Головоломок вишенка в коктейле
| Вид материала | Документы |
- Психологическое сопровождение замещающих семей, 219.46kb.
- Психологическая коррекция агрессивного поведения детей, 219.57kb.
- С. В. Левина Н. А. Задворочнова публичный доклад, 193.66kb.
- Проектный метод в деятельности доу, 187.91kb.
- Проектный метод в деятельности доу, 214.46kb.
- Альтергот Оксана Петровна. Детский сад является юридическим лицом, имеет полный пакет, 211.9kb.
Всё
Забавно, что онтологическая загадка на самом деле очень проста. Её можно выразить всего лишь двумя словами: «Что там?» И ответ будет ещё проще: «Всё».
^ Виллард Ван Орман Кин, «О том, что там».
В первой главе этой книги речь шла о ничто, о нём мне больше нечего сказать, впрочем, как и о чем-нибудь, потому как все, что я знаю о чем-то, уже изложено мной там же, где я говорил ни о чем. Однако осталось ещё кое-что — а именно «всё».
Для начала отметим занятный факт. Кое-что в этом мире, а именно мы с вами, устроены настолько сложно, что способны интересоваться всем на свете. «Что есть человек по природе своей? — спрашивает Паскаль. — Ничто в сравнении с бесконечностью, все в сравнении с ничем, то есть нечто между ничем и всем».
^ В логике и теории множеств «вещи» отображаются кругами Вен-на. На рис. 130 точки внутри окружности а соответствуют людям. Точки внутри окружности b обозначают пернатых тварей. Перекрывание этих кругов, или «пересечение множеств», здесь зачернено. Это означает, что в нем нет членов. Это не что иное, как наш старый знакомец — пустое множество.
^ Пока все ясно. А что можно сказать о точках вне этих двух окружностей?
Очевидно, что они соответствуют объектам, не относящимся ни к с, ни к Ь, то есть не к людям и не к пернатым. Но насколько протяженно это множество? Для прояснения этого вопроса Огастес де Морган придумал выражение «Вселенная дискурса». Это весь спектр объектов, о которых нам известно. Порой оно точно определяется, порой приблизительно предполагается, порой остается полностью неопределенным. В теории множеств оно определяется точно через определение так называемого универсального множества,
или, говоря проше, универсума (Вселенной). Это множество с границами, совпадающими с границами вселенной дискурса. А они могут быть любыми, какими мы пожелаем.
Рассматривая круги Венна а и Ь, мы, по всей видимости, интересуемся лишь живыми существами. Если так, наш универсум будет ограничен этим набором объектов. Однако допустим, что мы захотим расширить его путем добавления третьего множества — всех пишущих машинок, а круг b изменим на множество любых покрытых перьями вещей. Как видно на рис. 131, все три области перекрывания остаются пустыми. Это то же самое пустое множество, однако границы нулевого множества также расширяются. «Ничто» всегда одно, однако дырка в земле — совсем не то же самое, что дырка в сыре.
^ Дополняющим к множеству к будет множество всех элементов универсального множества, не относящихся к к. Отсюда следует, что универсум является дополнительным к пустому множеству.
До каких пределов мы можем расширить универсальное множество, не потеряв способности рассуждать о нем? Это зависит от наших задач. Если мы расширим универсальное множество с рисунка 130 до любых идей, множество пересечения больше не будет пустым, так как мы можем представить себе человека с перьями. Евклидовы теоремы и их доказательства будут иметь смысл, только если ограничить Вселенную дискурса точками на евклидовой плоско
сти или в трёхмерном пространстве. Если мы заключаем, что двенадцать яиц можно поровну разделить только между одним, двумя, тремя, четырьмя, шестью или двенадцатью людьми, значит, мы рассуждаем об универсальном множестве, содержащем целые числа. Джон Венн (изобретатель такой диаграммы) уподобил Вселенную дискурса нашему полю зрения. Это все то, на что мы смотрим. Все, что находится позади нас, мы не замечаем.
Однако мы способны расширить вселенную дискурса невообразимо далеко. Мы способны включить в неё такие абстрактные понятия, как число 2, «пи», комплексные числа, идеальные геометрические фигуры и даже нечто такое, что мы не можем зрительно представить - например гиперкуб или неевклидово пространство. Мы можем говорить о таких универсумах, как «краснота» или «трусость». Мы можем включать в универсум то, что было в прошлом, то, что будет в будущем. Словом, вещи реальные и воображаемые — во всех случаях мы будем способны рассуждать о них. У каждого динозавра была мать. Если на следующей неделе в Чикаго будет дождливо, старая водокачка намокнет. Если бы Шерлок Холмс действительно свалился в Рейхенбахский водопад, он бы погиб.
Давайте расширим наш универсум до множества всех объектов, которые можно описать без логических противоречий. Любое утверждение, которое мы сделаем об этом универсуме, если оно не будет противоречивым, окажется (в определённом смысле) правдой. Противоречивые объекты и утверждения не должны существовать или быть истинными по той простой причине, что противоречие ведет к бессмысленности. Когда философы — например Лейбниц -говорили о «всех возможных мирах», они имели в виду те миры, о которых они могли говорить. Вы вполне можете рассуждать о мире, где люди и пишущие машинки покрыты перьями. Но вы не можете сказать ничего разумного о квадратном треугольнике или целом нечетном числе, которое без остатка делится на два.
Возможно ли расширить Вселенную дискурса до бесконечности и назвать её множеством всех возможных множеств? Нет, так как это невозможно без прихода к противоречию. Георг Кантор доказал, что кардинальное число любого множества (максимально возможное число его элементов) всегда меньше, чем кардинальное число множества всех его подмножеств. Для любого конечного множества это очевидно (если в нем п элементов, то оно должно содержать 2п подмножеств). Но Кантор смог показать, что это также применимо и к бесконечному множеству. Однако если попытаться применить эту теорему ко всему, то мы неизбежно погрязнем в непреодолимых сложностях. Множество всех множеств должно иметь бесконечность, или кардинальность, «максимальный алеф», в противном случае оно уже не будет всем. С другой стороны, оно не может иметь бесконечности максимального алефа, так как кардинальность его подмножеств должна быть ещё выше.
Когда Бертран Рассел впервые столкнулся с доказательством Кантора, что максимального алефа не существует и, следовательно, не может существовать «множества всех множеств», он в это не поверил. В 1901 году он писал, что Кантор «допустил одну незначительную неточность, которую я надеюсь прояснить в одной из будущих своих работ», и что существование максимального алефа «очевидно», так как «если взять все, то прибавлять будет уже нечего». Когда эти заметки были переизданы в книге «Мистицизм и логика» шестнадцать лет спустя, Рассел снабдил их примечанием, в котором каялся в собственной ошибке. («Очевидно» — опасное слово для использования в трудах обо всем.) Именно размышления Рассела об этой ошибке привели его к открытию знаменитого парадокса о множестве всех множеств, которые не являются членами самих себя.
Подводя итог, можно сказать, что, когда математик пытается совершить последний переход от множества к бесконечности, он обнаруживает, что это невозможно. Понятие «Всего» противоречит само себе и, следовательно, не существует!
