рис. 3,22 изображена горизонтально проецирующая плоскость , которая задана следами. Фронтальный след плоскости  перпендикулярен к плоскости Н и к оси проекций X. Угол ф₂ является

30

линейным углом двугранного угла между горизонтально проецирующей плоскостью  и плоскостью V.

б) плоскость перпендикулярна к фронтальной плоскости проекции. Такие плоскости называются фронтальнопроецирующими.




Рис.3.23 Рис.3.24

На рис, 3.23 фронтально - проецирующая плоскость задана треугольником DEF, фронтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол ф₁ равен углу между плоскостью DEF и плоскостью Н.

На рис.3,24 фронтально - проецирующая плоскость  задана следами. Горизонтальный след _н перпендикулярен к плоскости V и к оси X. Угол ф₁ равен углу наклона плоскости  к плоскости Н;

в) плоскость перпендикулярна к профильной плоскости проекций. Такие плоскости называются профильно- проецирующи-ми,

На рис,3,25 профильно - проецирующая плоскость задана треугольником АВС. ^ Горизонталь этой плоскости перпендикулярна к плоскости W и представляет собой отрезок прямой линии. Угол ф₁ равен углу наклона плоскости треугольника АВС к плоскости Н.


31




Рис.3.25 Рис.3.26

На рис.3.26 профильно - проецирующая плоскость  задана следами. Угол ф₁ равен углу наклона плоскости  к плоскости Н,

Горизонтальный и фронтальный следы этой плоскости параллельны оси Хи, следовательно, параллельны между собой.

3. Если плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций, то возможны три случая:

а) плоскость перпендикулярна к плоскостям V, W т.е. параллельна плоскости Н. Такие плоскости называют горизонталь-

ными .


Рис.3.27 Рис.3.28


На рис.3.27 горизонтальная плоскость задана треугольником АВС. Фронтальная проекция этой плоскости апробировалась в прямую линию, параллельную оси Х.

На рис.3.28 горизонтальная плоскость задана следами. Фронтальный след этой плоскости параллелен оси X.

б) плоскость перпендикулярна к плоскостям Н и W, т.е. параллельна плоскости V. Такие плоскости называют фронтальными

32


Рис.3.29 Рис.3.30

На рис.3.29 фронтальная плоскость задана треугольником CDE, Горизонтальная проекция этой плоскости представляет прямую линию, параллельную оси X.

На рис. 3.30 фронтальная плоскость  задана следами. Горизонтальный след этой плоскости параллелен оси X,

в) плоскость перпендикулярна к плоскостям Н и V, т.е. параллельна W. Такие плоскости называют профильными.







Рис.3.31 Рис.3.32

На рис.3.31 профильная плоскость задана треугольником EFG, Фронтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, параллельную оси Z

На рис.3.32 профильная плоскость  задана следами. Фронтальный и горизонтальный следы этой плоскости перпендикулярны к оси X.


33

^ 3.5.1. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной или двум плоскостям проекций

Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций проецируется на последнюю в виде прямой линии. На этой прямой (проекции плоскости) должна находится соответствующая проекция точки, в которой некоторая прямая пересекает такую плоскость. Эта точка также называется точкой встречи прямой с плоскостью.


Рис.,3.33 Рис,3.34 Рис.3.35 Рис.З.З6

На рис. 3.33 плоскость, заданная треугольником CDE, перпендикулярна плоскости V. Она пересекает прямую АВ в точке К. Фронтальная проекция которой К" находится в пересечении С"Е" и А"В", так как треугольник CDE на фронтальную плоскость с проецировался в прямую линию. Найдя К", определяем К'. Так как отрезок KB находится под плоскостью треугольника CDE, то на горизонтальной проекции он будет невидим и наводится штриховой линией.

На рис.3.34 плоскость  является горизонтальной плоскостью, ее фронтальный след является фронтальной проекцией плоскости у.

Проекция К" определяется в пересечении А"В" и у".

На рис. 3.3 5 плоскость а горизонтально - проецирующая плоскость. Горизонтальная проекция точки К' является точкой пересечения а' и А'В'.

На рис. 3,3 б рассматриваются две скрещивающиеся прямые АВ и CD. ^ Определяем видимость этих прямых на горизонтальной и на фронтальной проекциях методом конкурирующих точек.

