Головоломок вишенка в коктейле
| Вид материала | Документы |
- Психологическое сопровождение замещающих семей, 219.46kb.
- Психологическая коррекция агрессивного поведения детей, 219.57kb.
- С. В. Левина Н. А. Задворочнова публичный доклад, 193.66kb.
- Проектный метод в деятельности доу, 187.91kb.
- Проектный метод в деятельности доу, 214.46kb.
- Альтергот Оксана Петровна. Детский сад является юридическим лицом, имеет полный пакет, 211.9kb.
Деревья
«Непрерывная ломаная» — это совокупность точек (вершин), соединенных отрезками так, что любые две точки связаны неразрывным маршрутом. Если такая ломаная не имеет циклических участков, или маршрутов, замкнутых в одной точке, такую ломаную называют деревом. В природе настоящее дерево представляет собой совершенную трёхмерную модель. Некоторые кристаллы растут по тому же принципу. Реки с притоками на поверхности Земли также выглядят гигантскими деревьями. Ряд хрупких твердых веществ при растрескивании на микроскопическом уровне также демонстрируют ветвистые линии разломов. Электрические заряды могут ветвиться.
Элементарная ломаная типа «дерева» — это линия, соединяющая две точки. Три точки также могут быть соединены в дерево единственным способом. Но четыре точки уже могут быть соединены с получением двух топологически различных деревьев. Из пяти точек получается целая «роща» — множество из трёх деревьев, а шесть точек дают шесть деревьев (см. рис. 119). Размещение точек и форма соединяющих их линий не имеет значения, так как в качестве отличительных особенностей рассматриваются только топологические свойства дерева. Вы можете представлять их себе как структуры, состоящие из одинаковых шариков, соединенных эластичными связками. Такие деревья называются «свободными», в отличие от «укорененных», у которых выделяется одна точка, и «меченых», у которых все точки индивидуально помечены.
| Точки 2 3 | Деревья I 1 | ||
| 4 | | Y | |
| 5 | | : \ | |
| 6 | | : \ > < | |
Рис. 119.
Топологически различные деревья из 2—6 точек
v
V v
7
V
8
10
12
Рис. 120.
Двенадцать семиточечных деревьев, два из которых — «близнецы»
Существуют и другие типы деревьев, для которых пока не разработана стандартная номенклатура. Задача подсчета числа различных «-точечных деревьев данного типа превращается в сложную комбинаторную теорию. Из семи точек можно получить 11 свободных деревьев. Далее ряд продолжается так: 23, 47, 106, 235, 551 ... Дюжина семиточечных деревьев показана на рис. 120 — однако два из этих деревьев повторяют одно другое. Сможете ли вы обнаружить этих «близнецов»? Если хотите, попробуйте изобразить 23 дерева из 8 точек.
Очевидно, что любое дерево из п точек имеет п - 1 соединяющих отрезков, а общее число таких отрезков в лесу из п точек и к деревьев равно п — к. Ещё одна бросающаяся в глаза теорема о деревьях отображена в сказочной повести Фрэнка Баума The Magical Monarch of Mo and His People («Волшебник-правитель страны Mo и его народ»). Яблоко, висящее высоко на ветке, нельзя достать, забравшись на дерево, так как кто-то отпилил ближайший к нужной ветке кусок ствола на растопку. Теорема: удаление любого из отрезков ло-маной-дерева разрушает его. Даже самый верхний из отрезков при удалении оставляет конечную точку ломаной «подвешенной».