Однако то, что множество всех множеств не может быть определено в стандартной теории множеств, носящей имя Зермело-Френ-келя, никак не мешает философам и теологам рассуждать обо «Всем», хотя они называют его по-разному: «сущее», «ens», «то, что», «бытие», «абсолют», «господь», «реальность», «дао», «брахман», «дхарма-кайя» и так далее. В это понятие, естественно, должно входить все то, что было, есть и будет, все, что можно вообразить, и всё, что находится за пределами человеческого понимания. Ничто — это тоже часть всего. Если расширить универсум до таких пределов, то придумать что-либо бессмысленное (но не противоречивое), что не может существовать хоть в каком-нибудь смысле, очень трудно. Логик Рэймонд Смаллиан в одном из своих замечательных, но неопубликованных сочинений пересказывает случай из книги Оскара Менделя Chi Ро and the Sorcerer («Чи По и Чародей»). Чародей Бу Фу давал Чи По урок живописи. «Нет, нет! — воскликнул он как-то. — Ты рисуешь только то, что есть. А секрет истинного мастерства в том, чтобы нарисовать то, чего нет!» Удивленный Чи По спросил: «А что такое — то, чего нет?»
Здесь как раз удобно спуститься с высот и заняться более скромной Вселенной — Вселенной современной космологии. Эта наука в её сегодняшнем виде берет начало с утверждения Эйнштейна о том, что Вселенная замкнута, но неограниченна. Если в космосе имеется достаточно массы, наше трёхмерное пространство сворачивается, подобно поверхности сферы. (На самом деле оно становится трёхмерной гиперповерхностью четырёхмерной гиперсферы.) Сейчас мы знаем, что Вселенная расширяется из первичного огненного шара, однако, по-видимому, в ней недостаточно массы для того, чтобы она коллапсировала. Теория неизменного состояния породила массу дискуссий и дала толчок многим важным научным исследованиям. Однако в настоящее время она опровергается такими открытиями, как существование реликтового излучения (которое не объясняется ничем, кроме как последствиями существования того самого первичного огненного сгустка, или «Большого взрыва»).
Пока без ответа остается принципиальный вопрос: есть ли где-нибудь во Вселенной (в чёрных дырах?) достаточное количество «спрятанного» вещества, масса которого в конце концов остановит расширение Вселенной и приведет к началу сжатия. Если это произойдет, то это сжатие превратится в неизбежный коллапс, и специалисты не видят, как предотвратить сворачивание Вселенной в сингулярность на поверхности огромной чёрной дыры - того жуткого места, где материя перестает существовать и перестают действовать любые известные законы физики. (Замечательный «портрет» чёрной дыры можно увидеть на рис. 2.) Исчезнет ли тогда Вселенная, подобно той самой птице, которая летала задом наперед сужающимися кругами, пока не исчезла в собственном гнезде? Попадает ли в конечном итоге все, оказавшееся в чёрной дыре, через какую-нибудь «белую дыру» в совсем другое пространство? Или же Вселенная все-таки сможет избежать сингулярности и произойдет ещё один Большой взрыв? Если такое возможно, значит, наша Вселенная представляет собой своего рода «маятник», попеременно то расширяется, то сжимается.
Среди физиков, занимающихся построением моделей Вселенной, ближе всех ко всему подошел Джон Арчибальд Уилер из Прин-стонского университета. В его безумном представлении наша Вселенная - это одна из бесконечного множества других вселенных, которые как будто находятся в некоем странном «месте», называемом «суперпространством».
Чтобы хотя бы смутно осознать, что подразумевает Уилер под «суперпространством», можно начать с упрощенной вселенной, состоящей из отрезка, на котором живут две частицы — черная и серая (см. рис. 132, сверху). Отрезок имеет одно измерение, но частицы могут двигаться по нему туда-сюда (мы позволим им проходить сквозь друг друга), создавая двумерный космос: в нем будет одно пространственное и одно временное измерение.
Историю жизни частиц можно изобразить по-разному. Например, их можно нарисовать в виде двух волнистых линий (которые в теории относительности называются мировыми линиями) на двумерном пространственно-временном графике (см. рис. 132, внизу). Где была черная частица в момент времени к? Найдем точку к на
временной оси, переместимся по горизонтали к мировой линии чёрной частицы, а затем, спустившись вниз, определим её пространственную координату на другой оси.
Если вы хотите своими глазами увидеть, как живописно может быть отражена история нашей зачаточной вселенной с помощью двух мировых линий, возьмите листок картона и прорежьте в нем линию. Она должна быть равна по длине отрезку-«вселенной», а по ширине — частице. Приложите картон к чертежу так, чтобы видеть через прорезь вселенную. Медленно двигайте его вверх. Сквозь прорезь вы увидите движущееся изображение двух частиц. Они зарождаются в центре своего космоса и начинают свой танец, двигаясь вверх и вниз, пока не достигают пределов, после чего опускаются обратно к центру и исчезают в чёрной дыре.
В кинематике применяется сходный метод: изменения в системе частиц отображаются на диаграмме как движение одной частицы в пространстве более высокого порядка, которое называется «конфигурационным». Как проделать то же самое с нашими двумя частицами? Наше пространство конфигурации снова окажется двумерным, но теперь обе координаты будут пространственными. Каждой из частиц придадим свою координату (см. рис. 133). Положения частиц можно представить точками, которые называются «ансамблем конфигураций». По мере передвижения этих точек их координаты по обеим осям меняются. Одна ось определяет положение чёрной частицы, другая — серой. Траектория, пройденная движущейся точкой, соответствует изменениям взаимного расположения частиц и наоборот. История всей системы из двух частиц теперь определяется единственной траекторией. Данная диаграмма не является пространственно-временной (время добавляется потом, как дополнительный параметр). Линия движения не может ветвиться, так как это обозначало бы деление одной частицы на две.
Однако она может пересекать сама себя. Если система обладает периодичностью, линия будет представлять собой замкнутую кривую. Если мы хотим превратить эту диаграмму в пространственно-временную, то должны добавить координату времени и наблюдать за траекторией передвижения точки уже в трёх координатах.
Эта методика в общем виде применима к любой системе из N частиц в пространстве любой мерности. Допустим, в нашем маленьком прямолинейном космосе существует 100 частиц. У каждой из них - по одной степени свободы, так что наш ансамбль конфигураций будет состоять из 100-мерного пространства. Если наша вселен-
ная — система из 7V частиц на плоскости, то у каждой частицы имеется 2 степени свободы, и конфигурационное пространство в таком случае должно иметь 2N измерений. В трёхмерном космосе у частицы три степени свободы, значит, измерений конфигурационного пространства - 3N. В общем, гиперпространство имеет число измерений, равное сумме степеней свободы всей системы. При добавлении к диаграмме временной координаты она превращается в пространственно-временной график.
