Программа на 3 семестр цнии ртк (осень 2011)
| Вид материала | Программа |
- Председателям региональных организаций Профсоюза Председателя первичных профсоюзных, 28.83kb.
- Об утверждении инвестиционной программы ООО «ртк» по развитию, реконструкции и модернизации, 321.4kb.
- Русская Телефонная Компания, Россия, г. Новосибирск Управляемый Ethernet коммутатор, 1151.05kb.
- Конкурс стихов. Награждение ризами за стихи, 51.9kb.
- Левко Геннадий Владимирович Зам генерального директора ОАО "цнии "Электрон" по научной, 4.35kb.
- На конкурсе стихов и сочинений было три номинации: выразительное чтение стихотворений, 49.22kb.
- Родная природа в творчестве поэтов 20 века, 178.48kb.
- Осень! Славная пора!, 48.89kb.
- «АгроТек Россия-2011», 43.61kb.
- Никитина Ирина Александровна, д э. н., профессор, sizn@mail ru Бакалаврская программа, 154.15kb.
ПРОГРАММА НА 3 СЕМЕСТР ЦНИИ РТК (осень 2011)
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
ОДУ, их порядок. Решения дифференциального уравнения, интегральные кривые. Задача Коши.
Уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Уравнения Риккати и Дарбу.
Теорема существования и единственности решения для ОДУ первого порядка, разрешенных относительно производной. Особое решение ОДУ первого порядка как огибающая семейства интегральных кривых.
ОДУ первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые точки и особые решения.
Метод введения параметра, его обоснование. Уравнения Лагранжа и Клеро.
ОДУ высших порядков. Задача Коши для уравнения вида y(n)=f(x, у, у', у",..., у(n-1)). Теорема существования и единственности решения для такого уравнения. Понижение порядка дифференциального уравнения в некоторых частных случаях.
Линейные ОДУ высших порядков, однородные и неоднородные. Общие теоремы о решениях линейного однородного уравнения. Фундаментальная система решений. Структура общего решения линейного однородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами; нахождение частных решений по виду правой части (метод неопределенных коэффициентов). Дифференциальные уравнения, приводящиеся к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами. Уравнения Эйлера.
^ 2. Системы дифференциальных уравнений. Основы теории устойчивости.
Нормальные системы ОДУ. Задача Коши. Решение задачи Коши методом последовательных приближений Пикара. Теорема Пикара. Понятие общего решения и общего интеграла нормальной системы ОДУ. Методы интегрирования нормальных систем ОДУ; метод исключения; нахождение интегрируемых комбинаций для нормальных систем ОДУ, записанных в симметричной форме. Понятие матричной последовательности и матричного ряда. Матричные степенные ряды. Теорема об условиях сходимости матричного степенного ряда. Экспонента от матрицы еA. Матрица - функция еАх. Теорема об умножении матричных рядов и следствие из нее.
Линейные системы ОДУ. Свойства решений линейной однородной системы ОДУ. Необходимые и достаточные признаки линейной зависимости и линейной независимости решений линейной однородной системы ОДУ. Форма Коши этого решения. Фундаментальная матрица решений линейной однородной системы ОДУ. Общий вид этой матрицы. Формула Остроградского - Лиувилля. Теорема о составлении общего решения линейной неоднородной системы ОДУ. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения решения линейной неоднородной системы ОДУ. Фундаментальная матрица решений однородной системы ОДУ с постоянными коэффициентами. Группы решений системы dY/dx=AY, соответствующие клеткам Жордана нормальной формы матрицы А. Линейные неоднородные системы ОДУ с постоянными коэффициентами. Формула для общего решения такой системы. Форма Коши общего решения.
Линейные системы ОДУ с периодическими коэффициентами Матрица монодромии, ее свойства. Определение мультипликаторов и характеристических показателей системы. Структура фундаментальной матрицы решений линейной однородной системы с периодическими коэффициентами. Приведение линейной однородной системы ОДУ с периодическими коэффициентами к линейной однородной системе с постоянными коэффициентами.