Конкурирующие точки 1 и 2 расположены на одной, общей

34

для них, проецирующей прямой (линии связи), перпендикулярной к плоскости V, а конкурирующие точки 3 и 4 расположены на проецирующей прямой, перпендикулярной к плоскости Н.

Точка пересечения горизонтальных проекций данных прямых А'В' и СD представляет собой слившиеся проекции двух точек 3' и 4', из которых точка 4 принадлежит прямой АВ, точка 3 принадлежит прямой CD. Так как точка 3 расположена выше точки 4 (3'3" > 4'4"), то видима относительно плоскости Н точка 3, точка 4 закрыта точкой 3(4' взята в скобки).

Так же и точка пересечения фронтальных проекций прямых А"В" и C"D" представляет собой слившиеся проекции двух конкурирующих точек 1 и 2, Точка 1 принадлежит АВ, точка 2 принадлежит прямой CD. Так как точка 1 расположена ближе к нам, чем точка 2 (1"1> 2'2"), то видима относительно плоскости V точка 1, закрывающая точку 2 (2" взята в скобки).

^ 3.6. Построение линии пересечения двух плоскостей

Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двухплоскостей, определяется двумя точками, каждая из которых одновременно принадлежит обеим плоскостям.

На рис. 3.37 плоскость общего положения, заданную тре-угольником АВС, пересекает фронтально - проецирующая плоскость, заданная треугольником DEF, Так как треугольник DEF проецируется на плоскость V в виде прямой линии D"F", то фронтальная проекция линии пересечения обеих плоскостей представляют собой отрезок K₁"K2". Находим его горизонталь-ную проекцию и определяем видимость.




Рис.3.37 Рис.3.38


35

Горизонтально проецирующая плоскость а пересекает плоскость треугольника АВС (рис, 3.3 8), Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей представляет из себя отрезок M'N', который определяется на следе оси'.

Если плоскости заданы следами на плоскостях проекций, то, токи, определяющие прямую пересечения плоскостей} следует выбирать в точках пересечения одноименных следов плоскостей (рис.3.39); прямая, проходящая через эти точки, общие для обеих плоскостей, - их линия пересечения. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей  и  необходимо:

1) найти точку М' в пересечении следов н' и н' и точку N" в пересечении _ и _, а по ним проекции М" и N'.

2) провести прямые линии MN и M'N'.

Рис.3.39

Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей.

Рис.3.40

36

На рис.3.40 пересекаются плоскости  и . Плоскость  плоскость общего положения, Плоскость  - горизонтальная плоскость. Для построения линии пересечения необходимо:

1) найти точку N" в пересечении следов  и v;

2) провести через эту точку прямую, исходя из положения

плоскостей и их следов.

На рисунках (3.40 - 3.42) показаны случаи, когда известно направление линии пересечения. Поэтому достаточно иметь лишь одну точку от пересечения следов и, затем, провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов.

^ 3.7.Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

Построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения выполняется по следующему алгоритму:

1) через данную прямую (MN) провести некоторую вспомогательную плоскость ();

2} построить прямую (ED), линию пересечения данной плоскости (АВС) и вспомогательной плоскости ();

3) определить положение точки (К) пересечения данной прямой (MN) и построенной линии пересечения (ED);

4) определить видимость прямой (MN) относительно плоскостей Н и V.

На рис.3.43 прямая MN пересекает плоскость, заданную треугольком АВС. Через прямую MN проводим


ником АВС. Через прямую MN проводим

37

горизонтально проецирующую плоскость . Так как вспомогательная плоскость  горизонтально - проецирующая, то и горизонтальной проекцией плоскости  и треугольника АВС является прямая линия E'D'. Находим ее фронтальную проекцию E'D". Затем построим К",в которой E"D" пересекает M"N" и определяем ее горизонтальную проекцию К'. Определяем видимость отрезков МК и

K
Рис.3.43
N используя конкурирующие точки


Рис.3.44 Рис.3.45 3.46

На рис.3.44 прямая АВ пересекает плоскость а общего положения. Проводим через прямую АВ горизонтально - проецирующую плоскость , находим линию пересечения плоскости а и плоскости  (MN).

Определяем точку К" как точку пересечения M"N" и А"В". Находим точку К' и определяем видимость.