К несчастью, положение точки в конфигурационном пространстве в конкретный момент не позволяет нам узнать что-либо о прошлом системы или предсказать её будущее. Работая в области молекулярной термодинамики, Д. В. Гиббс обнаружил немного более сложное пространство, в котором можно было изобразить систему молекул таким образом, чтобы продемонстрировать детерминизм. Он добился этого, описав каждую молекулу шестью координатами: три из них определяли положение частицы, а ещё три — импульсы. Движение в так называемом «фазовом пространстве» (по Гиббсу) с числом измерений, равным 6 N, будет описывать историю жизни N частиц. Причем теперь положение точки уже дает нам достаточно информации для того, чтобы в принципе реконструировать полную историю системы, а также предсказать её будущее. Так же как и в ранее описанном случае, траектории не могут ветвиться, но на этот раз они не могут и пересекаться. Самопересечение на траектории означало бы, что достичь определённого состояния можно двумя путями, из двух других состояний, а также перейти из него в два других состояния. Но обе эти возможности исключаются положением, что позиция и совокупность импульсов частицы (к которым относится и вектор движения) полностью определяют каждое следующее её состояние. Однако кривая может быть замкнутой — скажем, в случае периодичности движения.
Наша Вселенная, обладающая неевклидовым пространством-временем и квантовыми неопределённостями, не может быть отображена в таком простом виде, как фазовое пространство. Но Уилеру удалось найти способ сделать это в суперпространстве. Точно так же, как и пространство конфигурации, суперпространство не имеет временной координаты, но обладает бесконечным числом измерений. Единичная точка в суперпространстве обладает бесконечным числом координат, которые полностью определяют структуру нашего неевклидова трёхмерного пространства, его размеры, расположение всех частиц и структуру всех полей (в том числе и кривизну самого космоса) в каждой точке. По мере движения суперточки меняющееся число её координат описывает изменение состояния нашей Вселенной, учитывая и субъективность взгляда наблюдателя, которая выражается через релятивистские и вероятностные параметры квантовой механики. Таким образом, траектория движения суперточки описывает всю историю нашей Вселенной!
Но когда на подмостках суперпространства разыгрывается представление существования нашего космоса, бесчисленное множество других суперточек, являющихся отображениями других трёхмерных вселенных, проходят по своим путям. Близкие друг к другу суперточки соответствуют близким по качествам вселенным — тем самым «параллельным мирам», впервые появившимся в научной фантастике благодаря перу Герберта Уэллса («Люди как боги»). Такие параллельные вселенные, отрезанные друг от друга ввиду того, что они занимают различные слои суперпространства, постоянно «выбрасываются» в пространство-время через сингулярность, переживают свой расцвет и исчезают в той же сингулярности, возвращаясь в абсолютную вневременную «прегеометрию», из которой вышли.
При рождении такого космоса ряд случайных факторов порождает особую комбинацию логически непротиворечивых (Лейбниц называет их со-возможными) частиц, констант и законов. Для того чтобы в такой структуре стало возможным возникновение живой материи, она должна пройти крайне тонкую настройку. Если изменить какую-нибудь из констант тонкой структуры вселенной хотя бы на йоту, существование Солнца, подобного нашему, станет невозможным. Почему же мы все-таки существуем? Благодаря такому набору случайных факторов, который породил структуру космоса, допускающую это. Бесконечное множество иных миров, настроенных чуть иначе, рождаются и гибнут, не имея в своей структуре никого, кто смог бы за этим наблюдать.
Эти «бессмысленные» вселенные (бессмысленные потому, что не содержат в себе наблюдающих составляющих) существуют лишь в условном смысле своей логической допустимости. Епископ Беркли говорил, что существовать — значит быть воспринимаемым. Чарлз Сандерс Пирс утверждал, что существование вообще понятие относительное. Опираясь на мнение этих философов, Уилер пришел к выводу, что вселенная существует в истинном смысле этого слова лишь тогда, когда внутри неё развивается некое самосознание, где сама вселенная и те, кто воспринимает её, существуют в неразрывной связи друг с другом. «Ни райские кущи, ни земная юдоль не обретают реальности без человеческого разума», говоря словами Беркли.
Насколько я понимаю, Уилер все же не пошел за Беркли до конца — до утверждения о том, что материальный мир берет начало в восприятии Бога. Согласно Беркли, бытие Божие доказывается тем фактом, что дерево очевидно существует, даже когда на него никто не смотрит. Представьте, что Господь провел множество космических экспериментов, пока наконец не подобрал такую модель, которая допускала бы существование жизни. А что стало с остальными мирами? Не остались ли они где-то «там», где только верховное божество может наблюдать за ними? Чтобы подтвердить их существование, вовсе не требуется наличие таких нелепых созданий, как мы с вами, в качестве наблюдающих и участвующих в процессе этого существования.
Уилер, по всей видимости, упорно пытался отмежеваться от такой точки зрения. Он утверждает, что квантовая механика требует наличия внутри вселенной собственного наблюдающего субъекта, вне зависимости от того, существует ли какой-нибудь наблюдатель вне её или нет. По одной из его метафор — вселенная без собственного наблюдателя все равно что мотор без электрического тока. Космос начинает развиваться только тогда, когда в нем «гарантировано появление и существование на протяжении какого-то промежутка времени жизни, сознания и позиции наблюдения». Вселенная и её внутренние наблюдатели не могут существовать друг без друга, даже если существование наблюдателей является лишь потенциально возможным событием. Это порождает необычный вопрос: насколько прочно существование вселенной до момента появления первых форм жизни? Существует ли она в полном смысле этого слова с самого момента Большого взрыва или же её существование обретает прочность лишь по мере появления и усложнения форм живой материи? И насколько истинно существование какой-нибудь значительно удаленной от Млечного пути галактики, в которой, возможно, нет своих внутренних наблюдателей? Существует ли она только в том случае, если становится объектом наблюдений из другой галактики? Или же вселенная настолько чувствительна и внутренне целостна, что для существования всех её объектов на протяжении всего цикла её жизни достаточно кратчайшего акта наблюдения, совершаемого в любой момент?
Уильям Джеймс является автором знаменитой сентенции о тысяче бобов, брошенных на стол. Хотя они падают хаотично, мы можем увидеть в их расположении геометрические структуры. Существование, пишет Джеймс, может быть лишь порядком, который наше сознание выделяет из бесструктурного моря случайностей. Это кажется родственным взглядам Уилера. На самом деле нет ничего, кроме процесса, для которого необходимо наше сознание. Мы — те, кто мы есть не потому, что таков мир, а мир таков потому, что мы — те, кто мы есть.
Когда теория относительности только появилась, многие ученые и философы религиозной направленности утверждали, что новая теория поддерживает такой взгляд. Джеймс Джине говорит, что феномен природы «обусловлен не механической вселенной вне нас, существующей от нас независимо, а нами самими и нашим опытом». Артур Стенли Эддингтон пишет, что физический мир — «это лишь абстракция, не обладающая никакой самостоятельной сущностью вне связи с нашим сознанием». Большинство современных физиков не согласятся с тем, что теория относительности поддерживает это направление идеализма. Сам Эйнштейн горячо это отрицал. То, что величины расстояния, времени и массы зависят от точки взгляда наблюдателя, никоим образом не подрывает реальности пространственно-временной структуры, существующей независимо от любых наблюдений.
Не подрывает этой реальности и квантовая механика. Какое отношение к независимому существованию космической структуры имеет статистический характер квантовых законов, которые прило-жимы к этой структуре в любой точке наблюдения? Если наблюдение изменяет функции состояния системы частиц, это вовсе не означает, что «там» на самом деле нет ничего, что может подвергаться этим изменениям. Эйнштейн мог заметить в квантовой механике предпосылки для подобной занятной редукции физики до психологии - однако мало кто из сегодняшних физиков согласится с этим.
