А. И. Данилов Московский государственный университет пищевых производств Предисловие Данный практикум

Вид материала

Практикум

Содержание Работа 3. Моделирование нелинейных объектов регулирования Библиотека нелинейных элементов 2. Замечания по решению нелинейных дифференциальных уравнений I - типичные нелинейности, встречающиеся в электромеханических устройствах и в устройствах автоматики;II I относятся: зона нечувствительности, ограни­чение, реле, реле с зоной нечувствительности, сухое трение, люфт и т.д.К нелинейнос М - некоторое положительное число. Однако Simulink 3. Библиотека нелинейных элементов 3.2.Нелинейные элементы типа II (экспериментального характера) 3.3. Нелинейности типа III, выражаемые математическими формулами Rounding Function 3.4. Элементы запаздывания 3.6. Логические операторы 3.7. Элементы отношений 4. Пример математического описания химических реакторов 4.2. Материальный баланс Е - энергия активации, ккал/кмоль;R 4.3. Тепловой баланс 4.4. Математическая модель трубчатого реактора 4.5. Математическая модель реактора с мешалкой 5. Порядок моделирования ... Полное содержание

Подобный материал:

• «Московский государственный университет пищевых производств», 995.39kb.
• Совершенствование качества системы управления персоналом на предприятиях общественного, 565.85kb.
• Управление затратами предприятий пищевых производств в условиях формирования вертикально-интегрированных, 253.14kb.
• «Московский государственный университет пищевых производств», 382.12kb.
• Московский Государственный Университет пищевых производств Т. М. Панченко методические, 26.11kb.
• Комплексная технология переработки гречихи с утилизацией лузги, 323.59kb.
• Разработка технологических решений по совершенствованию сортовых помолов ржи, 327.16kb.
• Разработка системы обеспечения сенсорного качества соковой продукции, 392.87kb.
• Совершенствование технологии кристаллического сахара повышенной чистоты, сохраняемости, 360.85kb.
• Московский Государственный Университет пищевых производств Косикова Ю. А. методические, 186.42kb.

^

Работа 3. Моделирование нелинейных объектов регулирования

Содержание

1. Цель работы
   
2. Замечания по решению нелинейных дифференциальных уравнений
   
3. ^ Библиотека нелинейных элементов
   
   • Нелинейности типа I
     
   • Нелинейные элементы типа II (экспериментального характера)
     
   • Нелинейности типа III, выражаемые математическими формулами
     
   • Элементы запаздывания
     
   • Переключатели
     
   • Логические операторы
     
   • Элементы отношений
     
4. Пример математического описания химических реакторов
   
   • Упрощающие допущения
     
   • Материальный баланс
     
   • Тепловой баланс
     
   • Математическая модель трубчатого реактора
     
   • Математическая модель реактора с мешалкой
     
5. Порядок моделирования
   
   • Подготовка математического описания конкретного реактора к моделированию
     
   • Составление структурной схемы и решение задачи
     
   • Настройка нелинейных элементов
     
6. Задание и требование к отчету
   
7. Работа на ЭВМ
   
   • А. Моделирование реактора с неизменными конструктивными и технологическими параметрами
     
   • Б. Моделирование реактора с изменением конструктивных и технологических параметров
     

1. Цель работы


Целью работы является освоение методики решения нелиней­ных дифференциальных уравнений с помощью инструментария Simulink, пакета MatLab на примере моде­лирования химических реакторов.


Содержание работы включает пример составления математического описания химических реакто­ров и их реализацию средствами Simulink с использованием нелинейных элементов и блоков. Описания нелинейных элементов и типичных нелинейностей приведены в разделе 3.


^ 2. Замечания по решению нелинейных дифференциальных уравнений


Исследование объектов химической технологии с помощью аппарата линейных дифференциальных уравнений не всегда воз­можно, так как большинство объектов являются существенно нелинейными, т.е. их поведение описывается нелинейными дифференциальными уравнениями.


