Головоломок вишенка в коктейле

Вид материала

Документы

Содержание Сирил Корнблат Они гомеоморфны, как говорят топологи, внутренне, то есть при рассмотрении только самих поверхностей, но не пространства, в ко­т В книге «Математические чудеса и тайны» Ещё один неожиданный результат можно получить, разрезав ленту с нечетным числом полуоборотов на три части, то есть начав резать Рис.41. Точки на плоскости (слева) и на ленте (справа) В 1963 году Ричард Л. Дэвис, физик из альбукеркской корпора­ции «Сандия», изобрел резистор с нулевой реактивностью на прин­ципе Гексафлексагоны являются фигурами с нечетным числом полупо­воротов, так что тоже представляют собой мёбиусовы поверхности. ОиЫРо («УЛиПо»), пользуются лентой Мёбиуса для создания новых стихотворений. Например, на одной стороне ленты пишется четверости Первый рассказ из книги Джона Барта Lost in the Funhouse К несчастью, я пока не нашел подходящей топологической по­верхности, на которой можно было бы это напечатать. Какое число пропущено в этом ряду: 10, И, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 24, 31, 100, —, 100 000? (Подсказка - пропущенное числ 10. Если вы возьмете три яблока из корзины с тринадцатью ябло­ками, то сколько яблок у вас будет? Можно ли построить куб размерами 6 х 6 х 6 из 27 блоков раз­мерами 1x2x4 (см. рис. 52)? Из одного угла квадрата проведены две линии, точно деля­щие площадь квадрата на три равные части (см. рис. 54). В каком от­ношен Предложите по меньшей мере три способа измерения высоты здания при помощи барометра. Из данных выражений неверны только б ид, так что утвержде­ние, что ошибок в них три, также неверно. Это и есть третья ошибка. Ноль. Если три письма положены в правильные конверты, то четвертое — тоже. Р можетбыть в любом месте на окружности между точками Хи Y ABC превращается в ноль, асторона АВ 15. Три квадратных единицы (см. рис. 55 и 56). ... Полное содержание

Подобный материал:

• Психологическое сопровождение замещающих семей, 219.46kb.
• Психологическая коррекция агрессивного поведения детей, 219.57kb.
• С. В. Левина Н. А. Задворочнова публичный доклад, 193.66kb.
• Проектный метод в деятельности доу, 187.91kb.
• Проектный метод в деятельности доу, 214.46kb.
• Альтергот Оксана Петровна. Детский сад является юридическим лицом, имеет полный пакет, 211.9kb.

ГЛАВА 9


Ленты Мёбиуса


Стриптизершу по имени Мила К фантастике страсть погубила. Новый танец придумать решив, Назвала его «Мёбиус-стрип» — И больше не видели Милу.

^ Сирил Корнблат


У листа бумаги две стороны и одна грань, огибающая его по замкну­той кривой. Может ли существовать такой лист, у которого будет од­на грань и одна сторона, так что муравей сможет переползти между любыми двумя точками листа, ни разу не пересекая грани? Трудно в это поверить, но действительно никто не замечал существования односторонних поверхностей, пока немецкий математик и астро­ном Август Фердинанд Мёбиус, скончавшийся в 1868 году, не опи­сал в своем труде «Werke» (т. 2, 1858) ленту с половинным оборотом. После этого лента, получившая имя своего первооткрывателя, стала самой известной из многочисленных топологических забав. Топо­логия — это широкая область современной математики, изучающая способность структур деформироваться без разрывов (так называе­мая «непрерывная деформация»).

Деформация, при которой сохраняются топологические особен­ности, такие как односторонность ленты Мёбиуса, часто поясняет­ся на примере ленты из мягкой резины, которая может быть сфор­мована в объект любой конфигурации при условии, что в ней не де­лается разрывов, а также отделения и перестановки частей. Однако это распространенное заблуждение. Деформация, сохраняющая то­пологические особенности, должна определяться куда более техни­ческим способом, включая сохранение расстояний между точками. Вполне реально существование двух топологически эквивалентных структур (гомеоморфных, как любят говорить топологи), которые в нашем трёхмерном пространстве не могут быть преобразованы одна в другую непрерывной деформацией. Один из простых примеров — две резиновые ленты Мёбиуса, являющиеся зеркальным отображе­нием друг друга, так как они повернуты в противоположных на­правлениях. Эти ленты невозможно преобразовать одну в другую путем растягивания и выворачивания — однако они топологически идентичны. То же самое верно для ленты Мёбиуса и ленты с тремя или иным нечетным числом полуповоротов. Все такие ленты, а так­же их зеркальные отображения являются гомеоморфными, хотя ни одну из них нельзя превратить в другие путем «резиновой» деформа­ции. То же верно и для всех лент (и их зеркальных отображений) с четным числом полуповоротов. Такие ленты топологически отлича­ются от лент с нечетным числом полуповоротов, но гомеоморфны друг другу (см. рис. 39).