На рис. 3.45 плоскость а задана следами. Прямая, пересекающая плоскость , является горизонталью, Через прямую АВ проводим горизонтальную плоскость (||Н). Плоскость р пересекает плоскость а по горизонтали NK, принадлежащей плоскости  Затем определяем видимость. На рис. 3.46 плоскость а задана следами; прямая АВ, пересекающая плоскость а, горизонтально - проецирующая, на плоскость Н она проецируется в точку и, следовательно, горизонтальная проекция точки пересечения прямой АВ и плоскости (К) находится в этой точке.

38

A'=B=K', Положение К" определяется при помощи горизонтали.

^ 3.8. Пересечение двух плоскостей общего положения

Рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей (рис.3.47).





Рис. 3.47

Одна из пересекающихся плоскостей () задана двумя пере-секающимися прямыми (АВ  ВС). Вторая плоскость () задана двумя параллельными прямыми (DE FG). В результате взаимного пересечения плоскостей  и  получена прямая K₁K₂ (== K₁K₂). Для определения положения точек K₁ и К₂ возьмем две вспомогательные фронтально - проецирующие плоскости ₁ и ₂ пересекающие и плоскость , и плоскость . При пересечении плоскостью ₁ плоскости  образуется прямая с проекциями 1"2" и 12'. При пересечении плоскостью ₁ плоскости  образуется прямая с проекциями 3"4" и 3'4'. Пересечение линий12 и 34 определяет первую точку K₁ линии пересечения плоскостей  и .

Введя фронтально-проецирующую плоскость ₂, получаем в ее пересечении с плоскостями  и  прямые с проекциями 5 "б",5'б' и 7"8", 7'8'. Эти прямые, расположенные в плоскости ₂,в

39

своем пересечении определяют вторую точку К₂ линии пересечения  и . Получив проекции K₁" и К₂" находим на следах ₁v" и ₂v"проекции K₁" и К₂". Проекции K₁"К₂ и K₁'K₂' являются проекциями искомой прямой пересечения плоскостей  и .

^ 3.9. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пресечения прямых линий с плоскостью

Этот способ заключается в том, что находят точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью. Следовательно, необходимо уметь строить точку пересечения прямой с плоскостью общего положения (рис.3.43).

На рис. 3,48 дано построение линии пересечения двух треугольников АВС и DEF. Прямая K₁K₂ построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника АВС с плоскостью треугольника DEF Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость ₁ проведенная через АС, пересекает треугольник DEF по прямой с проекциями 1."2" и 1'2'; в пересечении проекций А'С' и 1'2' получаем горизонтальную проекцию точки K₁' - пересечения

прямой АС и треугольника DEF. Затем строим фронтальную проекцию K₁^//


Рис.3.48
Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость ₂, проведенная через ВС, пересекает треугольник DEF по прямой с проекциями 3"4" и 3'4', В пересечении проекций 3'4' и В'С' получаем горизонтальную проекцию точки К₂ - пересечения прямой ВС и треугольника DEF. Затем строим фронтальную проекцию точки К₂. Видимость на чертеже определяем методом конкурирующих точек (см, рис.3.36),


40

^ 4. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

Задание прямых линии и плоских фигур в частных положениях относительно плоскостей проекций значительно упрощает построения и решение задач, позволяет получить ответ или не- посредственно по данному чертежу, или при помощи простейших построений. Такое частное взаимное расположение прямых линий, плоских фигур и плоскостей проекций может быть обеспечено преобразованием чертежа. Достигается это:

1) введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия или плоская фигура, не изменяя своего положения в пространстве, оказалась в каком - либо частном положении в новой системе плоскостей проекций (способ перемены плоскостей проекций).

2) изменением положения прямой линии или плоской фигуры, путем поворота вокруг некоторой оси так, чтобы прямая или фигура оказалась в частном положении относительно неизменной системы плоскостей проекций (способ вращения и частный случаи его способ совмещения).

3) изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем перемещения их в частное, положение так, чтобы траектории перемещения их точек находились в параллельных плоскостях при неизменной системе плоскостей проекций (способ параллельного перемещения).

^ 4.1 Способ перемены плоскостей проекций

Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в том, что положение точек, прямых линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система Н, V дополняется плоскостями, образующими с Н или с V, или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций,

Каждая новая система выбирается таким образом, чтобы получить положение наиболее выгодное для выполнения требуемого построения.