Нелинейные зависимости, встречающиеся в дифферен­циальных уравнениях, можно условно разделить на три класса:


^ I - типичные нелинейности, встречающиеся в электромеханических устройствах и в устройствах автоматики;


II - нелинейности теоретического или экспериментального происхождения, заданные в виде графических зависимостей,


рис.1 а, б.


III - нелинейности типа перемножения/деления и прочие нелинейности, которые можно выразить математическими функциями и их комбинациями (формулами).


К нелинейностям типа ^ I относятся: зона нечувствительности, ограни­чение, реле, реле с зоной нечувствительности, сухое трение, люфт и т.д.


К нелинейностям типа II относятся , например, расходная характеристика клапа­на, экстремальная статическая характеристика некоторого объекта и т.д.





Рис. 1


Зависимость константы скорости хи­мической реакции от температуры


это есть нелинейная зависимость типа III .


Для реализации нелинейных зависимостей типа I , II
и III в пакете Simulink'e имеется набор нелинейных блоков
(библиотека нелинейных элементов, раздел 3).


Нелинейные дифференциальные уравнения очень раз­нообразны и нельзя дать каких-либо общих рекомендации по их решению с помощью пакета Simulink. Каждая задача требует своего собствен­ного подхода как с точки зрения минимума затраченных на ее решение линейных и нелинейных элементов, так и с точки зрения минимизации погрешности.


Обычно подразумевается, что решаемые в среде Simulink'е дифференциаль­ные уравнения имеют устойчивые решения, т.е. при не­ограниченном возрастании независимой переменной решение ограничено , где ^ М - некоторое положительное число. Однако Simulink позволяет решать
и некоторые типы дифференциаль­ных уравнений
с неустойчивыми решениями, например, описывающие реакции взрыва некоторого вещества, описывающие неустойчивые физические системы различной природы.


Для нелинейных дифференциальных уравнений, которые можно разрешить отно­сительно высшей производной, существует общий алгоритм решения в среде Simulink. Он схож с методом понижения порядка произ­водной, применяемым при решении линейных дифференциаль­ных уравнений, см. лабораторную работу 1.


Если невозможно разрешить уравнение относительно высшей производной, то для составления структурной схемы решения следует использовать "метод неявных функций".


^ 3. Библиотека нелинейных элементов


3.1. Нелинейности типа I

1.		Sign - Реле (или знак).
2.		Relay - Реле с зоной нечувствительности.
3.		Saturation - Насыщение.
4.		Coulomb & Viscous Friction - Сухое или вязкое трение.
5.		Backlash - Зазор.
6.		Dead Zone - Зона нечувствительности.
7.		Rate Limiter - Ограничение на скорость (на величину производной).
8.		Quantizer - Дискретизатор ( вход аналого- вый - выход как бы цифрового регистра с ограниченным числом разрядов).  Иными словами, аналого-цифровой преобразователь (АЦП).

^ 3.2.Нелинейные элементы типа II (экспериментального характера)

9.		Look-Up Table - одномерная экспериментальная зависимость
10.		Look-Up Table (2-D) - двухмерная экспериментальная зависимость.

^ 3.3. Нелинейности типа III, выражаемые математическими формулами

11.		Math Function - Математические функции.
12.		Trigonometric Function - Тригонометри- ческие функции.
13.		Abs - Модуль (Абсолютное значение).
14.		Product - Блок перемножения/деления.
15.		^ Rounding Function - Функция округления.
16.		MinMax - Функция, пропускающая на выход (из нескольких переменных поданных на вход) ту переменную, которая в данный момент имеет минимальное (или максимальное) значение.
17.		Fcn - Функции, выражаемые формулами.
18.		MATLAB Fcn - Функции MatLab.
19.		S-Function - S-функция.

^ 3.4. Элементы запаздывания

20.		Transport Delay - Звено чистого транспорт- ного запаздывания (лине- йное звено, случайно по- павшее в набор нелиней- ностей MatLab) .
21.		Variable Transport Delay - Звено чистого (транспортного) запаздывания с переменным, управляемым временем запаздывания.
22.		Memory - Память (запаздывание на один шаг вычислений решателя Simulink) .