Как бы то ни было, вера в существование внешнего мира, не зависящего от человеческого существования, однако познаваемого нами лишь частично, это определённо наиболее приемлемая и понятная точка зрения, которой придерживаются сегодня большинство ученых и философов. Как я полагаю, отрицание этой парадигмы не способно ничего добавить к ценности теистического или пантеистического мировоззрения. А зачем лезть в дебри малопонятной терминологии, если от этого нет никакой выгоды?
Однако мы не станем здесь обсуждать эти ставшие традиционными вопросы. Лучше я расскажу вам о загадочной книжечке с названием «Эврика: стихотворение в прозе», написанной Эдгаром Алланом По незадолго до смерти. Эдгар По был убежден, что это вершина его творчества. «То, о чем я пишу, — пишет он в письме к ДРУГУ» — в должное время произведет революцию в мире Физики и Метафизики. Я говорю об этом спокойно — но я говорю об этом». В другом письме он пишет: «Теперь бессмысленно со мной спорить, я умираю. У меня не осталось никакого желания жить после того, как я написал "Эврику". Больше мне стремиться не к чему».
Эдгар По заказал своему издателю Джорджу Патнэму напечатать произведение тиражом 50 ООО экземпляров. Патнэм выплатил По четырнадцать долларов аванса за его «памфлет» и... напечатал 500 экземпляров. Отзывы критиков были по преимуществу неодобрительные. До сего дня эту книгу, кажется, лишь во Франции воспринимают всерьез. Однако в свете современных космологических дебатов в прозаической поэме Э. По нашему взгляду открывается панорамная картина, по сути представляющая собой богословскую версию космологии Уилера! Как указывает Бивер, «Я» в «Стране грез» («Dreamland») Эдгара По превращается в саму Вселенную:
Дорогой темной, одинокой, Где бродят демоны да бесы, Пришел я в чудный край Видений, Где справедливо правит Ночь Я шел давно из диких мест, Но сей страны достиг недавно Вне пространства — вне времени
Вселенная началась, пишет Эдгар По, когда Господь создал «первичную частицу» из ничего. Из неё во всех направлениях начала «излучаться» материя в форме «невыразимо огромного, однако конечного числа невообразимо, однако не бесконечно малых атомов». По мере расширения Вселенной постепенно возрастало влияние силы тяжести, и благодаря ей материя сформировала звезды и планеты. Постепенно сила тяжести тормозит расширение Вселенной, и она начинает сжиматься, пока не вернется снова в ничто. Последний «шар шаров мгновенно исчезнет» (что бы сказал По, узнай он о чёрных дырах?!), и Господь нашей Вселенной останется «всем во всем».
В видении По каждая вселенная — предмет наблюдения своего божества, которое смотрит на неё, подобно тому, как мы смотрели на танец двух частиц в нашем одномерном мире. Но есть и другие боги, которые наблюдают за другими вселенными. Они «невероятно удалены» одна от другой. Между ними невозможна никакая связь. В каждой из них, говорит По, имеется свой «новый и, возможно, совершенно отличный от других ряд условий». Божества у По свидетельствуют о том, что эти условия не являются продуктом случайного распределения. Структура мира на самом тонком уровне именно такова, потому что наш Господь этого пожелал. В суперкосмосе По повторяющаяся череда рождений и смертей бесконечного числа вселенных — это процесс, идущий «вечность и вечность; новая Вселенная появляется и превращается в ничто с каждым ударом Божественного Сердца».
^ Непонятно, что имел в виду По, говоря о «Божественном Сердце» - Бога нашей Вселенной или божество высшего уровня, наблю
дающего за всеми нижестоящими богами откуда-то из суперкосмоса? Согласно индуизму, за Брамой-создателем стоит Брахман, который настолько непостижим и чужд человеку, что все, что мы можем сказать о нём, — это Neti neti («не то и не то»). А наблюдает ли за Брахманом ещё один, «супер-супер-супер» наблюдатель? И можем ли мы определить наивысший уровень суперпространства, на котором обитает Последний наблюдатель, или же его существование исключается противоречием в стандартной теории множеств, касающимся максимального алефа?
^ Этот величайший вопрос задается в последней строфе Гимна творения «Ригведы». Упоминающийся здесь «Он» — это безличный Единый, стоящий надо всеми богами:
Знамо только божеству, Что сверху взирает на всех, Сотворен наш мир иль нет, Но кто взирает на него, Тогда не знает уж никто!
Кажется, здесь мы прикасаемся - а может, так и остаемся бесконечно далеко — к краешку Всего. Последнее слово я предоставляю К. С. Льюису: «Все — это предмет, о котором много не скажешь».
Постскриптум
^ 1 И 2. НИЧТО И ЕЩЁ БОЛЬШЕ ШУМА ИЗ НИЧЕГО
Во время подготовки первого издания этой книги редактор поинтересовалась у меня, нужно ли получать разрешение Музея современного искусства для того, чтобы поместить в книге иллюстрацию с репродукцией абсолютно чёрной картины Эда Рейнхардта (см. рис. 2). Я заверил её, что в этом нет необходимости. Дальше, как я и предполагал, на каком-то этапе выпуска мне все-таки задали вопрос об отсутствующей иллюстрации под номером 3. Кстати, данное изображение нуль-графа было воспроизведено (без выражения признательности автору) в «Математическом словаре». (См. Dictionary of Mathematics под редакцией Э. Дж. Воровски и Дж. М. Борвейна, Лондон, 1989, рис. 257).
Размышляя над недавней вспышкой интереса к так называемому «антропному принципу» (об этом см. главу 31 моей книги ^ Whys and Wherefores, изд-во Университета Чикаго, 1989), я вдруг понял, что могу ответить на самый последний вопрос: почему существует нечто, а не ничто? Да потому, что если бы здесь ничего не было, то не было бы и нас, задающихся этим вопросом! Я полагаю, это вполне ясно демонстрирует абсурдность антропного принципа. Не то чтобы он в корне неверен, но он ничего не прибавляет к решению любых философских или естественнонаучных проблем. Датский поэт Пит Хейн в одном из своих груков выражает это так:
Величие нашей Вселенной Для большинства несомненно. Но если, не слишком мудрствуя, Рассмотреть вопрос непредвзято, Не заметить её отсутствия Тоже было бы трудновато.
^ Л. Барнес, чиновник органов юстиции из Миссури, в своем письме писал мне, что в большом теннисе английским словом «love»
(любовь) обозначают нулевой счет. Это навело меня на мысль, идея нуля может оказаться даже более интересна, чем думают. Он же прислал мне четверостишие из местной газеты Сент-Льюиса Post-Dispatch от 7 июля 1967 года:
Создав мир математики, постигли величие идеи ни-о-чем.