41

^ 4.1.1. Введение в систему Н, V одной дополнительной плоскости проекции

В большинстве случаев дополнительную плоскость в систему Н, V вводят согласно определенному условию, отвечающему цели построения. Примером может служить плоскость V₁ на рис.4.1.

Так как требовалось определить величину отрезка АВ и угол между АВ и плоскостью Н, то плоскость Vi расположена перпендикулярно к плоскости Н (образовалась система Н, V₁) и параллельно АВ

Рис.4.1

Следовательно в системе Н, V₁ отрезок АВ является фронталью (А'В' || оси X₁) и величина A₁"B₁" равна натуральной величине отрезка АВ, угол ₁ равен углу наклона ка АВ к плоскости Н.




Рис.4.2 Рис.4.3

На рис.4.2 выбор плоскости H₁ также подчинен цели: определить угол между прямой CD и плоскостью V, а также натуральную величину отрезка CD. Поэтому плоскость H₁ выбрана перпендикулярно V и в тоже время параллельно отрезку CD (ось H₁/V || C"D") Следовательно, в системе V, H₁ отрезок CD является горизонталью

(C"D" оси V/H₁), величина C₁'D₁' равна натуральной величине

отрезка CD , а угол ф₂ равен углу наклона отрезка CD к плоскости V.


42

В случае, изображенном на рис. 4.3, выбор плоскости H₁ вполне зависит от задания.

Необходимо определить натуральный вид треугольника АВС. Так как в данном случае плоскость, определяемая треугольником, перпендикулярна к плоскости V, то для изображения его без искажения необходимо ввести в систему H₁, V дополнительную плоскость, отвечающую двум условиям: Н_1,V (для образования системы V,Н₁) и H₁ || АВС (H₁ || А"В"С"), что дает возможность изобразить треугольник АВС на плоскости Hiбез искажения. Новая ось V/H₁ || А"В"С". Для построения проекции A'₁B₁'C'₁ от новой оси откладываем отрезки, равные расстояниям точек А', В', С' от оси V/H. Натуральный вид треугольника АВС выражается новой его проекцией A'₁B'₁C'₁.

^ Введение дополнительной плоскости проекции дает возможность преобразовать чертеж таким образом, что плоскость общего положения, заданная в системе Н, V, становиться перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций.



'с'

Рис.4.4 Рис.4.5

На рис.4.4 плоскость общего положения, заданная треугольником АВС в системе Н, V, становится перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций V₁. Для этого в треугольнике АВС проведена горизонталь AD, Плоскость, перпендикулярная к AD, перпендикулярна к АВС и в то же время к плоскости Н (так как .ADН). Этому соответствует плоскость V₁ и треугольник АВС проецируется на нее в отрезок B"₁C"₁, Угол ф₁ соответствует углу наклона треугольника АВС к плоскости Н.

43

Если же взять плоскость H₁ (рис. 4.5), перпендикулярную к плоскости V и плоскости, заданной треугольником АВС (для чего необходимо провести ось V/H₁ перпендикулярно к фронтали треугольника АВС), то определим угол ф₂ - наклона плоскости треугольника АВС к плоскости V.

^ 4.1.2.Введение в систему H.V двух дополнительных плоскостей проекций

Рассмотрим следующий пример (рис.4.б, 4.7): прямую общего положения АВ, заданную в системе Н, V, требуется расположить перпендикулярно к дополнительной плоскости проекций.

Рис.4.7




В этом случае придерживаемся такой схемы:

1) от системы H,V переходим к системе Н, V₁ в которой дополнительная плоскость V₁  Н и V₁ || АВ,

2) от системы H,V₁ переходим к системе V₁H₁ где H₁V₁ и H₁AB. Решение сводится к последовательному построению проекций А₁ и A₁" точки .А, В₁ и B₁" точки В.

Прямая АВ, общего положения в системе H,V, становится параллельной плоскости V₁ в системе Н, V₁ и проецируется в точку на плоскости H₁ в системе V₁, H₁ т.е. АВ  H₁,

44

На рис.4.8 дан пример построения натурального вида треугольника АВС.

Рис. 4.8

Решение такой задачи проводится по следующей схеме:

1) от системы H,V переходим к системе H,V₁, в которой V₁  Н и V₁  AD (AD - горизонталь треугольника АВС), V₁  АВС.