3.5. Переключатели

23.		Manual Switch - Ручной переключатель ( по двойному щелчку мыши).
24.		Switch - Управляемый переключатель на одно направление.
25.		Multiport Switch - Многоканальный упра- вляемый переключатель.

^ 3.6. Логические операторы

26.		Hit Crossing - Пороговый элемент (сигнализатор пересечения входным сигналом заданного уровня).
27.		Logical Operator - Логические операторы.
28.		Combinatorial Logic - Комбинаторная логика.

^ 3.7. Элементы отношений

29.

Relational Operator - Операторы отношения.

^ 4. Пример математического описания химических реакторов


4.1. Упрощающие допущения


Пусть по трубчатому реактору (рис.2) проходит газооб­разная или жидкая реакционная смесь. Для упрощения задачи примем следующие допущения :

1. реактор работает в режиме идеального вытеснения, т.е. отсутствуют продольные диффузионные и/или турбулентные потоки тепла и вещества
   

2. теплообмен с окружающей средой происходит через тонкую стенку, теплоемкость которой мала, и, следовательно, можно ее не учитывать; также не будем учитывать тепло, идущее на нагрев кожуха аппарата (для реакторов, работающих под давлением, эту статью расхода тепла в тепловом балансе учитывать необходимо вследствие значительной толщины стенок и/или корпуса);
   

3. теплофизические свойства: теплоемкость, плотность и т.д. реакционной смеси постоянны в исследуемом диапазоне темпера­тур и концентраций;
   

4. реакция идет без изменения объема, а скорость движения реакционной смеси по длине реактора постоянна.
   

Рис. 2





Рис. 3


^ 4.2. Материальный баланс


Предположим, что в реакторе происходит реакция разложения первого порядка вида





с поглощением тепла.


Рассмотрим материальный баланс по веществу A элементарного объема , располо­женного между сечениями x и x+dx, рис. 2. Концентрация вещества C_A=C_A(x,t) при нестационарном процессе в реакторе является функцией координаты x и времени t .


Изменение количества вещества А в элементарном объёме





за время dt складывается из уменьшения количества вещест­ва А за счет реакции разложения





и за счет разности прихода и ухода вещества через сечение x и x+dx с концентрациями C_A(x,t) и C_A(x+dx, t) соответственно


.


Таким образом

(1)

где:


C_A(x,t) - концентрация вещества, кмоль/м³;


V - скорость потока. м/с;


К ( ) - константа скорости химической реакции, 1/с;


- скорость реакции первого порядка, кмоль/м³ ;


D - диаметр трубки реактора, м .


Так как концентрация С_А является функцией не толь­ко координаты х, но и времени t ,то переходя к записи урав­нения (1) в частных производных и учитывая, что


при dx0, можно записать
как получим:

.

(2)

Константа скорости реакции определяется:


,


где К₀ - полученный опытным путем предэкспоненциальный множитель, 1/с;


^ Е - энергия активации, ккал/кмоль;


R - универсальная газовая постоянная, ккал/кмоль∙ ⁰С


(х,t) - температура реакционной смеси, °С.


^ 4.3. Тепловой баланс


Рассмотрим баланс тепла элементарного объема реактора за время dt .


Приращение количества тепла этого элементарного объема





складывается:

1. из прихода тепла через стенку реактора
   

,

2. прихода тепла с потоком за счет разности температуры на входе и выходе элементарного объема
   

3. за счет тепла реакции , которое выделяется +q
   (или поглощается -q ) при образовании молей вещества.
   

Таким образом, уравнение теплового баланса примет вид:

(3)

где


- температура стенки, которая является функцией координаты для реакторов с зонным обогревом ,°С;


q - тепловой эффект реакции, ккал /кмоль;


- коэффициент теплоотдачи, ккал/м²∙°С∙с


- плотность реакционной смеси, кг/м³;


с - удельная теплоемкость реакционной смеси, ккал/кг∙°С.


Теперь учитывая, что при


можно заменить через , и переходя к за­писи уравнения (3) в частных производных, (поскольку температура является функцией координаты x и времени t), после преобразова­ния получим

(4)

Обозначим через Т. Коэффициент Т называется постоянной времени.


Величина , обозначим ее через В, °С∙м³/кмоль, показывает на сколько увеличится температура реакционной смеси при изменении кон­центрации на 1 кмоль/м³ в случае отсутствия теплообмена (ади­абатические условия реакции).


^ 4.4. Математическая модель трубчатого реактора


Решение уравнений (2) и (4) позволяет получить, при конкретных начальных и граничных условиях, изменения темпера­туры (x,t) и концентраций С_A(x,t) для любо­го сечения трубчатого реактора в любой момент времени. Уравнения в частных производных с помощью пакета Simulink не решаются. ( MatLab имеет для этого другой инструментарий).


Однако, если рассматривать установившийся режим работы реактора, т.е C_A(x,t)=C_A(x) и (x,t)=(x) ,


или , то после замены ,


где - время контактирования, получим систему диф­ференциальных уравнений (5),(6)

;

(5)

;

(6)

в сечении Х=0 (т.е. когда ) задаются начальные условия

;

(7)

.

(8)

Следует заметить, что температура является возмущаю­щей функцией в системе (5) и (6) и может задаваться исследователем как функция координаты , т.е. .


Другими словами является внешним управляющим воздействием так же как (0) и С(0) . Решение системы (5) - (8) для заданной функции дает распределение температуры и концентрации реаги­рующих веществ по длине трубчатого реактора.


^ 4.5. Математическая модель реактора с мешалкой


Аналогичная система уравнений описывает процесс и в случае использования реактора с мешалкой, рис.3.


При периодическом процессе в момент t=0 в аппарат загружают исходные реагенты с начальной температурой , концентрацией С_O и реак­ция начинается.


Благодаря интенсивному перемешиванию, концентрацию и температуру во всех точках аппарата можно считать одинаковыми для любого момента времени. Такой режим называют идеаль­ным перемешиванием. После достижения заданной концентрации целевого продукта, смесь выгружают из аппарата.


При периодическом процессе время контакта будет совпадать с астрономическим временем t .


Полученные математические модели могут быть использованы :

• для исследования конструктивных особенностей реактора;
  
• для подбора оптимального распределения ;
  
• для оптимального выбора начальных параметров
  и ;
  
• для создания и отладки системы регулирования
  и управления.
  

^ 5. Порядок моделирования


5.1.Подготовка математического описания конкретного реактора к моделированию


Рассмотрим порядок моделирования на примере разложения вещества А на вещество R и вещество S с поглощением тепла - q. Реакция идет по схеме


.


Требуется с помощью инструментария Simulink осуществить моделирование проектируе­мого процесса для уточнения конструктивных и технологических параметров, обеспечивающих наилучшее проведение реакций.


Значения начальной температуры смеси и концентрации: = 337 °С и = 3.2 кмоль/м³,
а температура стенки принята постоянной по длине и равной = 337 °С.


Известно, что конечная температура смеси, по пред­варительному технологическому регламенту, не должна превышать 290 °С .


Реакция проходит в трубчатом реакторе, в котором


D = 0.04, м - диаметр трубок реактора;


= 4.0, м - длинна трубок реактора;


V = 0.8, м/с - скорость движения реакционной смеси;


= 6.67, ккал/(м² ∙°С∙с) - коэффициент теплоотдачи от смеси к стенке реактора;


= 0.8∙103, кг/м³ - плотность реакционной смеси;


с = 0.476, ккал/(кг∙°С) - теплоемкость реакционной смеси;


q = - 16400, ккал/кмоль - тепловой эффект реакции разложения;


R = 1.98, ккал/(кг∙°К) - универсальная газовая постоянная.


Константу скорости реакции, рис. 4, определяют по формуле

, с-1 ,

(9)

которая легко реализуется нелинейными элементами Simulink'а.