Некоторых читателей заинтриговал эпиграф к первой главе. Это третье предложение из статьи «Ничто», написанной Хитом для «Философской энциклопедии». Как и Льюис Кэрролл во второй книге об Алисе, Хит использует понятие «Никто» в качестве имени. Вот как выглядит эта фраза в контексте всего абзаца:
НИЧТО — внушающая благоговение, однако совершенно неудобоваримая идея, высоко ценимая писателями, имеющими склонность к мистицизму или экзистенциализму. В то же время у большинства прочих людей она вызывает чувство беспокойства, тошноту или настоящую панику. Если вы спросите: а кто же знает, что с ним делать? — я отвечу вам: Никто (ему положено). Однако и обычный человек, как правило, без особого труда справляется с задачей говорить, видеть, слышать или делать ничто. Для философов здесь все гораздо сложнее. С тех самых пор, как Парменид заявил, что невозможно говорить о том, чего нет (тем самым тут же вступив в противоречие с самим собой), а после этого открыл для себя мир, в котором происходит только ничто, возобладало впечатление, сохраняющееся и поныне, что в данном вопросе слишком трудно выбрать верный путь между смыслом и бессмыслицей. Поэтому практически всеми негласно признается, что чем меньше об этом рассуждать, тем лучше.
^ 4. КУРЬЕЗЫ ФАКТОРИАЛОВ
Может ли факториал, больший, чем 1!, быть квадратом какого-либо числа? Может ли сумма первых т факториалов (за исключением т = 1 и 3) быть квадратом? (Первым в ряду мы считаем 0!.) Простые доказательства невозможности обоих положений можно найти в заметках Дэвида Сильвермэна, приведенных в библиографии.
По горизонтали
1. « страшного!»
6. особенного.
Наряд леди Годи вы
Антоним чего-либо
- Как дела?
Nichts (нем.)
Nothing (англ.)
Ноль
Укон
23 не сказать.
Не нечто.
Naught (англ.)
Содержание «пустой» речи
Меон
«Сухая» ничья
NIGHT ON (англ., анаграмма)
32. Nil (англ., лат.)
33. не достичь
| 35. | Rien (фр.) | | |
| 36. | Ответ на вопрос «Что делаешь?» | 11. | Цена вещи, приобретенной даром |
| 37. | Яйцо петуха | 12. | Текущий счёт банкрота |
| 41. | не даётся так дешево и не | 13. | Nihil (лат.) |
| | ценится так дорого, как вежливость. | 14. | «... и . кроме правды». |
| 43. | Что может помнить человек, потерявший | 20. | Крайняя степень незначительности |
| | память | 22. | zilch (амер., сленг) |
| 44. | Много Luv/иа из | 25. | «Мудрые не говорят в опасные |
| 45. | Отсутствие чего-либо | | времена» (Джон Селден) |
| 46. | Нулевое количество чего-либо | 26. | Содержимое вакуума |
| 47. | не выдумывайте! | 27. | жество |
| 48. | Является ли священным? | 28. | Что может двигаться быстрее света |
| 49. | Что есть в жизни американца определён- | 29. | Niente (ит.) |
| | ного, кроме смерти и уплаты налогов? | 31. | п - п = п. Найти п. |
| | | 33. | Лучше, чем |
| По | вертикали: | 35. | «Новое платье» короля |
| 1. | Что более увлекательное, чем игры? | 37. | не произошло |
| cn | (12/3)-22 | 38. | У меня нет. |
| 3. | не вечно под луной | 39. | То, чего не существует |
| 4. | Спасибо за ! | 40. | Не оставляйте врагу |
| 5. | Содержимое пустого множества | 42. | Вот это: |
| 6. | 0 | 45. | Что нужно вписать в ячейки этого кросс- |
| 7. | Середина бублика | | ворда. |
| со | Всё или | | |
| 9. | . заслуживающего внимания | © 1979 PSC Games Limited Partnership | |
| 10. | Суммарный счёт игроков в игре с нулевой | | |
суммой
Рис. 135.
Этот кроссворд, составленный Уиллом Шортцем, был опубликован в весеннем выпуске 1979 года журнала Games в качестве первоапрельской шутки. Поскольку ответом на все вопросы кроссворда будет «ничего», верное решение — оставить все клетки пустыми.
^ Дуглас Хофштадтер в своем письме интересуется основанием такой любопытной последовательности: 0, 1,2, 720!,... Ответ: 0, 1!, 2!!, 3!!!,...
Густав Дж. Симмонс в заметке, также упомянутой в разделе библиографии, предполагает, что 3!, 4!, 5! и 6! — единственные четыре факториала, равные произведениям трёх последовательных цифр. (Эти тройки -1x2x3, 2x3x4, 4х5х6и8х9х 10.) Насколько я знаю, это предположение остается неподтвержденным.
^ Чарльз У. Тригг в своей статье задает следующую задачу. Единственное нечетное п, факториал которого состоит из п цифр, — это 1. Какое нечетное п имеет факториал, в котором 2п цифр? Единственный ответ — 267.
Дин Хаффман видоизменил для своей рождественской открытки дерево, изображенное на рис. 10 (для 105!), расставив последние 25 нулей в пять рядов по пять цифр, которые составили ствол дерева.
^ Джозеф Мадахи сообщил мне, что 450! называют факториалом Шахерезады, так как в нем 1001 знак.
Я ранее упоминал о том, что неизвестно, конечно ли множество простых чисел, равных факториалу плюс 1. Семнадцать из них известны: этой = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872 и 1477. Последнее из соответствующих простых чисел, 1477! + 1, содержит 4042 знака.
Также неизвестно, конечно ли множество простых чисел типа «факториал минус 1», найдены 15 из них: для п = 3,4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 379 и 469. Последнее из простых чисел соответствующего ряда, 469! — 1, состоит из 1051 знака. За эти сведения я благодарен Самуэлю Йетсу, одному из самых замечательнейших американских энтузиастов-математиков нашего времени.
^ 5. ВИШЕНКА И ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
Прорыв в деле решения задачи Лэнгфорда был достигнут двумя японскими математиками из Технического колледжа Мияги. Така-нои Хаясака и Садао Сайто использовали особый калькулятор, чтобы найти четверки, составляющие лэнгфордовские последовательности. Они нашли три таких последовательности, каждая длиной 4 х 24 = 96 знаков. Они доказали, что минимальное значение п (числа четверок) равно 24. Три последовательности приведены в их статье Langford Sequences: A Progress Report в Mathematical Gazette, вып.
63, декабрь 1979. В том же самом году они опубликовали результаты компьютерного поиска для пятерок и шестерок (при п равном соответственно 24 и 21). Решений найдено не было.
В 1980 году в колледже Льюиса - Кларка Джон Миллер завершил компьютерный поиск по оригинальной задаче Лэнгфорда для пар (дублетов), начиная с п = 15. Он сообщил, что нашел 39 809 640 цепочек, исключая последовательности в обратном порядке. Впоследствии, изучая вариант Никерсона, он нашел 227 968 решений для п = 12 и 1 520 280 решений для п = 13.
Когда я писал о том, что Юджин Левин нашел только одно решение для троек при п = 9, я не знал о том, что Миллер произвел утомительный компьютерный поиск, в результате которого получил три решения для п = 9:
1916182 1912182 1819152
57269258476354938743 46279458634753968357 67285296475384639743
^ Ещё один подобный поиск Миллера дал пять решений для троек при п = 10:
1 10 1 6 1 7935863 10 7539684572 10 429824 1 10 1214297248 10 5647935863 10 753968 4 10 1714189347 10 3568397526 10 285296 81 10 1319638473 10 6495874625 10 29725 131 10 1349638457 10 6495827625 10 2987
Последняя статья, посвященная общей задаче, Exponential Lower Bounds for the Numbers of Skolem and Extremal Langford Sequences, Яро-мира Абрама, появилась в Ars Combinatoria, вып. 22, 1986.