2) от системы Н, V₁ переходим к системе Vi, Hi, в которой H₁ 1 V₁ и H₁ || АВС,

В первой части задачи дополнительная плоскость V₁ перпендикулярна плоскости треугольника АВС. Это построение повторяет показанное на рис, 4.4.

Во второй части построения на рис.4.8 сводятся к проведению оси V₁/H₁ C'₁"A₁"B₁" т.е. плоскость H₁ проведена параллельно плоскости АВС, что приводит к определению натурального вида, выражаемого проекцией C'₁'A₁'B₁'.

45

^ 4.2.Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций

При вращении вокруг некоторой, неподвижной прямой i (ось вращения) каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскость вращения). При этом точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения (ценmр вращения). Радиус окружности равняется расстоянию от вращаемой точки до центра (это радиус вращения). Если какая-либо точка данной системы находится на оси вращения i, то при вращении системы эта точка считается неподвижной. Ось вращения может быть, задана и выбрана. Если ось вращения выбирается, то ее выгодно располагать перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, так как при этом упрощаются построения.

^ 4.2.1.Вращение вокруг заданной оси



Рис.4.9 Рис.4.10

Пусть точка А вращается вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости Н (рис.4.9). При вращении точка А описывает окружность радиуса R, плоскость которой находится в плоскости  и перпендикулярна к плоскости V, а, следовательно, параллельна плоскости Н Величина радиуса R выражается длиной перпендикуляра, проведенного из точки А на ось вращения. Окружность, описанная в пространстве точкой А, проецируется на плоскость Н без искажения, Так как плоскость а перпендикулярна к V, то проекции точек окружности на плоскость V расположатся на v" , т.е. на прямой, перпендикулярной к фронтальной проекции

46

оси вращения. Нарис.4.9 справа: окружность, описанная точкой А при вращении ее вокруг оси i, спроецирована без искажения на плоскость Н. Из центра О проведена окружность радиуса R=OA. На плоскость V эта окружность спроецировалась в виде отрезка прямой, равного 2R,

На рис,4.10 изображено вращение точки А вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости V. Окружность, описанная точкой А, спроецирована без искажения на плоскость V. Из точки О проведена окружность радиуса R==OA". На плоскости Н эта окружность изображена отрезком прямой, равным 2R.

Из этого следует, что при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к какой-нибудь из плоскостей проекций, одна из проекций вращаемой точки перемещается по прямой, перпендикулярной к проекции оси вращения.

^ 4.2.2.Вращение вокруг выбранной оси

В ряде случаев ось вращения может быть выбрана. При этом, если ось вращения выбрать проходящей через один из концов отрезка, то построение упрощается, так как точка,, через которую проходит ось, будет неподвижной и для поворота отрезка необходимо будет построить новое положение проекции только одной точки - другого конца отрезка.




Рис.4.11 Рис.4.12

На рис. 4.11 необходимо определить натуральную величину отрезка АВ и угол наклона его к плоскости Н. Ось вращения i выбрана перпендикулярно к плоскости Н и проходит через точку А. Поворачивая отрезок АВ вокруг оси i переводим его в положение,

47

параллельное плоскости V (т.е. АВ становится фронталью). Величина А В равна натуральной величине отрезка АВ, а угол А^//В^//В^// равен углу наклона отрезка АВ к плоскости Н.

Аналогично определяется натуральная величина отрезка CD и угол наклона его к плоскости V (рис.89). Ось вращения i выбрана перпендикулярно к плоскости V и проходит через точку С. Поворачивая отрезок CD вокруг оси i переводим его в положение, параллельное плоскости Н (т.е. CD становится горизонталью). Величина С D равна натуральной величине отрезка CD и угол С^/D равен углу наклона отрезка CD к плоскости V.



Рис.4.13

На рис 4.13 необходимо определить натуральный вид треугольника АВС и угол наклона его к плоскости Н. Т.к.. плоскость треугольника АВС является плоскостью общего положения, то данную задачу решаем по схеме:

1 Вращением вокруг оси i , перпендикулярной к плоскости Н и проходящей через точку С, переводим треугольник АВС из общего положения в положение фронтально - проецирующей плоскости.

48

2.Вращением вокруг оси i₁, перпендикулярной к плоскости V и проходящей через точку А, переводим треугольник АВС из положения фронтально- проецирующей плоскости в положение плоскости, параллельной плоскости Н.