^ Они гомеоморфны, как говорят топологи, внутренне, то есть при рассмотрении только самих поверхностей, но не пространства, в ко­тором они могут располагаться.


Именно потому, что наша модель ленты Мёбиуса помещена в трёхмерном пространстве, она не может быть преобразована в свое зеркальное отображение или в ленту с тремя полуоборотами. Если бы мы могли поместить бумажную ленту Мёбиуса в четырёхмерное пространство, было бы возможно преобразовать её, «вернув» обрат­но в любую сторону, как и ленту с любым нечетным числом полу­оборотов. Точно так же ленту без поворотов (топологически эквива­лентную цилиндру или листу бумаги с отверстием в нем) можно бы­ло бы, поместив в четырёхмерное пространство, повернуть и вер­нуть обратно в наши три измерения с любым четным числом полу­оборотов любого направления.

Но вместо того чтобы воображать манипуляции с лентами в че­тырёхмерном пространстве, давайте лучше представим их как спо­собные к самопересечению поверхности нулевой толщины в трёх измерениях. Довольно просто вообразить, как изменить скручен­ную ленту, пропустив её сквозь себя и превратив в топологически эк­вивалентную структуру. Например, «призрачная» лента Мёбиуса может быть пропущена сквозь себя, в результате чего получится её зеркальное отображение. То же возможно и с любой поверхностью с нечетным числом поворотов любого направления.

Если скрученная лента находится в трёхмерном пространстве, то говорят, что «она обладает внешними топологическими свойствами», которых не имеет при рассмотрении отдельно от пространства, в которое помещена. Лишь в этом «внешнем» смысле можно говорить о том, что лента Мёбиуса топологически отлична от, скажем, ленты с тремя полуоборотами.

Самая фантастическая особенность ленты Мёбиуса (или любой структуры, внутренне идентичной ей) в том, что при разрезании точно по средней линии получается не две ленты, а одна большего размера.

Поразительно, но новая лента, полученная таким способом, ока­зывается двусторонней и двугранной. Поскольку топологическая структура помещена в трёхмерном пространстве, она имеет 2п + 2 полуоборота, где п — число (нечетное) полуоборотов исходной лен­ты. Если п = 1, у новой ленты будет 4 полуоборота — четное число, то есть она будет внутренне гомеоморфна цилиндру. Если п = 3, у получившейся ленты будет восемь полуоборотов, и она завяжется в простой узел.

Лента с четным числом полуоборотов (0, 2, 4,...) при разрезании всегда дает две отдельных ленты, идентичные исходной, за исклю­чением ширины. В трёхмерном пространстве у каждой такой ленты будет п полуоборотов и две ленты будут соединены в п/2 местах. Так, если п = 2, при разрезании вдоль получается две ленты, каждая с двумя полуоборотами, соединенные подобно звеньям цепи. Если п = 4, одна лента будет дважды обвиваться вокруг второй. При п = 2 можно разрезать ленту и получить два соединенных кольца, ото­рвать одно, второе разрезать на два ещё более тонких, соединенных в цепочку, оторвать одно, и продолжать в том же духе (теоретичес­ки) сколько угодно.

^ В книге «Математические чудеса и тайны»³ (Mathematics, Magic, and Mystery) я объяснял, как фокусники используют эти особеннос­ти в старинном трюке с разрыванием одежды под названием «Аф­ганские ленты». Стивен Барр предложил новый способ демонстра­ции тех же самых свойств. Он начертил среднюю линию на широ­кой и тяжелой бумажной ленте раствором нитрата калия, а затем подвесил ленту на гвоздь так, чтобы она опиралась на него лишь по­ловиной своей ширины. Теперь, если прикоснуться к нарисованной линии в нижней точке кольца тлеющей сигаретой, она быстро заго­рается, и огоньки, поднимаясь вверх по обеим сторонам кольца, встречаются наверху. Половина ленты отваливается, образуя либо одну ленту большего размера, либо две соединенные в цепочку лен­ты, либо завязанные узлом ленты, в зависимости от того, сколько полуоборотов (один, два или три) было у исходной ленты.

^ Ещё один неожиданный результат можно получить, разрезав ленту с нечетным числом полуоборотов на три части, то есть начав резать на расстоянии Уз ширины от края и дважды обойдя кольцо. В результате получается лента, идентичная исходной, за исключе­нием ширины (это центральная треть исходной ленты), соединен­ная со второй, в два раза длиннее, которая идентична (только уже) ленте, получающейся при разрезании исходной ленты надвое. Если п = I (лента Мёбиуса), при разрезании натрое получается маленькая лента Мёбиуса, соединенная с более длинной двусторонней лентой с четырьмя полуоборотами (см. рис. 40).