Исследования деревьев начались лишь в конце XIX века, однако, само собой, подобные диаграммы строили ещё в древности. С их помощью удобно отображать самые разнообразные связи — например генеалогические — и разделять что-либо по иерархическому принципу. Одно из самых известных деревьев средневековой метафизики было впервые изображено неоплатоником III века Порфи-рием в комментариях к Аристотелю. В сущности, «древо Порфирия» являлось тем, что теперь мы назвали бы «бинарным деревом». Все категории здесь делятся на две взаимоисключающие группы, основываясь на свойствах, присущих либо одной, либо другой из них. (См. «Федр» Платона.) Субстанция, summum genus, делится на телесное и бестелесное, телесное, в свою очередь, на живое и неживое. Живое подразделяется на чувствующее (животные) и нечувствую-щее (растения). Животные делятся на разумных (человек) и неразумных. Разумные же состоят из множества отдельных личностей — это дерево infama species. После изобретения гравировки философы эпохи Возрождения полюбили иллюстрировать свои труды фантастически ветвящимися и причудливо украшенными порфировыми деревьями.
Пьер де ла Рамэ (он же Пётр Рамус), французский логик-протестант, убитый в 1572 году в Варфоломеевскую ночь, был ярым поклонником такого бесконечного бинарного разделения всего и вся, так что впоследствии такие деревья стали называть его именем. В начале XIX века Иеремия Бентам стал, вероятно, последним из серьёзных философов, уделявшим много внимания бинарным деревьям. Он понимал, что составление полного бинарного дерева во многих областях (например, в ботанике) невозможно и что любая категория может быть, как яблоко, поделена тысячами возможных способов.
Однако продолжал считать, что дихотомическое разделение — один из величайших инструментов анализа. Он писал о «несравненной красоте рамусовых древ», а один из разделов в своем сочинении озаглавил: «Как посадить энциклопедическое рамусово древо на любом участке поля искусства и науки».
Современные философы (за исключением тех, кто трудится в области формальной логики) редко используют деревья. Однако ученые нашли для них применение в таких разнообразных отраслях науки, как химические структурные формулы, схемы электрических цепей, теория вероятности, биологическая эволюция, экспериментальные исследования, стратегия игр и все многообразие комбинаторных задач. Самый примечательный из известных мне примеров неожиданного использования деревьев в комбинаторике (а именно в анализе карточных пасьянсов) приводится в обсуждении теории деревьев в книге Дональда Кнута Fundamental Algorithms.
Пасьянс, который рассматривает Кнут, известен под названием «Часы». Но его называют также «Путешественники», «Спрятанные карты» или «Четыре короля». Колода сдается на тринадцать кучек лицом вниз, по четыре карты в каждой, которые располагаются так, как показано на рис. 121, наподобие цифр на циферблате часов.
Тринадцатая («королевская») стопка карт кладется в центре. Нужно перевернуть верхнюю карту из этой стопки и подсунуть её лицом вверх под стопку, соответствующую её значению. Например, вы берете из «королевской» стопки четверку и, значит, должны положить её под стопку, соответствующую четырем часам на циферблате.
Если выпал валет — под одиннадцатую стопку и так далее. Затем вы переворачиваете верхнюю карту из той стопки, под которую только что засунули предыдущую. Её вы кладете под соответствующую стопку таким же образом. Если вы достали карту, соответствующую по значению той же стопке, где она была, переверните её лицом вверх, суньте под низ и возьмите следующую. Если все пятьдесят две карты окажутся перевернутыми вверх лицом, вы выиграли. Если вы ещё до этого перевернете четвертого короля, то вы проиграли.
^ Данная игра проходит чисто механически, для неё не требуется никакого мастерства. Кнут в своей книге доказывает, что шансы на выигрыш равны ровно У13. А также что в среднем число карт, перевернутых до конца партии, составляет 42,4. Это единственная из игр, приводимых в популярных книгах о пасьянсах, для которой точно рассчитана вероятность выигрыша.
Кнут также обнаружил простой способ заранее определить, сложится ли пасьянс. Для этого нужно лишь посмотреть на нижние карты в каждой стопке. Нарисуем ещё одну схему и обозначим на ней значения всех нижних карт, за исключением центральной. Теперь соединим все эти карты линиями с соответствующими стопками (см. рис. 121, справа). (Если значение карты соответствует той стопке, где она лежит, линия не проводится.) Перерисуем эту диаграмму так, чтобы стала очевидной её «древесная» структура (см. рис. 122). Только в том случае, если диаграмма будет представлять
О
Рис. 122.
Связи карт в виде дерева
О
собой дерево, включающее все 13 стопок карт, пасьянс сложится. Расположение сорока неизвестных карт значения не имеет.
Данная игра, как показывает её дерево, выигрышна. Можете самостоятельно построить диаграмму для другого начального расклада (см. рис. 123) и выяснить, сложится ли этот вариант, а потом проверить полученный результат, по-настоящему разложив пасьянс до конца. Доказательство того, что проверка деревом всегда дает верный результат, приводится Кнутом в его книге. Помимо того что этот труд представляет собой введение в монументальное кибернетическое исследование, он содержит огромное количество свежего материала для занимательной математики.
Дерево, включающее в себя все точки данного множества, называется «перекрывающим» для этих точек. Одна из первых теорем теории деревьев была сформулирована в XIX веке кембриджским математиком Артуром Кейли, который открыл и доказал, что число различных перекрывающих деревьев для п маркированных точек равно п в степени п — 2. (Кейли — один из отцов теории деревьев, он разработал её в 1875 году как метод подсчета числа изомеров углеводов.) Представим себе 4 города — А, В, С и D. Если соединить их перекрывающим деревом, сколько у нас получится вариантов сети дорог, соединяющих города? По формуле Кейли получим 42, то есть 16 (см. рис. 124). Топологически некоторые из полученных деревьев подобны. Однако наши точки (города) маркированы, и они будут считаться разными. В местах перекрестков одна из линий изображена проходящей под другой, чтобы не создавалось впечатления ещё одной точки в этом месте — иначе дерево состояло бы из 5 точек.
Рис. 123.
Нижние карты, по которым нужно составить дерево
Представим себе п городов, связанных общей железнодорожной сетью, состоящей из прямых участков пути, соединяющих между собой пары городов. Пути могут пересекаться, но такие места не рассматриваются в качестве новых вершин ломаной (то есть не являются пунктами пересадки).
^ Как же найти перекрывающую все точки ломаную, обладающую минимальной общей длиной?
Легко увидеть, что самая короткая ломаная представляет собой дерево. В противном случае она содержала бы замкнутый участок. Укоротить ломаную можно было бы путем удаления одного из её отрезков: тогда «кольцо» разорвется, но все города останутся связанными. Если можно исключить все замкнутые участки, укорачивая ломаную, значит, самая короткая будет представлять собой дерево.
Для нахождения минимального по длине перекрывающего дерева существует несколько простых алгоритмов. Стандартная процедура была впервые описана Джозефом Крускалом в статье On the Shortest Spanning Subtree of a Graph and the Traveling Salesman Problem («О самых коротких поддеревьях графов и задаче коммивояжера»), Proceedings of the American Mathematical Society, т. 7, февраль 1956. Она такова. Определим расстояния между каждой парой городов, затем расставим их по возрастанию. Самый короткий путь, соединяющий города, обозначим 1, следующий по длине - 2 и так далее. Если два расстояния равны, порядок их нумерации неважен. Два ближайших друг к другу города соединим прямой линией. Затем проделаем последовательно то же самое для всех остальных пар городов. Если какой-то из отрезков окажется частью замкнутой структуры, проводить его не нужно. Сразу переходите к следующей паре городов.
В результате у вас получится перекрывающее дерево минимальной длины. Могут существовать и другие варианты деревьев с такой же минимальной длиной, однако при помощи алгоритма Крускала вы точно нарисуете один из них.
Минимальное перекрывающее дерево обладает множеством свойств, которые нетрудно доказать. Например, составляющие его отрезки пересекаются только в вершинах, и ни в одной из вершин не должно сходиться более пяти отрезков.
«Задача об экономичном дереве», как её иногда называют, это не то же самое, что знаменитая «задача о коммивояжере», решение которой так и не найдено. Эта задача состоит в нахождении кратчайшего замкнутого маршрута, который позволил бы коммивояжеру посетить строго по одному разу все города и вернуться в исходный.
Для большого количества городов существуют неплохие компьютерные алгоритмы, позволяющие найти близкий к искомому результат. Однако точного общего метода не существует — кроме, конечно, утомительного перебора всех возможных маршрутов.
Если мы будем соединять города деревом, в котором могут возникать новые дополнительные вершины, то кратчайшее из таких деревьев будет называться «штайнеровым». К примеру, каким будет кратчайший путь, соединяющий четыре города, расположенных в углах квадрата? Пусть сторона квадрата равна 1 миле. Помните, что кратчайшее перекрывающее дерево в данном случае может содержать дополнительные точки. То есть оно не обязано быть четырёхточечным. Если у вас получится найти такое дерево, можете попробовать решить более сложную задачу: найдите минимальное штай-нерово дерево для пяти углов правильного пятиугольника.
^ ОТВЕТЫ
На рисунке с семиточечными свободными деревьями повторяются деревья под номерами 5 и 8.
Второй вариант расклада пасьянса не сойдется. Соответствующая ему ломаная не будет представлять собой дерево. Во-первых, она прерывается, а во-вторых, на ней имеется замкнутый участок.
На рис. 125 показаны минимальные штайнеровы деревья для вершин квадрата и правильного пятиугольника. Отмеченные точками углы равны 120°. Можно подумать, что «экономичное дерево»
для вершин квадрата получится из его диагоналей (суммарная длина которых равна 2 \/2 = 2,828). Однако представленная на рисунке структура обладает общей длиной 1 + V5 = 2,732.
^ Хьюго Стейнхаус в своем сборнике 100 Problems in Elementary Mathematics («Сто задач элементарной математики») приводит доказательство того, что данное дерево самое короткое. Минимальная длина дерева внутри пятиугольника со стороной 1 равна 3,891.
Самое короткое штайнерово дерево, вписанное в равносторонний треугольник, имеет четвертую вершину в центре фигуры. Минимальные штайнеровы деревья для всех многоугольников с шестью и более сторонами представляют собой просто периметр фигуры без одной стороны. В общем виде задача поиска минимальных штайнеровых сетей, соединяющих п точек на плоскости, а также способ построения таких сетей при помощи мыльной пленки рассмотрены в книге Ричарда Куранта и Герберта Роббинса What Is Mathematics? («Что такое математика?») 1941 года выпуска.
ГЛАВА 18
Кости
Мы постарались как можно лучше просчитать все шансы, а потом бросили кости.
Джимми Картер о своем решении баллотироваться в президенты.
^ Цит. по New York Times, 10 июня 1976
В большинстве настольных игр элемент случайности вносится с помощью разнообразных простых генераторов случайных чисел. Самым известным из подобных приспособлений ещё со времён Древнего Египта является «игральный кубик», или «кость». Почему именно такая форма сохранилась на протяжении многих веков? В качестве игральных костей использовались и другие пять правильных многогранников, однако из всех них куб обладает максимумом преимуществ. Его проще всего изготовить, число его граней не слишком мало, но и не слишком велико, и он в меру просто катается (однако не чрезмерно просто).
Тетраэдр всегда был наименее популярен в качестве такого приспособления. Он с трудом может катиться, и у него слишком маленькое число граней — четыре. Следующим по распространенности после куба исторически был октаэдр. Такие кости найдены в египетских гробницах и используются в некоторых играх в настоящее время. Додекаэдр (с двенадцатью гранями) и икосаэдр (с двадцатью) использовались преимущественно для предсказаний судьбы. Во Франции в XVI веке именно с помощью додекаэдрической кости часто предсказывали судьбу. А если разбить один из «магических» хрустальных шаров, которыми пользовались гадалки тех времен и в которых ответ на вопрос появлялся в окошечке сверху, выплывающим из глубины, то можно увидеть, что эти ответы написаны на гранях плавающего в жидкости икосаэдра.
^ Несколько лет назад Японская ассоциация стандартов нашла практическое применение икосаэдрическим костям. Так как число
граней такой кости равно дважды по десять, то, пронумеровав все грани два раза цифрами от 0 до 9, мы получим изящный инструмент для генерирования случайных двузначных чисел для игрового бизнеса, теории игр и так далее. Эти кости продаются в наборах по три разного цвета (красного, синего и жёлтого), так что каждый бросок дает сочетание трёх случайных цифр. Фотографии этих костей помещены на обложке редкой монографии Биргера Янссона Random Number Generation («Генерация случайных чисел»), изданной на английском языке в Швеции в 1966 году.
Самые древние кубики, найденные в египетских гробницах, имеют возраст около четырёх тысяч лет. Они разного размера, изготовлены из разных материалов и по-разному маркированы. Однако многие из них уже очень похожи на современные (в которых цифры от 1 до 6 расположены на гранях кубика так, чтобы сумма цифр на противоположных гранях равнялась семи). Если не устанавливать такого ограничения, расположить цифры на гранях кубика можно 30 различными способами, считая и зеркальные отражения (но не учитывая два возможных расположения на гранях двух, трёх и шести точек, изображения которых лишены четырёхсторонней симметрии). Если сумма цифр на противоположных гранях равна семи, как во всех современных кубиках, то расположить их можно только двумя способами, представляющими собой зеркальные отображения друг друга.
Все кубики, производимые сегодня на Западе, ориентированы одинаково: если держать кубик так, чтобы видеть грани с 1, 2 и 3 точками, цифры будут возрастать против часовой стрелки. В Японии продаются кубики обеих ориентации (см. рис. 126).
Кубики, аналогичные западному типу, используются для всех игр, кроме маджонга, где применяются кубики, «идущие наоборот», как говорила кэрролловская Алиса. Кубики обоих типов в Японии бывают западного стиля (белые с черными точками) и традиционные, у которых на грани с одной точкой она очень большая, глубо-
Рис. 126.
Японские кубики западного образца (слева) и для игрывмаджонг (справа).
ко вдавленная и красная. У китайских и корейских кубиков также имеется большая красная точка, и, кроме того, красные также и точки «четвертой» стороны. В корейских и китайских играх эти красные точки, кажется, не несут никакого смысла, кроме как в определении права первого хода (который достается тому игроку, который выбросит больше красных точек). Происхождение красных отметок на кубиках неизвестно. Стюарт Кулин в изданной на средства автора монографии Chinese Games with Dice («Китайские игры с костью») в 1889 году ссылается на какие-то древние китайские мифы, которые якобы объясняют происхождение этой особенности. Однако сам же считает, что она имеет индийское происхождение.
Современный профессионал игры в кости настолько привыкает к определённой ориентации граней кубика (то есть к тому, как расположены вокруг любого из углов грани с определенным числом точек), что, если показать ему кубик, закрыв пальцами две противоположные грани, он мгновенно может сказать, сколько точек на каждой из них. Это умение помогает определить шулерские кубики, которые несут на гранях только три цифры, так что они одинаковы на противоположных гранях. Благодаря тому, что в любом положении видны только три грани кубика одновременно, для всех игроков такие обманные кости, лежащие на столе, выглядят совершенно нормальными. Однако такой кубик невозможно сделать таким образом, чтобы все тройки соседних граней давали «правильный» порядок. Вы можете взять кубик сахара и нанести на него любые три пары цифр, соответствующие цифрам на трёх соседних гранях нормального кубика, так, чтобы одинаковые цифры были на противоположных гранях. Теперь, рассмотрев кубик со всех восьми углов, вы увидите, что у четырёх из них грани будут ориентированы «в обратную сторону». Таким образом, при использовании такого кубика в игре ровно в половине случаев он будет падать так, что ориентация граней будет неправильной. В таком случае опытный игрок сразу определит обман.
Мошенники обычно используют для надувательства кубики с разными комбинациями и вбрасывают незаметно для других в игру именно те кубики, которые больше подходят в данный момент.
Из-за большой вероятности раскрытия мошенничества такие кубики нельзя надолго оставлять в игре. Поэтому человек, подбрасывающий и убирающий их, должен действовать быстро и с большой сноровкой. Авторитет в области азартных игр Джон Скарн пишет в своей книге Scarne's Complete Guide to Gambling («Полное пособие по азартным играм Скарна») 1961 года издания: «Жизнь искусного мошенника в игре в кости обычно коротка; уж слишком велика нагрузка для нервной системы».
Существуют и шулерские кости, на которых повторяется только одна грань (как правило, с двумя или пятью точками). Их используют по две или в паре с нормальной костью, чтобы везение мошенника не так бросалось в глаза. Обнаружить их труднее, и иногда они могут оставаться в игре долгое время. Настоящие мастера мошенничества никогда не опустятся до использования совсем уж откровенных методов обмана - например, костей с одними единицами и двойками или таких пар, на которых всегда выпадает 7 или 11 (одна кость с шестерками и двойками, другая — с одними пятерками). Как свидетельствует Скарн, их можно использовать лишь при игре с совсем неопытными партнерами и при ярком искусственном освещении, когда игроки не видят ничего, кроме верхней грани кубика.
Нанесение на кости «неправильного» набора точек — лишь один из методов мошенничества. Помимо этого может искажаться форма костей, так, чтобы они падали чаще на одну из сторон. Это достигается различными способами — выпуклостью некоторых граней, их неравными размерами, разной обработкой поверхностей и т. д. Иногда в кубики заделывают магнит, который реагирует на включение скрытого под столом электромагнита. Лучший метод проверки для обычных костей — многократное бросание их в воду, чтобы убедиться, что сверху оказываются разные грани с примерно одинаковой частотой. Если вам интересно узнать об этом во всех подробностях, рекомендую вам книгу Джона Скарна и Клейтона Росона Scarne on Dice («Скарн об игральных костях») 1968 года выпуска.
Игра в кости была очень популярна в Древней Греции и Риме, особенно среди благородного сословия, а в Средние века с её помощью убивали время и рыцари, и простолюдины. Существовали даже школы по обучению игре в кости. Современный вариант игры, который чаще всего можно увидеть в Соединенных Штатах сегодня, возник примерно в начале 1890-х годов, когда негры из Нового Орлеана и его окрестностей упростили правила сложной английской игры в «хазард». (Кости и сейчас в шутку называют «африканским домино».) После этого игра, точно так же, как джазовая музыка, распространилась сначала вверх по Миссисипи, а потом и по всему континенту. В крупных игорных домах её не признавали вплоть до самого конца XIX столетия. Сегодня это самая динамичная из всех игр в казино. Многие считают, что тот, кто кидает кости, имеет пятидесятипроцентный шанс выиграть. Однако несложно доказать, что на самом деле он несколько ниже. Если быть точным, вероятность выигрыша составляет 244Д95> или 0,493.
Вычисляя вероятность выпадения комбинаций на костях, легко запутаться. В десятой главе последней книги «Гаргантюа и Пантагрюэля» Рабле искатели приключений попадают на остров Жуликов, построенный из двух огромных костяных кубов. «Наш лоцман рассказал нам, — говорит Пантагрюэль, — что эти две белоснежные кубические скалы стали причиной большего количества кораблекрушений, больших потерь людских жизней и имущества, чем... Сцилла и Харибда». Игральные кости часто называют «чертовыми». У Рабле остров Жуликов населен 21 демоном удачи, по одному для каждой комбинации очков на костях — от самого крупного демона, Двойной шестерки, до самого мелкого, Двойной единицы. Диаграмма на рисунке 127 демонстрирует 6x6, или 36, вариантов падения костей. Рассмотрев их, мы видим, что различных комбинаций — 21. С помощью этой основной диаграммы легко подсчитать вероятность выпадения любой суммы, от 2 до 12. Обратите внимание на то, что 7 можно получить шестью различными способами — больше, чем любую другую сумму. Следовательно, вероятность выпадения 7 очков равна 6/зб. или У6. Это наиболее часто выпадающая сумма очков в игре.
Уильям Сароян в коротком рассказе «Два потерянных дня в Канзас-Сити» описывает игрока в кости, пытающегося выбросить 4 очка, «одну из самых трудных комбинаций в мире». Диаграмма подтверждает правоту писателя: труднее всего выбросить 2 и 12, но ни одна из этих сумм не может быть «очком» в игре в кости. Следующие по вероятности — 3 и 11, которые также не могут быть «очком». Самые трудные из используемых комбинаций, таким образом, 4 («Маленький Джо») и 10 («Большой Дик»). Каждая из них может получиться тремя способами, так что вероятность их выпадения -
3/36, ИЛИ У12В подсчете вероятностей в игре в кости путались даже некоторые маститые математики. Лейбниц считал, что 11 и 12 имеют одинаковую вероятность выпадения, так как обе этих суммы получаются лишь при одной комбинации значений на двух костях. Он не учел, что 12 действительно получается лишь при одной комбинации, тогда как 11 может быть составлено пятеркой на первом кубике и шестеркой на втором или же шестеркой на первом и пятеркой на втором. Значит, на самом деле вероятность получить 11 очков в два ра-
за выше, чем 12. В Греции и Риме предпочитали игру с тремя костями, и Платон в 12-й книге своих «Законов» упоминает о том, что самые трудные суммы при такой игре — это 3 и 18. Действительно, только они могут быть выброшены единственным образом (1-1 — 1 и 6 — 6 — 6). При бросании трёх костей общее число комбинаций составляет 6x6x6, или 216, так что вероятность выпадения 3 равна !/2i6- То же самое относится и к 18.
Эти две труднейшие суммы были прекрасно известны и грекам, и римлянам. Греки называли комбинацию из трёх шестерок «Афродитой», а трёх единиц - «псом». В греческой и латинской литературе встречается много упоминаний об этих комбинациях и других реалиях игры в кости. Римский император Клавдий даже написал книгу «Как выиграть в кости», но, к несчастью, она не сохранилась.
^ Вот три простых задачки с костями.
Фокусник, повернувшись спиной, просит кого-нибудь кинуть три стандартные кости и сложить выпавшие значения на верхних гранях. Затем зритель берет любую кость и добавляет к полученной сумме очки на её нижней грани. Потом он вновь бросает одну эту кость и прибавляет к общей сумме выпавшие очки. После этого фокусник первый раз поворачивается и смотрит на кости. Хотя он не знает, какую кость бросали дополнительно, он может определить получившуюся в итоге сумму. Каким образом?
На рис. 128 изображена с трёх сторон одна и та же шулерская кость. Сколько точек на грани, противоположной шестерке? Это задача Аарона Дж. Фридлэнда из книги Puzzles in Math and Logic («Загадки математической логики»), 1970 год.
Рис. 128.
Сколько точек на грани, противоположной шестерке, у этой шулерской кости ?
3. Как нужно промаркировать два кубика, нанеся на каждую из граней любые цифры от 1 до 6 или оставив грань пустой, чтобы при бросании их с равной вероятностью выпадала любая сумма от 1 до 12?
Использование кубика как рандомизирующего инструмента сделало кости популярным литературным символом случайности. Всем знакомо выражение «жребий брошен», приписываемое Юлию Цезарю, якобы сказавшему эти слова, решив пересечь Рубикон. У древних греков была пословица, гласившая, что «кости богов всегда залиты свинцом» (то есть используются для нечестной игры). Центральное положение квантовой механики гласит, что на квантовом уровне все события подчиняются чистой случайности. Поэтому Эйнштейн и говорил, что согласно квантовой механике «Вселенная — это кости, в которые играет Бог». Порой на это возражают, что если это и верно для квантовых процессов, то в человеческой истории превалируют законы причинности. Однако простой мысленный эксперимент способен это опровергнуть. Представьте себе искусственный спутник, на котором размещена водородная бомба. Её сброс запускается щелчком счетчика Гейгера, регистрирующего радиационное излучение. Если момент этого щелчка, как событие квантового уровня, есть результат чистой случайности, тогда эта случайность обуславливает, какая часть Земли будет уничтожена. Так, мы с легкостью совершаем прыжок из квантового микромира к глобальному изменению человеческой истории, что способно привести в ужас философов-детерминистов.
Идея Бога, играющего в кости человеческой историей, нашла мрачно-юмористическое отражение в романе Роберта Кувера ^ The Universal Baseball Association, Inc., J. Henry Waugh, Prop. Дж. Генри Во, чье имя является аллюзией на имя Бога-отца Иеговы, — одинокий бухгалтер, живущий в квартирке над гастрономом. Чтобы скоротать время, он придумывает воображаемый бейсбольный матч, ход которого определяется различными комбинациями очков, выпадающих на трёх игральных костях. (Причем вначале он пользуется костями разных цветов, связывая разные события игры с каждой из 216 комбинаций, но затем, едва не ослепнув в попытках различить цвета при каждом броске, отказывается от разноцветных кубиков и переходит к 56 комбинациям, возможным для трёх обычных костей.) За этим занятием проходит не один месяц, и постепенно Во начинает представлять игроков своей команды реальными людьми, которые в конце концов начинают вести в его голове свою собственную жизнь, становясь в каком-то роде более реальными и постоянными, чем сам Во. Доходит до того, что они начинают сомневаться в существовании Во.
Вы можете вспомнить пьесу Пиранделло «Шесть героев в поисках автора» или ранний роман Унамуно «Туман», в котором персонаж приходит к писателю, протестуя против своей гибели в конце романа и напоминая ему, что, возможно, сам автор — не более чем туманное, непостоянное сновидение какого-нибудь непостижимого игрока в кости дьявола.
ОТВЕТЫ
Фокусник может назвать окончательную сумму, просто прибавив семь к сумме трёх значений на верхних гранях костей. Эта сумма представляет собой сумму трёх этих значений плюс сумму значений на верхней и нижней стороне одной кости. Так как сумма значений двух противоположных граней всегда равна семи, то это очевидно.
Этот фокус — упрощенный вариант фокуса, приведенного в книге Клода Гаспара Баше, посвященной математическим развлечениям и изданной в 1612 году. В варианте Баше нужно подбросить три кости, сложить значения на их верхних гранях, затем выбрать две кости, добавить к общей сумме сумму значений на их нижних гранях, бросить их снова, прибавить к общей сумме сумму значений их верхних граней, затем взять одну из этих костей, прибавить её нижнюю грань, бросить кость и прибавить к общей сумме значение её верхней грани. В этом случае окончательная сумма будет равна сумме верхних граней трёх костей плюс 21.
Ответ на вторую задачу состоит в том, что на такой шулерской кости, показанной с трёх сторон, напротив шестерки должна быть двойка. На рис. 129 показано, как должна выглядеть такая кость, если развернуть все её грани на плоскости.
^ Третья задача взята из книги Д. Бернарда 100 Brain-twisters («Сто головоломок») — сборника оригинальных головоломок, вышедшего в Англии в 1966 году. Если две кости могут упасть одним из 36 способов, а все суммы от 1 до 12 должны выпадать с равной вероятностью,
• • •
Рис. 129.
Ответ на задачу о кости
тогда каждая из этих сумм должна получаться тремя способами. Единственный вариант получить тремя способами 12 очков — это сделать на одной кости одну шестерку, а на другой - три. Единственный вариант получения трёх единиц - одна единица на одной из костей и три пустых стороны на другой. В таком случае задача может иметь лишь одно решение: одна из костей должна быть стандартной, а на другой должно быть три шестерки и три пустых стороны.
Этот метод применим для любого из пяти правильных многогранников. Например, если мы возьмем две икосаэдрические кости, то для того, чтобы на них с равной вероятностью выпадали любые суммы от 1 до 40, одна из костей должна быть обычной (с гранями, несущими от 1 до 20 очков), а на другой должны быть 10 граней с двадцатками и 10 пустых.