Для того, чтобы треугольник АВС перевести в положение фронтально- проецирующей плоскости, в плоскости треугольника АВС проводим горизонталь плоскости СК, Ее фронтальная проекция С^//К^// параллельна оси X. Горизонтальная проекция С^/К^/ равна натуральной величине отрезка СК. Ось вращения i выбираем перпендикулярно Н и проводим через точку С, Плоскость АВС становится в положение фронтально- проецирующей плоскости, если горизонталь данного треугольника (СК) займет положение, перпендикулярное к плоскости V и, следовательно, отрезок СК станет перпендикулярен к оси X, а фронтальная проекция С^//К^// проецируется в точку. Из центра i^/С^/ радиусом, равным С^/К^/, проводим дугу и строим новую проекцию К .Т.к. при вращении любой точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, траектория перемещения точки расположена в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, то проекция К^// расположена на прямой К^// К^// , параллельной оси X.

Методом засечек находим В^/ и А^/. Фронтальная проекция В'' лежит на прямой В^//В^// и параллельной оси X, фронтальная проекция А^/ лежит на прямой А^/А^/, параллельной оси X. В результате данного вращения плоскость АВС стала фронтально проецирующей и угол (р равен углу наклона плоскости АВС к плоскости Н.

Ось вращения i₁ выбираем перпендикулярно V и проводим через точку А . Вращаем точку К и точку С радиусом А К , точку В радиусом А В до тех пор, пока плоскость АВС не займет положение, параллельное плоскости Н и, следовательно, отрезок А₁^//К₁^//В₁^// параллелен оси ОХ. Т.к. траектории перемещения точек С ,В и К при этом на горизонтальную плоскость Н с проецировалась в прямые, параллельные

оси X,. то

С^/ лежит на прямой С^/С^/,

В^/₁ лежит на прямой В^/В^/₁,

К^/₁лежит на прямой К^/К^/_1.

Проекция A^/B^/C^/ определяет натуральный вид треугольника АВС.

49

^ 4.3. Способ параллельного перемещения

При параллельном перемещении траектории перемещения каждой точки геометрической фигуры находятся в параллельных плоскостях, причем эти плоскости (носители траекторий) параллельны плоскостям проекций. Траектория перемещения – произвольная плоская линия.

Пример 1. Отрезок АВ прямой общего положения, перевести в положение, параллельное V (рис.4.14).

Отрезок АВ перемещаем в положение фронтали (АВ // V ), поэтому новая горизонтальная проекция А₁ В₁ должна быть параллельна оси Х, причем АВ=А₁В₁.

Так как при решении данной задачи используем метод параллельного переноса ,то, следовательно, траектория перемещения точки А является плоской линией, через которую можно провести плоскость а // Н, которая на фронтальную плоскость проекций V спроецируется в прямую а\- , параллельную оси X.

Проводим линию связи и находим A₁ . Аналогично определяем B₁, Траектория перемещения .точка В находится в плоскости  // Н,

 //  // Н. Проводим линию связи и находим B₁".,

[A₁" B₁ ] - натуральная величина отрезка АВ.



Рис.4.14.


50

Пример 2. Отрезок АВ (общего положения) перевести в положение, перпендикулярное V (рис. 4.15).



Рис.4.15.

Для перевода отрезка из общего положения в проецирующее, необходимо последовательно выполнить два перемещения :

1.) перевести отрезок АВ в положение, параллельное Н (аналогично примеру 1),

2.) переводим отрезок в положение, перпендикулярное V.

Пример 3. Определить натуральную величину (Н.В.) треугольника АВС (рис. 4.16).

Так как треугольник АВС является плоскостью общего положения, то в этом случае необходимо выполнить два перемещения:

1.) перемещаем треугольник АВС в положение, перпендикулярное V.

2.) перемещаем треугольник АВС в новое положение, параллельное Н.

Для решения первой части задачи в треугольнике АВС проводим через точку А горизонталь. Перемещаем треугольник АВС параллельным переносом в положение перпендикулярное V. Следовательно горизонталь треугольника АВС должна быть перпендикулярной V. Проводим новую проекцию горизонтали A₁' Д₁ перпендикулярно оси Х,


51

причем A_1Д₁=АД Затем методом засечек

(привязываясь к A₁ и H₁) строим A₁, B₁, Д₁, (аналогично рис 4.14)



Рис.4.16.