Найдем значения В и Т


, °С/(кмоль/м³)


.

Таким образом система уравнений (5 - 8) для этого случая будет иметь вид :

	(10)
(11)
(12)
(13)

Систему (10 - 13) необходимо решать при ограничениях

	(14)
(15)

Рис. 4


^ 5.2.Составление структурной схемы и решение задачи


Структурная схема для моделирования в среде Simulink химического реактора, математическим описанием которого является система уравнений (9 - 14), приведена на рис. 5.





Рис. 5


Примечание. Вспомогательный усилитель Gain2 поставлен в блок-схему модели, чтобы масштабировать величину концентрации с целью удобства наблюдения на осциллографе.
Это вызвано тем, что ось ординат имеет только одну единственную шкалу, установленную вами в свойствах осциллографа ^ Scop. "Многолучевой" осциллограф может показывать (через Mux) сразу несколько процессов. Таким образом, необходимо все рассматриваемые на экране осциллографа процессы "растянуть" или "сжать" по вертикали (может быть с предварительным добавлением/вычитанием постоянной составляющей) и привести к одному масштабу, например к диапазону 0-100 модельных единиц.


^ 5.3. Настройка нелинейных элементов


Блоки перемно­жения/деления, изображенные на рис. 5, легко настраиваются на конкретную задачу следующим образом:

• два раза щелкнуть на пиктограмме конкретного блока перемножения/деления,- появится окно его настройки;
  

• в появившемся единственном поле указать последовательно знаками умножить " * " и разделить " / " операции для каждого входа, считая входы "сверху вниз";
  

• настройка блока этим самым заканчивается и остается нажать кнопки Применить и Закрыть (Applay и Close).
  

Одномерная нелинейная зависимость, описывающая константу скорости К(), формула (9), легко реализуется нелинейным элементом Fcn, (элемент 17 в разделе 3.3) следующим образом:

• два раза щелкнуть на пиктограмме конкретного блока Fcn вашей модели,- появится окно его настройки;
  

• в появившемся единственном поле указать аналитическую зависимость между входом u и выходом f(u), используя правила записи формул, принятые в алгоритмических языках высокого уровня,- например, для нашего случая, для К(), необходимо записать следующее арифметическое выражение:
  

exp(40-44500/(R*(u+273))) ;

• настройка блока этим самым заканчивается и остается нажать кнопки Применить и Закрыть
  (Applay и Close).
  

После выбора нужных элементов и выставления численных значений коэффициентов, можно перейти к собственно моделированию.


Следует отметить, что координата реактора выражается как , где - текущее время в секундах, а ^ V - скорость потока, м/с. При необходимости эти исследования можно расширить за счет вариации начальной концентрации С(0) и/или начальной температуры реакционной смеси , или за счет изменения конструктивных параметров реактора (для трубчатого реактора - это изменение диаметра трубчатки D).


Можно также исследовать: влияние коэффициента теплоотдачи ; плотности ; теплоемкости с смеси.


Изменение переменных и в процессе решения следует регистрировать на осциллографе (Scope).


^ 6. Задание и требование к отчету


В качестве задания предлагается исследовать:


I. Реактор с мешалкой.


Подобрать значение технологического параметра , который обеспечивает соблюдение ограничения <123, °С.


Определить также численное значение времени , по истечении которого изменение концентрации практически прекращается.


II. Трубчатый реактор.


Для трубчатого реактора подобрать значение , которое будет соответствовать определенной длине реактора:


.


Для этой длины подобрать температуру стенки , которая обеспечит завершение реакции, а также непревышение температуры реакционной смеси своего предельного значения, <123°С.
Примечание. В аппарате происходит реакция первого
порядка типа





с выделением тепла (экзотермическая реакция), при всех выше принятых допущениях.


Из кинетики химических реакции ясно, что при самых высоких до­пустимых температурах смеси, скорость реакций будет максималь­ной и поэтому понадобится реактор небольшой длины. Однако дополнительно известно, что температура реакционной смеси не должна превышать 123 °С.


Исходные данные для моделирования системы (5 - 8) даны в табл. 1. Составить блок схему; подготовить настройки нелинейных блоков для реализации и блоков перемножения/деления.


^ 7. Работа на ЭВМ


А. Моделирование реактора с неизменными конструктивными и технологическими параметрами


Настроить блоки нелинейностей, собрать схему моделирования, выставить коэффициенты и провести исследование в соответствии с заданием. Результаты решения наблюдать на экране осциллографа, Scop.


Результатом работы являются (в зависимости от варианта задания):


-  подобранная входная температура реакционной смеси


-  подобранная (постоянная во времени) температура стенки .


^ Б. Моделирование реактора при изменении
конструктивных и технологических параметров


Для более тонкого исследования динамики реактора предлагается исследовать влияние конструктивных параметров (D, ) и технологических параметров (,,с, q).


Для этого из табл. 2 выбрать тот же вариант задания, НО !!! параметры


и , с


заставить Simulink вычислять при каждом запуске модели, беря исходные данные из табл. 2.


Указания


Схема Simulink-модели останется практически такой же, как и для первого задания (вариант по табл. 1), НО !!! вместо постоянных чисел, выражающих значения коэффициентов В и Т, в блоках коэффициентов следует впечатать арифметические выражения для их расчета, т.е. правые части выражений (18) и (19):

B = q/ro/c;	(18)
^ T = D*ro*c/4/alfa	(19)

При этом, до начала моделирования, в командном окне MATLAB (Command Window) присвоить числовые значения всем составляющим правых частей выражений (18) и (19).


Пример задания вычислений в командном окне:

q = число 1		из табл. 2
ro = число 2
с = число 3
D = число 4
Alfa = число 5

где число 1, число 2, … конкретные числовые значения.


Теперь можно запустить модель и убедиться, что результаты (графики концентрации и температуры во времени) близки с полученными по заданию А.


Однако!!! В случае Б легко исследовать модель при изменении каких-либо конструктивных и/или технологических параметров.


Например, изменим коэффициент теплопередачи. Для чего достаточно в ^ MATLAB Command Window, в Рабочем Поле (WorkSpace) задать его новое значение:


alfa=число 6


и снова запустить модель.


Таким образом, можно всесторонне исследовать влияние изменения коэффициента теплоотдачи alfa на характер зависимости и .


Табл. 1

№№ вар.				[°С]	[°С]	Константа Скорости [c-1]	V [м/с]
1	5 [с]	+15	2	Подобрать	14		1.4
2	38 [с]	+15	2	14	0.5
3	5 [с]	+110	6.3	0	2
4	38 [с]	+110	6.3	0	1.6
5	16 [мин]	+8.6	3.5	30	Подобрать		1
6	1,2 [мин]	+8.6	3.5	30	1.2
7	1,2 [мин]	+14.2	0.11	-5	0.2
8	16 [мин]	+14.2	0.11	-5	0.8

Таблица 2

№№ вар.	Данные для вычисления Т и В
D [м]	[кг/м3]	С		q
1	0.06	720	0.546	1.1794	5896.8
2	0.15	840	0.874	0.7245	11012.4
3	0.03	1340	0.9	1.809	132660
4	0.08	940	0.476	0.2355	49218.4
5	0.12	1000	2.2	0.0688	18920
6	0.05	1200	3.8	0.7917	39216
7	0.14	690	2.7	0.9056	26454.6
8	0.08	2400	1.5	0.075	51120

Продолжение табл. 2

№№ вар.	CA(0)	[°С]	[°С]	Константа Скорости [с-1]	V [м/с]
1	1.8	Подобрать	24		0.5
2	2.4	18	1
3	5.4	Подобрать	2	1.2
4	7.3	14	0.8
5	3	38	Подобрать		2.1
6	4	22	3.6
7	0.1	-6	Подобрать	1.5
8	0.15	-8	1.8