^ 6. ДВОЙНЫЕ АКРОСТИХИ
Э. Росс Эклер в своей статье в журнале Word Ways в 1986 году поместил отчет о своем открытии акростиха, появившегося раньше процитированного в главе о Генри Дьюдени и датированного 1856 годом. В выпуске 1852 года Family Friend Эклер нашел две словесные головоломки, которые явно представляют собой двойной и тройной акростихи.
^ 7. ИГРАЛЬНЫЕ КАРТЫ
Рудольф Ондрейка подтвердил мое утверждение о том, что выиграть связанное с покером пари с 25 выбранными случайно картами действительно можно с большой вероятностью. Он перемешал колоду, сдал себе 100 раз по 25 карт и обнаружил, что может сложить из них покерные комбинации в 986 случаях. Он оценил возможность выигрыша в 98—99%. Было бы любопытно составить компьютерную программу, чтобы подсчитать точную вероятность.
^ 8. АРИФМЕТИКА НА ПАЛЬЦАХ
Джеймс Альберт Линдон жил в английском городке Эддлстоуне, где вместе с сестрой держал, по его собственному выражению, «убогий магазинчик подарков». Он умер в 1979 году в возрасте 65 лет, практически в нищете, слепоте и безвестности. Хотя мы никогда не встречались, мне действительно не хватает его писем и тех нигде не публиковавшихся стихов и головоломок, которые он присылал мне в них. Его юмористические стихи можно было бы собрать у его друзей и составить прекрасную книгу - только кто возьмется её напечатать?
^ 9.ЛЕНТЫ МЁБИУСА
Лоррэйн Лэрисон, профессор биологии из университета Массачусетса, привлекла мое внимание к противоречию, о котором я раньше не знал. Есть некоторые свидетельства о том, что Д. Б. Листинг, один из пионеров топологии, изучал ленту Мёбиуса ещё за несколько лет до того, как появилась статья Мёбиуса 1865 года, в ко-
торой он излагал свои результаты изучения этой поверхности. Она цитирует статью Invitation to Combinatorial Theory M. Фреше и К. Фана 1967 года.
Канадское Министерство охраны окружающей среды в 1984 году сделало ленту Мёбиуса своим логотипом, символизирующим вторичную переработку материалов. Как отмечено в их пресс-релизе: «Опрошенные граждане и представители перерабатывающей промышленности всецело поддержали выбор ленты Мёбиуса в качестве канадского символа безотходных технологий». Национальные предприятия, использующие в производстве своей продукции вторичное сырье, стали помещать этот символ на её упаковке. На логотипе лента разделена на три участка, как показано ниже.
Номер патента, выданного Ли Де Форесту в 1925 году, был указан неверно (я исключил его из текста). Об этом сообщили мне несколько читателей, но я не смог восстановить источник, из которого был взят этот номер, как не смог и найти верный. Я был бы рад узнать его от кого-то из читателей. В 1986 году мне сказали, что IBM выпускает принтеры, в которых используется лента в виде ленты Мёбиуса, что в два раза увеличивает срок её службы.
^ 11. ПОЛИГЕКСЫ И ПОЛИАБОЛО
По просьбам многих читателей на рис. 136 показаны 22 пентагекса. Мне неизвестны подсчеты полигексов (исключая отражения, но включая фигуры с отверстиями) порядка выше 12, как я уже говорил в дополнении к главе. Так же неизвестны и какие-либо успехи в нахождении формулы для их подсчета.
Эндрю Кларк изучал складывание полиаболо: всеми ли фигурами порядка от 1 до 4 можно замостить плоскость. Кларк обнаружил, что всеми, кроме четырёх пентаболо. В случае с гексаболо 19 исключений. Он также изучал трёхмерные аналоги этих фигур, сложенные из пространственных фигур, состоящих из половинок кубов. Такие половинки, полученные при разрезании кубов по диагонали, складываются так, что по крайней мере одна грань каждого фрагмента соединялась с гранью другого. Таким образом достигается контакт поверхностей определённой площади. Три полукуба, соединенные таким образом всеми возможными способами, дают 12 фигур, из которых можно составлять другие фигуры по тем же правилам.
^ 12. СОВЕРШЕННЫЕ, ДРУЖЕСТВЕННЫЕ, ОБЩИТЕЛЬНЫЕ
Предположение, что не существует нечетных совершенных чисел, продолжает оставаться одной из самых известных неразрешенных задач в теории чисел. Если бы это предположение оказалось неразрешимым, его можно было бы считать верным. Почему? Будь оно неверным, тогда должен был бы существовать опровергающий его пример (то есть нечетное совершенное число), и, таким образом, задачу можно было бы считать решенной.
Свойствам, которыми обладали бы нечетные совершенные числа, если бы они существовали, посвящена обширная литература. Ещё Евклид показал, что нечетное совершенное число должно иметь форму к(рЛт+1), где р — это нечетное простое число, а к — совершенный квадрат.
Однако не все числа, которые можно записать в такой форме (например, 243), являются совершенными. В 1980 году было показано, что нечетное совершенное число должно иметь по меньшей мере 8 различных множителей.
Может ли нечетное совершенное число быть квадратом? Легко доказать, что нет, поскольку, как мы уже говорили раньше, сумма делителей совершенного числа равна 2л, то есть четному числу. Если само число нечетное, то и все его делители нечетные. Если целое число представляет собой квадрат, то у него нечетное число делителей: его квадратный корень плюс пары делителей, меньших и больших, чем квадратный корень. Отсюда, нечетное совершенное число, являющееся квадратом, должно иметь нечетное число нечетных делителей. Однако сумма нечетного числа нечетных чисел не может быть четной.
С момента выхода первого издания этой книги в 1977 году с помощью компьютера было найдено ещё 7 простых мерсенновых чисел. Так что таблица, приведенная на рис. 71, продляется до 31 совершенного числа. Новые совершенные числа показаны на рис. 137.
Любопытный и малоизвестный факт о совершенных числах — то, что любое совершенное число (допустив, что нечетных совершенных чисел не бывает) можно выразить в форме 6х + 28.у, где х и у — неотрицательные целые числа. Обратите внимание на то, что коэффициенты здесь — это два первые совершенные числа. Например, 496 (третье совершенное число) равно (6 х 50) + (28 х 7). Простое доказательство этого факта приведено в статье Sum of Perfect Numbers Рейнальдо Джудиче в журнале Mathematical Magazine, 49, ноябрь 1976, с. 257.
В последнее десятилетие наблюдался настоящий взрыв открытий новых пар дружественных чисел и одновременно новых формул для них. Один из наиболее активных исследователей в этой области — Эл-вин Ли из Фарго, штат Северная Дакота. Он рассказал мне, что единственное действительно значимое достижение в этой области — теорема, представленная немецким математиком Вальтером Борхо в 1972 году в статье, посвященной формуле Табит ибн Курра. Ли первым показал, как с помощью теоремы Борхо можно вывести неограниченное число новых формул. К 1989 году было известно более 55 ООО пар дружественных чисел. Самая большая, найденная Германом те Риелем, содержит 282 знака. Ли рассказал мне, что в Германии найдена ещё большая пара, каждое из чисел в которой содержит более 600 знаков, — но детали мне неизвестны. Проведя утомительное исследование чисел, меньших 10 ООО ООО ООО, те Риель нашел 1427 пар.
Многие из предположений за это время оказались доказанными или опровергнутыми. Одно из самых интересных доказательств — что сумма чисел, обратных всем дружественным числам, сходится, то есть ряд имеет ограниченную сумму. Долгое время предполагалось, что каждое нечетное дружественное число является кратным 3, но это предположение было опровергнуто. То же самое произошло и с моим вторым предположением о том, что сумма каждой четной дружественной пары равна 0 или 7 (по модулю 9). В 1984 году те Риель нашел два примера, опровергающих это. Меньший из этих двух примеров - пара 967 947 856 и 1 031 796 176. Сумма этих пар равна 3 (по модулю 9).
В 1988 году двое математиков сообщили, что предположение о том, что любое нечетное дружественное число является кратным 3, также неверно. Авторы приводят 15 примеров, опровергающих это, самый маленький из которых - пара д(140453)(85857199) и я(56099)(214955207), где а = 54 х 73 х 113 х 132 х 172 х 19 х 612 х 97 х 307. Возможно, существуют и меньшие примеры. Существуют ли нечетные дружественные пары, в которых только одно число делится на 3, остается недоказанным.
^ Остаются нерешенными два важных вопроса, касающихся дружественных чисел. Существует ли «толпа»? Конечно ли множество дружественных пар?
Мерсенновы числа не следует путать с простыми числами Ферма, которые имеют форму ^ 2" + 1. Известно всего 5 таких чисел (п = 2°, 21, 22, 23, 24), и неизвестно, конечно ли это множество. Ферма предположил, что если такое число — простое, то п является степенью двойки. Его предположение о том, что числа, записываемые в такой форме, обязательно будут простыми, если п — степень двойки, опровергается при п = 32. В 1988 самым маленьким непроверенным таким числом было (2 в степени 220) минус 1, но доказано, что это не простое число.
| 25 | 221700^221701 _ | 1) | 29 | 2110502^240503 _ | О |
| 26 | 223208^23209 _ | D | 30 | 2132048^2132049 _ | 1) |
| 27 | 244496^44497 _ | 1) | 31 | 2216090^216091 _ | 1) |
| 28 | 286242^86243 _ | 1) | | | |
Рис. 137.
Совершенные числа, найденные с 1977года. Числа в скобках — мерсенновы простые числа. 29-е мерсенново число, найденное в 1988году, оказалось меньшим, чем следующие два, найденные раньше. Другие мерсенновы числа и соответствующие им совершенные, возможно, ещё попадут между известными.
^ 13. ПОЛИОМИНО И СПРЯМЛЕНИЕ
Нерешенные задачи на спрямление, упомянутые в главе, относящиеся к гексамино и гептамино, изображенным на рис. 81 справа, были разрешены в 1987 году Карлом Дальке, кибернетиком из AT&T Bell Laboratories в Нейпервилле, штат Иллинойс.
Первым делом Дальке попробовал доказать, что оба спрямления невозможны. Ему это не удалось, и тогда он предпринял систематический компьютерный поиск наименьшего прямоугольника, который, возможно, может быть составлен из повторений каждой фигуры. О его успехе сообщил Иварс Петерсон в Science News, вып. 132 от 14 ноября 1987, с. 132.
Соломон Голомб также работал над обеими этими задачами. Он обнаружил, что каждая фигура может при бесконечном повторении складываться в бесконечную полу-ленту (тянущуюся бесконечно в одном направлении). Он также обнаружил, что любая из этих фигур при повторении может сложиться в прямоугольник с отверстием, равным единичной фигуре-части. «Я был удивлен, — сообщил он изданию Science News, когда ему сообщили о решении, найденном Дальке. - Множество умнейших людей работали над этим. Это при-мечательнейшее достижение».
На самом деле честь первооткрывателя способа спрямления гептамино должна принадлежать новозеландцу Карлу Шереру. Он поставил такую задачу в Journal of Recreational Mathematics, вып. 14, № 1, 1981/82 год, с. 64. Шерер нашел способ спрямления гептамино в прямоугольник размером 16 х 42 — больший, чем прямоугольник Дальке, размеры которого составляли 21 х 26. Так как никто из читателей не смог решить заданной Шерером задачи, публикация его открытия состоялась значительно позже. См. вып. 21, № 3 упомянутого журнала за 1989 год.
Дальке поместил две коротких заметки в ^ Journal of Combinatorial Theory, серия А, май 1989. Первая носила название The Y-Hexomino Has Order 92 (с. 125—126), и в ней автор утверждал, что наименьший прямоугольник, который может быть выложен гексамино, имеет размеры 23 х 24. Он состоит из 92 отдельных гексамино - это самое большое число для составления минимальной по размерам фигуры из любых гексамино. Другая статья, A Heptomino of Order 76 (с. 127-128), сообщала о том, что прямоугольник размером 19 х 28 — наименьшее решение для гептамино. Он состоит из 76 повторений, что на 2 меньше, чем в решении, которое Дальке нашел раньше и которое было опубликовано в Science News. Два наименьших прямоугольника показаны на рис. 138.
^ В статье Polyminoes Which Tile Rectangles в Journal of Combinatorial Theory, серия А (май 1989), Соломон Голомб сообщает о некоторых результатах по поводу того, что я буду называть порядком спрямления (ПС) полиомино. ПС - это наименьшее число реплик, которое составляет прямоугольник. Если само полиомино является прямоугольником (и только в этом случае), его ПС составляет 1. (Для полиомино, из которого нельзя составить прямоугольник, ПС не определяется.) Голомб описывает условия, при которых полиомино имеет ПС 2 и 4, и показывает, что существует неограниченное число полиомино с ПС 2, а также с любым ПС, кратным 4.
Голомб перечисляет множество пока не разрешенных задач. Например, известно только по одному примеру полиомино с ПС 10 и 18. Существуют ли полиомино со всеми четными ПС? Главный нерешенный вопрос — есть ли такие полиомино, кроме полиомино с ПС 1, которые имели бы нечетный ПС? Существование полиомино с небольшими нечетными ПС, например 3 или 5, «представляется маловероятным». При этом Голомб не находит причин, по которым не могут существовать полиомино с большим нечетным ПС.
Эдвард де Боно изобрел и запатентовал простую, но очень изящную игру для двоих, в которую играют на поле 4 х 4 с двумя L-тетра-мино и двумя мономино (одиночными квадратами). Правила игры изложены в книге The Five-Day Course of Thinking издательства Pelican.
^ Об этой игре де Боно пишет также в британском ежемесячнике Games and Puzzles (ноябрь 1974). Эта игра получила название «L-game», она описана также в книге Brain Games Дэвида Притчарда 1982 года издания и проанализирована в первом выпуске Winning Ways 1982 года Эл-вином Берлекампом, Джоном Конвеем и Ричардом Гаем.