Так как треугольник АВС стал перпендикулярен V, то его фронтальная проекция (A₁ B₁ Д₁ C₁)- прямая линия.

Выполняя вторую часть задачи плоскость треугольника из положения фронтально-проецирующей плоскости параллельным переносом переводим в положение горизонтальной плоскости уровня, следовательно фронтальная проекция этой плоскости С₂ А₂ В₂ параллельна оси X.

Новую горизонтальную проекцию точек А,В,С находим аналогично (рис. 4.15)

Полученная проекция А₂В₂С₂ равна натуральной величине треугольника АВС.

52

5.ПОВЕРХНОСТЬ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ЗАДАНИЕ И ИЗОБРАЖЕНИЕ НАЧЕРТЕЖЕ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

В начертательной геометрии пользуются кинематическим способом образования поверхностей.

При этом способе поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону.

Линия при своем движении может оставаться неизменной или непрерывно меняться.

На всякой поверхности Ώ можно провести два таких семейства линий 1 и m (рис 5.1),которые будут удовлетворять следующему условию: никакие две линии одного семейства не пересекаются между собой и, наоборот, каждая линия одного семейства пересекают все линии другого семейства. В этом случае поверхность Ώ может быть, образована движением линии 1, называемой образующей, по неподвижным линиям m, которые называются направляющими.




Рис.5.1

53

Каждая поверхность может быть, образована различными способами. Так поверхность прямого кругового цилиндра (рис 5.2) может быть, образована вращением прямолинейной образующей 1 вокруг оси, ей параллельной, или движением образующей окружности m ,центр которой 0 перемешается по оси цилиндра, а плоскость окружности остается все время перпендикулярной к оси, либо вращением около оси произвольной образующей k, нанесенной на поверхность цилиндра.

Из всех способов образования поверхностей необходимо выбирать такие, которые являются наиболее простыми и удобными для решения задач.

Поверхность считается заданной, если по одной проекции точки на поверхности, можно построить ее вторую проекцию, т.е. на поверхности достаточно иметь такие элементы, которые позволяют построить каждую ее точку. Совокупность элементов позволяющих однозначно задать поверхность и выделить ее из других называется определителем поверхности.

В число элементов, входящих в состав определителя, должны быть, включены:

Рис 5.2

1. Геометрические фигуры (точки, линии, поверхности), с помощью которых, может быть, образована поверхность;

2. Алгоритмы формирования поверхности.

Итак; определитель поверхности состоит из двух частей: из совокупности геометрических фигур (первая часть) и дополнительных сведений о характере изменения формы образующей и законе ее перемещения (вторая часть). Определитель произвольной поверхности будет иметь следующую структурную форму Ф (Г) [А ], где (Г) -геометрическая часть, [А ]- алгоритмическая часть. Например, определителем цилиндрической поверхности вращения будет: Ф (а, m), [А ], где а- прямая, m- ось вращения. При этом прямая а задает


54

образующую, а ось m и словесное добавление, что цилиндрическая поверхность является поверхностью вращения - определяет закон движения образующей а .

Для придания чертежу большей наглядности в большинстве случаев строят на нем еще и очерк поверхности. Очерком поверхности называется граница, которая отделяет проекцию поверхности от остальной части плоскости проекции. Так фронтальным очерком прямого кругового конуса, ось которого перпендикулярна плоскости Н, является треугольник, а горизонтальным очерком - окружность.

^ Поверхность, которая может быть, образована прямой линией, называется линейчатой поверхностью. Линейчатая поверхность представляет собой геометрическое место прямых линий.

Поверхность с криволинейной образующей называется нелинейчатой поверхностью. Примеры линейчатых поверхностей даны на рис.5.3. Поверхность образована прямой линией A₁A₂, которая оставаясь постоянно параллельной прямой S₁S₂, перемещается по неподвижной линии Т₁ Т₂ Т₃ которую называют направляющей. Нетрудно видеть, что это поверхность цилиндра.


55

Поверхность конуса (рис 5.4) образуется движением прямолинейной образующей 1 по криволинейной направляющей m, при этом образующая постоянно проходит через одну и ту же точку S. Точка S называется вершиной конической поверхности,

Примером нелинейчатой поверхности служит:

а) сфера (образующая- кривая линия, в данном случае окружность). Сфера образуется вращением окружности вокруг диаметра;

б) тор, образуется вращением окружности вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр.