А. И. Данилов Московский государственный университет пищевых производств Предисловие Данный практикум

Вид материала

Практикум

Содержание Работа 2. Моделирование замкнутой системы регулирования и подбор настроек ПИ-регулятора 2. Краткая теория 2.2. Рекомендации по моделированию объектов регулирования с дробно-рациональными передаточными функциями 3. Моделирование транспортного запаздывания 4. Рекомендации по подбору настроек ПИ-регулятора ПИ-регулятор, собранный на элементах, взятых из библиотек пакета Simulink. 4.2. Включение регулятора в обратную связь объекта регулирования 4.3. Критерии качества регулирования J переходного процесса x(t) 4.4. Определение оптимальных настроек ПИ-регулятора на Simulink ПИ-регулятор. Выход х(t) 5. Интерпретация полученных значений настроек ВРЕМЯ - это или секунды [c 6. Пересчет настроек из машинных в реальные (для справки) Маш.ед. - модельные безразмерные единицы измерения величин u(t), θ(t)

Подобный материал:

• «Московский государственный университет пищевых производств», 995.39kb.
• Совершенствование качества системы управления персоналом на предприятиях общественного, 565.85kb.
• Управление затратами предприятий пищевых производств в условиях формирования вертикально-интегрированных, 253.14kb.
• «Московский государственный университет пищевых производств», 382.12kb.
• Московский Государственный Университет пищевых производств Т. М. Панченко методические, 26.11kb.
• Комплексная технология переработки гречихи с утилизацией лузги, 323.59kb.
• Разработка технологических решений по совершенствованию сортовых помолов ржи, 327.16kb.
• Разработка системы обеспечения сенсорного качества соковой продукции, 392.87kb.
• Совершенствование технологии кристаллического сахара повышенной чистоты, сохраняемости, 360.85kb.
• Московский Государственный Университет пищевых производств Косикова Ю. А. методические, 186.42kb.

^

Работа 2. Моделирование замкнутой системы регулирования и подбор настроек ПИ-регулятора

Содержание

 

1. Цель работы
   
2. Краткая теория
   
   • Замечания по структуре САР
     
   • Рекомендации по моделированию объектов регулирования с дробно - рациональными передаточными функциями
     
3. Моделирование транспортного запаздывания
   
4. Рекомендации по подбору настроек ПИ-регулятора
   
   • 
     

Моделирование ПИ-регулятора

• 
  

Включение регулятора в обратную связь объекта регулирования.

• 
  

Критерии качества регулирования

• 
  

Определение оптимальных настроек

5. Интерпретация полученных значений настроек
   
6. Пересчет настроек из машинных в реальные (для справки)
   
7. Задание
   

1. Цель работы


Целью работы является моделирование на ПЭВМ с помощью инструментария Simulink замкнутой системы автоматического регулирования (САР) по заданному математическому описанию и подбор настроек ПИ-регулятора.


^ 2. Краткая теория


2.1. Замечания по структуре САР


Замкнутая CAP состоит из объекта регулирования и регулятора.


Объект может иметь различные передаточные функции по возмущающему каналу и по регулирующему каналу
Wвк Wрк. В этом случае, рис. 1, для моделирования объекта необходимо реализовать сумму двух передаточных функций.


Если возмущающий и регулирующий каналы совпадают Wвк = Wрк = Wо, то схема CAP упрощается, рис. 2.


Такая схема называется схемой стабилизирующего регулирования. Во многих случаях объект имеет транспортное запаздывание по каналу регулирования. В этом случае для моделирования объекта необходимо дополнительно использовать блок постоянного запаздывания (БПЗ), рис. З.


При определении настроек регулятора постоянное запаздывание по возмущающему каналу не имеет значения и его можно принять равным нулю.


Если транспортное запаздывание по регулирующему каналу _рк больше чем время переходного процесса по этому же каналу, то можно сразу прекратить работу, так как никакие значения настроек ПИ-регулятора не дадут требуемого качества переходного процесса, хотя, в принципе, существуют структурные методы, решающие эту проблему.


^ 2.2. Рекомендации по моделированию объектов регулирования с дробно-рациональными передаточными функциями


Рассмотрим реализацию с помощью Simulink'a объектов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями (ЛДУ) с постоянными коэффициентами вида:

(1)

где





- возмущающая функция, состоящая из линейной комбинации независимой переменной u(t) и ее производных, причем n m.