Понятие устойчивого, неустойчивого и асимптотически устойчивого движения нормальной системы ОДУ по Ляпунову. Устойчивость линейных систем. Критерий устойчивости и асимптотической устойчивости линейных систем с переменными и с постоянными коэффициентами. Критерий устойчивости и асимптотической устойчивости линейных систем с периодическими коэффициентами. Теорема об устойчивости движения нормальной системы ОДУ по первому приближению.
^ 3. Криволинейные интегралы.
Криволинейные интегралы первого рода. Существование и вычисление. Механическое истолкование. Свойства. Приложения.
Криволинейные интегралы второго рода. Существование и вычисление. Механическое истолкование. Свойства. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Криволинейные интегралы второго рода по замкнутым плоским кривым. Условия независимости криволинейного интеграла на плоскости от пути интегрирования. Интегрирование полных дифференциалов.
^ 4. Кратные интегралы.
Двойные интегралы. Область и ее диаметр. Квадрируемые области. Определение двойного интеграла. Ограниченность интегрируемой функции. Необходимое и достаточное условия интегрируемости. Интегрируемость непрерывных функций. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Связь криволинейного интеграла второго рода и двойного интеграла, формула Грина. Выражение площади плоской фигуры через криволинейный интеграл второго рода. Формула для площади плоской фигуры в криволинейных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Приложения двойных интегралов.
Тройной интеграл. Кубируемые тела. Определение тройного интеграла. Свойства тройных интегралов. Вычисление тройных интегралов. Формула для вычисления объема в криволинейных координатах. Замена переменных в тройном интеграле. Приложения тройных интегралов.
^ 5. Поверхностные интегралы. Элементы векторного анализа.
Площадь кривой поверхности. Формула для площади кривой поверхности в случае явного и параметрического задания функции. Сторона и ориентация кривой поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности.
Поверхностные интегралы первого рода. Существование и вычисление. Механическое истолкование. Свойства. Приложения.
Определение поверхностного интеграла второго рода. Существование и вычисление.
Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода. Формула Остроградского- Гаусса.
Вычисление объемов тел посредством поверхностных интегралов. Формула Стокса.
Векторная функция одного скалярного аргумента. Годограф. Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой. Предел и непрерывность вектор - функции. Производная от вектора по скалярному аргументу; ее свойства. Неопределенный и определенный интегралы от векторной функции. Векторное поле. Перенос основных понятий анализа (предел, непрерывность, частные производные и др.) на векторные функции точки. Векторные линии и их нахождение. Поток вектора через незамкнутую поверхность. Поток вектора через замкнутую поверхность, источники и стоки. Дивергенция вектора, ее аналитическое и символическое выражения. Теорема Остроградского- Гаусса в векторной форме. Формулы для вычисления дивергенции. Линейный интеграл вектора и его свойства. Циркуляция вектора. Вихрь вектора, его аналитическое и символическое выражения. Теорема Стокса в векторной форме. Формулы для вычисления вихря.
Классификация векторных полей: поле потенциальное, соленоидальное, общего вида. Лапласиан вектора. Формула для вычисления лапласиана от векторных функций. Дифференциальные операции первого и второго порядка в криволинейных координатах (в частности, в цилиндрических и сферических координатах).
^ 6. Элементы теории функций комплексной переменной.
Понятие функции комплексной переменной. Предел функции в точке. Дифференцирование функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Дифференцируемость и регулярность. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Функция w = zn, где n - натуральное число. Понятие однолистности отображения.
Определение показательной функции. Области однолистности этой функции. Отображение посредством показательной функции. Тригонометрические и гиперболические функции; их свойства. Однозначные ветви многозначных функций. Логарифмическая функция; ее однозначные ветви. Общая степенная функция; ее однозначные ветви.
Интеграл от функции комплексной переменной; его свойства. Интегральная теорема Коши.
7. Основы операционного исчисления.
Оригинал и его изображение по Лапласу. Изображения: l(t), exp(bt), ln(t), sin wt, coswt, sh wt, ch wt.
Преобразование Лапласа: линейность, подобие, запаздывание, опережение, смещение, дифференцирование оригинала и изображения., интегрирование оригинала и изображения, изображение свертки, формулы Дюамеля, свертка изображений. Восстановление оригинала по изображению: теорема единственности, формула Меллина, первая и вторая теоремы разложения.