Карл Шерер в статье L-Play is a Draw в Journal of Recreational Mathematics, вып. 12, № 1,1979—80, доказывает, что при условии, что оба игрока используют рациональную тактику, игра всегда сводится вничью. Эта игра продавалась в США фирмой JABO, Inc., а в Англии — Just Games.
^ 15. ДРАКОНОВА КРИВАЯ И ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
С тех пор, как я впервые написал о драконовой кривой, термин «фрактал», предложенный Бенуа Мандельбротом, стал общеупотребительным, а драконова кривая, конечно же, фрактал. Труды, посвященные фракталам, в том числе классическая работа Fractal Geometry of Nature Мандельброта, появляются настолько стремительно, что я даже не буду пытаться перечислить их здесь. Выборочная библиография по этой теме приведена в конце главы 3 «Фракталы Мандельброта» в моей книге Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers 1989 года издания. Если хотите почитать о замечательном обобщении драконовой кривой до трёхмерной структуры, отсылаю вас к статье Wire Bending Мишеля Мендеса Франса и Дж. О. Шаллита, Journal of Combinatorial Theory, серия А, вып. 50, январь 1989, с. 1—23.
Заметка в ^ Scientific American, посвященная «серым кодам», процитированная в ответе на задачу 5, полностью перепечатана в моей книге Knotted Doughnuts and Other Mathematical Entertainments 1986 года издания.
^ 16. ЦВЕТНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ И КУБИКИ
Корреспондент из Токио в 1974 году сообщил мне, что диофантово уравнение, приведенное мною в этой главе, изучал профессор Уши-яма (к сожалению, его полное имя мне неизвестно). Он показал, что существует по крайней мере два решения для т больше 24.
^ Я уже упоминал о том, что писал о наборе из 30 цветных кубиков Макмахона в книге New Mathematical Diversions from Scientific
American. Я ещё раз вернулся в этой теме в своем разделе в журнале в сентябре 1978 года, и эта заметка пока не вошла ни в одну из книг. Там приводятся несколько элегантных новых решений, найденных Джоном Конвеем.
17. ДЕРЕВЬЯ
Айзек Азимов, получивший в свое время степень доктора биохимии, написал мне, что деревья, воспроизведенные на рис. 119, соответствуют изомерам углеводородов. (Изомеры — это вещества с одинаковым числом атомов составляющих их элементов, но расположенных по-разному.) Те деревья, в которых ни одна из точек не может быть соединена более чем с четырьмя другими, подобны открытым углеродным цепочкам. Уникальное двухточечное дерево соответствует этану, трёхточечное — пропану. Два четырёхточечных дерева — это бутан и изобутан. Три пятиточечных дерева подобны трем изомерам пентана: пентану, изопентану и неопентану. Первые пять шеститочечных деревьев — это изомеры гексана: обычный гексан, 2-метилпентан, 3-метилпентан, 2,3-диметилбутан и 2,2-диметилбу-тан. Так как в шестом дереве одна из точек соединена с пятью другими, ему не соответствует ни один из углеводородов.
Молекулы углеводородов могут образовывать замкнутые цепи, «чтобы ещё больше усложнить дело», как пишет Азимов, «и порадовать математика на досуге». Азимов интересуется, не теория ли графов позволила химикам предсказать, что молекула, состоящая из сорока атомов углерода и восьмидесяти двух атомов водорода, имеет ровно 62 491 178 805 831 изомер?
18. КОСТИ
Больше любопытных фактов о костях вы можете найти в главе 5, посвященной нетранзитивной игре в кости, моей книги ^ Wheels, Life, and Other Mathematical Diversions1, а также в главе 19 о зихер-мановых костях в книге Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers 1989 года издания.
19. ВСЁ
Из главы, посвященной всему, вам должно быть понятно, что я — нераскаявшийся платонист вот в каком смысле. Я верю, что и материальный мир, и абстрактный мир чистой математики существуют вне зависимости от существования человека. Если читателя интересует обоснование этого весьма широко распространенного мнения, которого придерживается подавляющее большинство человечества, за исключением ограниченной кучки мыслителей, не способных расстаться с идеей о том, что именно человек является мерой абсолютно всех вещей, он может обратиться к моей книге Whys of а Philosophical Scrivener, часть 1, глава 5; к моему же сочинению Order and Surprise, часть 2, глава 34, или же к моему комментарию в American Journal of Physics, апрель 1989, с. 203.
Научно-популярное издание
Мартин Гарднер
^ 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК, МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАГАДОК И РЕБУСОВ ДЛЯ ДЕТЕЙ И ВЗРОСЛЫХ
Перевод с английского М. Л. Кульневой
Зав. редакцией Е. М. Иванова Редактор П. М. Волцит Художественный редактор И. В. Шибалкина Технический редактор Г. А. Этманова Компьютерная верстка Е. М. Илюшиной
ООО «Издательство АСТ» 141100, РФ, Московская обл., г. Щёлково, ул. Заречная, д. 96
ООО «Издательство Астрель» 129085, г. Москва, пр-д Ольминского, д. За
^ Вся информация о книгах и авторах Издательской группы «АСТ» на сайте
ссылка скрыта
По вопросам оптовой покупки книг Издательской группы «АСТ»
обращаться по адресу: г. Москва, Звездный бульвар, д. 21 (7 этаж) Тел.: 615-01-01, 232-17-16
^ Заказ книг по почте: 123022, Москва, а/я 71, «Книга - почтой», или на сайте: ссылка скрыта
ОАО «Владимирская книжная типография» 600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7. Качество печати соответствует качеству предоставленных диапозитивов
1000 развивающих головоломок, математических загадок и ребусов для детей и взрослых ^
Очень рекомендую, но будьте осторожны: математические головоломки вызывают привыкание.
^ Дэвид Джойс, «Нью Сайентист»
Первая книга Мартина Гарднера была опубликована в 1935 г. С тех пор и по сей день он очаровывает, озадачивает и развлекает бесчисленное множество читателей во всем мире. М. Гарднер - лауреат многих престижных наград и званий, автор более 40 книг, в том числе художественных и философских. Другие книги головоломок Мартина Гарднера - «Калейдоскоп головоломок», «Лучшие математические игры и головоломки», «Новые математические развлечения» теперь также доступны в русском переводе.
Математическое шоу начинается с главы о Ничто и заканчивается главой обо Всем. Между ними вы посетите почти все области развлекательной математики: теорию игр, факториалы, логические головоломки, карточные игры и фокусы, счет на пальцах, ленты Мебиуса, полиомино, совершенные числа, прогулки шахматного коня, топологические деревья и игру в кости. У М. Гарднера всегда найдутся в запасе свежие факты и идеи, делающие необыкновенно интересными даже давно исхоженные области. Например, от путешествий шахматного коня он переходит к повару (фигуре, которая ходит на три клетки вперед и одну в сторону), затем верблюду, змею и жирафу. В главе об игре в кости вы найдете очень «полезные» советы, как шулерничать и не быть пойманным.
Харви Меллар, «Тайме Литерари Сапплмент»
www.elkniga,ru
1 Гарднер М. Крестики-нолики / Пер. с англ. И. Е. Зино. - М.: Мир. - 1988.