Начальные условия для x и ее производных примем для простоты равными нулю, поскольку они никак не влияют на значения искомых настроек ПИ - регулятора. Дифференциальному уравнению соответствует дробно-рациональная передаточная функция:

(2)

 

Так что любую дробно-рациональную передаточную функцию типа (2) можно переписать в виде (1). Для реализации такого рода дифференциальных соотношений между x и u известны несколько способов.






Рассмотрим один из них, - метод "вспомогательной переменной", - на примере уравнения второго порядка.


Пример 1.

(3)

Решим в среде Simulink сначала уравнение следующего вида:

(4)

Рис. 4


Составим структурную схему решения вспомогательного уравнения (4) в среде Simulink методом понижения порядка производной, рис 4, - обведено пунктиром.


Теперь применим к левой и правой частям уравнения (4) дифференциальный оператор

(4.1)

и, поменяв порядок дифференцирования, окончательно получим

(5)

Сравнивая уравнения (3) и (5), находим, что искомая переменная x связана со вспомогательной соотношением

(6)

которое легко осуществить, рис. 4.


Задание не нулевых начальных условий не имеет значения для моделирования САР с целью получения настроек регулятора.

В Приложении 4 приведены схемы моделирования передаточных функций типа (2) вплоть до 4-го порядка.


Пример 2.


Составить структурную схему моделирования в среде Simulink передаточной функции реального дифференцирующего звена




Начальные условия нулевые. Запишем передаточную функцию в виде дифференциального уравнения





Запишем затем вспомогательное дифференциальное уравнение




и составим для него структурную схему, рис. 5. Искомая переменная x связана со вспомогательной соотношением:




Реализуя это соотношение с помощью блока коэффициента Gain 3, получаем окончательную схему, рис. 5.




Рис. 5


^ 3. Моделирование транспортного запаздывания


Блок постоянного запаздывания (БПЗ) предназначен для осуществления чистого транспортного запаздывания , рис 6, т. е.




Имеются различные способы моделирования в среде Simulink блока запаздывания. Первый из них, - это запоминание запаздывающего сигнала в линии задержки, реализованной наборам ячеек памяти линейного буфера.


Элементы запаздывания такого типа имеются в библиотеке пакета Semulink. На рис. 6 показана блок-схема моделирования объекта регулирования 2-го порядка с запаздыванием, а на рис. 7 - кривые разгона этого объекта ( 1 - без запаздывания, 2 - с запаздыванием ).




Рис. 6




Рис. 7


Примечание: на рис. 7 видно, что кривая разгона " 1 " объекта "без запаздывания" начинается не в нулевой момент времени , - это объясняется тем, что вынуждающая функция, реализованная на элементе Step, была настроена генерировать "скачок" в момент времени, равный единице.


Рассмотрим теперь БПЗ, работа которого основана на моделировании приближенной передаточной функции звена чистого запаздывания

(7.1)

или

(7.2)

W₂ - приближение е ^-р рядом Паде 2-го порядка,
а W₄ - рядом Паде 4-го порядка.


В выражениях (7.1), (7.2) справа стоят приближения передаточной функции е ^-р рядом Паде. Моделирование звеньев (7.1) или (7.2) можно осуществить способом, изложенным в разделе 2.2 настоящей работы. Рекомендуется проделать это самостоятельно, или в крайнем случае воспользоваться Приложением 4.


БПЗ, реализованный по разложению е ^-р в ряд Паде (7.1) или (7.2), не позволяет точно осуществлять задержку во времени сигналов, имеющих ступенчатый характер, рис. 8а, или разрывы первой производной, рис. 8б.


Поэтому в структурных схемах САР следует располагать такого рода БПЗ как можно дальше от источников скачкообразных возмущений и дифференцирующих звеньев, рис. 9. Желательно, чтобы БПЗ находился после звеньев с передаточными функциями типа:




обладающих сглаживающими свойствами.


БПЗ, реализованные на основе передаточных функций (7.1) или (7.2), без искажений пропускает только те гармонические составляющие сигнала, которые удовлетворяют неравенству: ω< 2.5 и ω< 6.0, где ω - частота гармоники, пропускаемой еще без искажений амплитуды и фазы. Следовательно, чем меньше сигнал содержит высокочастотных составляющих и чем меньше заданное время запаздывания, тем точнее работа блока.


Однако, несмотря на эти недостатки, для исследований, требующих "бесконечной" длительности процесса моделирования, предпочтительнее употреблять БПЗ, реализованный на основе разложений Паде (7.1) или (7.2).


В этих "бесконечных" переходных процессах состояние элементов блок-схемы ( интеграторов, сумматоров и т.д. ) на момент окончания очередного цикла моделирования должны приниматься за начальные состояния элементов для следующего цикла. Такого вида эксперименты необходимы, например, для исследований автоколебаний в нелинейных САР; для анализа систем массового обслуживания; для анализа случайных процессов в системах управления и т.д. (подробнее см. работу 5 и приложение 3).

 

а	б

 

Рис. 8

 

 



Рис. 9


^ 4. Рекомендации по подбору настроек ПИ-регулятора


4.1. Моделирование ПИ-регулятора.


Уравнение ПИ-регулятора записывают следующим образом:

(8)

где


y_рег - выходная величина регулятора;


x = ( x - x₃ ) - входная величина регулятора, - рассогласование, - разница между текущим значением регулируемой величины x и заданием x₃;


S1, S0 - настройки регулятора соответственно пропорциональная и интегральная части.


На рис. 10 показан ^ ПИ-регулятор, собранный на элементах, взятых из библиотек пакета Simulink. Сумматор Sum1 является компаратором, т. е. устройством, сравнивающим текущую величину x(t) с заданием x₃. Следует иметь в виду, что знак суммирования величины x₃ должен быть противоположен знаку суммирования x(t).





Рис. 10


Пример 3.


Пусть регулятору следует поддерживать величину + 76.4 ^оС. В этом случае величина задания будет х₃ = 76.4, поданное на вход сумматора со знаком " - ". На рис. 10 величина задания, реализованная на элементе
Константа (Constant), x₃ = 100, поэтому следует изменить ее на величину x₃ = 76.4. Тогда действительно, если текущая величина x ( t) = 76.4, т. е. равна величине задания, то на выходе сумматора Sum1 рассогласование x = 0. Если x(t) > 76.4, то x(t) > 0, если x(t) < 76.4, то x(t) < 0.


Пропорциональное и интегральное воздействия регулятора складываются на Cумматоре2 (Sum2), на выходе которого получается выходная величина регулятора y _рег .


Все коэффициенты в схеме на рис. 10, кроме S₁ и S_0, постоянные и равны 1. Если S₁ = 0, то получается
И-регулятор, если, наоборот, S₀ = 0, - П-регулятор.


Задание. Установить (через рабочую область MatLab) S₁ = 1 и S₀ = 0.1. параметры скачка элемента Step установить следующие: время скачка - 3 с, начальное значение 76.4, конечное значение 60.0.


Запустить модель и наблюдать на осциллографе переменную y_рег(t). После окончания моделирования, поменять произвольным образом величины настроек
S₁ и S₀, снова запустить модель и наблюдать y _рег(t).


^ 4.2. Включение регулятора в обратную связь объекта регулирования


Пусть к примеру необходимо стабилизировать
ПИ-регулятором объект с передаточной функцией

(9)

Составляем структурную схему моделирования в среде Simulink этого объекта без запаздывания, рис. 11. Для этого следует передаточную функцию переписать в виде дифференциального уравнения, а затем составить структурную схему (работа 1 ).





Рис. 11


Так как объект имеет запаздывание, то следует на выходе модели объекта включить блок запаздывания из библиотеки пакета Simulink. Выход объекта x ( t) подключаем ко входу регулятора "переменная". Управляющее воздействие регулятора y_рег, подаваемое на вход объекта, должно суммироваться с возмущающим воздействием u(t) и компенсировать его (знак минус на Sum4 по входу y_рег ).


Таким образом,


 во-первых, для y_рег должен быть предусмотрен отдельный вход с коэффициентом, равным 1;


 во-вторых, регулятор должен быть включен в отрицательную обратную связь. Для примера придадим возмущению u(t) знак плюс. Если регулятор включен в отрицательную обратную связь, то возмущение, прошедшее через замкнутую систему "объект - регулятор", вернется в виде компенсирующего воздействия y_рег со знаком " - " (минус). Если же получится знак " + " (плюс), то значит, регулятор включен в положительную обратную связь и замкнутая схема регулирования будет неустойчивой.


Если объект регулирования линейный, то полученные настройки регулятора и переходный процесс не зависят от величины задания. Поэтому для простоты принимают величину задания x₃ = 0. Если x₃ = 0, то вход для него не нужен и, в принципе, не нужен и сумматор Sum1.


^ 4.3. Критерии качества регулирования


Зададимся целью подобрать такие настройки S₁ и S₀, чтобы переходный процесс в замкнутой САР был оптимальным.


Сразу возникает вопрос, что подразумевают под оптимальным переходным процессом и как количественно различить два переходных процесса, который из них более оптимален.


Также надо точно оговорить стандартный вид возмущающего воздействия u(t), чтобы была возможность сравнивать переходные процессы. Скачкообразное возмущение (функция Хэвиссайда) u(t)=const является наиболее неблагоприятным, и вследствие, этого, принято стандартным для изучения САР, рис. 12. Оно реализуется элементом Step раздела Source.




Рис. 12


Когда возмущение является более сложной функцией времени t, то необходимо специальное устройство генерирующее u (t). Элементы-генераторы функций независимой переменной t легко переносятся в блок-схему модели из библиотеки ИСТОЧНИКИ (Source) пакета Simulink.


Критерии оптимальности ^ J переходного процесса x(t) могут быть различными:

1.		(10)
2.	(11)
3.	(12)
4.	(13)

Каждый из критериев отвечает стремлению исследователя получить переходный процесс, в наибольшей степени обладающий определенным качеством.


При аналитическом расчете настроек ПИ-регулятора по расширенной АЧХ переходной процесс должен отвечать двум критериям качества:


1. Степень затухания равна расчетной, например ψ = 0.75 (ей cответствует степень колебательности m = 0.221). Величина ψ показывает на интенсивность затухания и определяется как




при этом A _i+2 > A _i+3, рис. 13. (Для ψ = 0.75,  A_i= 4*A _i+2)


2. Выполняется интегральный критерий (10), т.е. минимум амплитуды переходного процесса и минимум времени регулирования.


На рис. 14а показана плоскость параметров настройки с линией равного затухания, а на рис. 14б переходные процессы, соответствующие различным парам настроек регулятора S_1, S₀ на линии равного затухания.


Видно, что при одной и той же степени затухания ψ, наилучшим, в смысле интегрального критерия, будет переходный процесс 2.


Таким образом, можно подобрать бесчисленное множество пар настроек S₁ и S₀, которые будут обеспечивать заданную степень затухания; однако необходимо найти такие, которые давали бы одновременно минимум интегрального критерия.




Рис. 13




a





б

Рис. 14




Рис. 15




Рис. 16




Рис. 17


^ 4.4. Определение оптимальных настроек


Пусть необходимо подобрать оптимальные настройки для объекта с передаточной функцией (9). Степень затухания, к примеру, ψ= 0.75.


Ниже даются рекомендации по подбору настроек. Эти рекомендации есть результат опыта по определению настроек
^ ПИ-регулятора на Simulink-моделях, и конечно, не должны рассматриваться как догма. Однако, если придерживаться этих рекомендаций, можно значительно сократить время поиска оптимальных настроек.


Проверяется правильность реализации в среде Simulink объекта без запаздывания с отключенным регулятором. Для этого на вход u(t) подают скачкообразное возмущение, рис. 12. Начальные условия должны быть нулевыми.

1. Если кривая разгона совпадает с предполагаемой (время переходного процесса, его форма и коэффициент усиления в статике), то настраивают и подключают БПЗ. По осциллографу (Scope) наблюдают одновременно переходный процесс до БПЗ и после него. Для этого надо использовать перед входом осциллографа элемент МUХ. Если видно, что время запаздывания равно или больше времени переходного процесса в объекте, то можно не продолжать отыскание настроек, так как ПИ-регулятор дает неустойчивую замкнутую систему регулирования почти при всех настройках. Проверьте еще раз правильность полученного постоянного запаздывания.
   

2. Если БПЗ работает правильно, то подключают
   ^ ПИ-регулятор. Выход х(t) до БПЗ уже не нужен, и его можно отключить от осциллографа. Ставят настройки в нулевые состояния, т.е. S₁ = 0 и S₀ = 0. Это равносильно разрыву цепи обратной связи. Потом проверяют, получается ли первоначальная кривая разгона. Если кривая разгона объекта не получается, то необходимо проверить коэффициенты S₁ и S₀ в схеме регулятора, а также обязательно начальные условия на интеграторах, - они должны быть нулевыми.
   

3. Если при S₁ = 0 и S₀ = 0 кривая разгона объекта получилась правильно (рис. 15), то приступают к подбору настроек регулятора.
   

Simulink - модель должна находиться в режиме "исходное положение". Затем несколько увеличивают настройку S₁. После чего переводят Simulink - модель в режим "решение" ("интегрирование") и наблюдают, как изменился переходный процесс. Затем снова переводят в режим "исходное положение", изменяют коэффициент, пускают машину в режим "интегрирование" и наблюдают новый переходный процесс и т. д.


При увеличении настройки S₁ уменьшается амплитуда, кривые 1 и 2 на рис. 15. При дальнейшем увеличении переходный процесс станет колебательным кривые 4 и 5. Для удобства наблюдения можно увеличить вертикальное усиление осциллографа и постараться подобрать такую настройку S₁ , чтобы получить степень затухания, близкую к заданной ψ= 0.75, кривая 1 на рис. 16. Для того, чтобы оценить степень колебательности, следует мысленно провести линию установившегося состояния, рис. 16 и проверить величины амплитуд переходного процесса. Каждая i+2 амплитуда должна быть приблизительно в 4 раза меньше
i-й для ψ= 0,75. При дальнейшем увеличении настройки S₁ степень затухания уменьшается, кривая 2 на рис. 16.

4. Если, приблизительно, настройкой S₁ П-регулятора достигнута заданная степень затухания, то следует перейти к подбору настройки S₀, не изменяя S_1.
   

Для этого ставим Simulink-модель в "исходное положение" и увеличиваем настройку S₀ И-части регулятора. Пускаем Simulink-модель в режим "интегрирование" и наблюдаем, как изменился переходный процесс. При увеличении S₀ переходный процесс будет приходить к заданию, кривая 1 на рис. 17.


При дальнейшем увеличении S₀ можно получить переходный процесс, отвечающий ψ = 0.75 и условию минимума интегрального критерия, кривая 2 на рис. 17. При этом, может быть, понадобится немного изменить настройку S₀.


Таким образом, сначала мы двигались в плоскости параметров настроек по оси S₁ , а затем поднимались вверх, увеличивая S₀, (рис. 14а, отмечено пунктиром).
Следовательно, вручную, мы осуществляли процедуру оптимизации типа " покоординатного спуска ".

5. Если переходный процесс получился оптимальным, то следует записать полученные коэффициенты, т.е. полученные настройки S₀ и S₁ .
   

^ 5. Интерпретация полученных значений настроек


Пусть известно, что у моделируемого объекта были следующие значения размерностей переменных:

	(14)
(15)
(16)

И пусть также полученные в среде Simulink настройки имеют следующие значения: s₁ = 2.6 и s₀ = 0.85. Каковы - же их размерности ?! Зная размерности входа, выхода и размерность независимой переменной t (14-16), легко получаем


   

где ^ ВРЕМЯ - это или секунды [c], или минуты [мин], или [часы] , в зависимости от того, какая размерность постоянной времени Т перед первой производной имела место в математической модели объекта. При этом коэффициент при x(t) должен быть единицей, например, для уравнения (3) величена Т равна




^ 6. Пересчет настроек из машинных в реальные (для справки)


Предположим, что моделирование проводилось после предварительного масштабирования дифференциального уравнения, описывающего объект регулирования. Предположим также, что были при этом применены следующие масштабы:

<>	(17)
(18)
(19)

где [с] реальное время ;


[с_м] модельное время в Simulink-модели.


^ Маш.ед. - модельные безразмерные единицы измерения величин u(t), θ(t) или x(t) в среде Simulink, которая наблюдается на осях осциллографа (Scope).


Теперь требуется пересчитать полученные модельные настройки s₀ и s₁ в реальные S₀ и S₁.


Запишем уравнение регулятора

(20)

Так как выходная величина регулятора y_рег является входным воздействием для объекта, таким же как и u(t), то можно записать

(21)

Для реальных переменных также можно записать

(22)

Переменные Simulink-модели x, y, t _м связаны с реальными переменными G, θ, t через масштабы


      

Подставим в (21) машинные переменные, выраженные через реальные и масштабы

	(23)

Сгруппируем масштабы с модельными коэффициентами s₀ и s₁

(24)

Сравнивая теперь выражения (22) и (24), можно записать


   

После подстановки численных значений нашего примера получим





Степень обратной связи теперь легко определить





В нашем примере





Полезно бывает подсчитать также время изодрома




7. Задание


В качестве объекта регулирования взять объект, математическое описание которого дано в задании к лабораторной работе 1 (дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях).


Время запаздывания взять из табл. 1.


Таблица 1

№ вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
τр	0.4 мин	5 мин	0.16 с	11.8 с	2.6 с	1.,2 мин	42 мин	3.1 мин	4.2 мин	1.0 мин	0.003 с	0.65 с