Исходя из этого, двое моих читателей — Элмер Л. Мюнгер и Сти­вен Р. Вудбери — независимо друг от друга предложили заниматель­ную головоломку. После того как вы получили две соединенные ленты путем разрезания ленты Мёбиуса натрое, попробуйте сделать из них тройную ленту Мёбиуса, показанную на рис. 40. Если у вас это получится, результатом будет забавная структура, в которой две внешние «ленты» на всем протяжении разделены находящейся «между» ними лентой Мёбиуса.

³ 1-е изд: М.: Мир, 1964.

При этом можно предположить, что лента Мёбиуса окружена двумя отдельными лентами, — но, конечно, вы понимаете, что это не так. Такую же структуру можно получить, сложив вместе три идентичные ленты. Можно их свернуть, удерживая вместе, а затем




соединив три соответствующие грани. Если такую тройную ленту покрасить «снаружи» в красный цвет, то вы увидите, что можно поменять местами внешние части таким образом, чтобы красная сторона большей ленты оказалась внутри, а тройная лента снару­жи оказалась неокрашенной. Весьма занимательно делать подоб­ные ленты толщиной в т слоев с п полуоборотами, а затем попы­таться вычислить, каковы будут результаты их разрезания на две и три части.

У ленты Мёбиуса есть много загадочных внутренних качеств. То­пологи называют её «неориентируемой». Представьте себе ленту как истинную поверхность нулевой толщины. Мысленно поместите в это двумерное пространство плоских существ, зеркально несиммет­ричных (не идентичных собственному зеркальному отображению). Если такое существо один раз обогнет ленту, оно превратится в зер­кальное отображение себя самого. (Космологи разработали анало­гичные модели повернутого трёхмерного пространства, в котором астронавт смог бы совершить путешествие «вокруг» космоса и вер­нуться с сердцем с другой стороны.) Не забывайте о том, что дву­мерные существа находятся «в» поверхности нулевой толщины, а не «на» ней.

Все неориентируемые поверхности должны содержать хотя бы одну мёбиусову поверхность. Иначе говоря, из любой неориентиру-емой поверхности можно вырезать мёбиусову поверхность. Тополо­ги обнаружили множество причудливых типов неориентируемых поверхностей, таких как бутыль Клейна, проективная плоскость и поверхность Боя (открытая немецким математиком Вернером Бо­ем). Все они замкнуты и не имеют краев, как поверхность сферы. Бутыль Клейна может быть разрезана пополам, в результате чего по­лучаются две ленты Мёбиуса, как я объяснял в своей книге Sixth Book of Matematical Games from Scientific American («Шестая книга ма­тематических игр от Scientific Атепсап»). Проективная плоскость превращается в ленту Мёбиуса, если в ней прорезать дыру.

Все неориентируемые поверхности в трёхмерном пространстве односторонни, а все ориентируемые (в которых плоские асиммет­ричные существа не могут поменять ориентацию на зеркальную) — двусторонни. Число сторон при этом не является внутренним топо­логическим свойством, как «ориентабельность». Лишь в нашем трёхмерном пространстве мы можем говорить о том, что двумерная поверхность имеет одну или две стороны. Точно так же мы можем говорить о замкнутой одномерной линии как об имеющей наруж­ную и внутреннюю стороны при размещении на плоскости.

Другая внутренняя особенность, присущая ленте Мёбиуса, имеет отношение к теории графов. На плоскости или на любой ленте с четным числом полуповоротов максимальное число точек, которые можно соединить непересекающимися линиями, прохо­дящими между каждой парой точек, четыре (см. рис. 41). Нетрудно доказать, что с пятью точками это проделать невозможно. Однако на мёбиусовой поверхности можно соединить непересекающими­ся линиями шесть точек. Рассмотрим шесть точек на полоске бу­маги (см. рис. 41). Допустим, два конца полоски соединяются, при этом лента поворачивается один или любое другое нечетное




^ Рис.41.

Точки на плоскости (слева) и на ленте (справа)


число раз. Можете ли вы соединить точки попарно линиями, не пересекающимися друг с другом и не проходящими через точки? Здесь мы также предполагаем, что полоска имеет нулевую толщи­ну. Каждую линию нужно представить как проходящую «в» бума­ге, подобно чернилам ^ просачивающимся на противоположную сторону листа.

Ленте Мёбиуса находится и практическое применение. В 1923 го­ду Ли де Форест получил американский патент на пленку в виде ленты Мёбиуса, на обеих «сторонах» которой можно было записы­вать звук. Аналогичная идея была применена в магнитофонах, что­бы в два раза увеличить длительность записи на перекрученной ленте. Несколько патентов было выдано на конвейерные ленты в виде ленты Мёбиуса, которые можно использовать с обеих сторон. В 1949 году О. X. Харрису был выдан патент № 2479929 на абразивную ленту Мёбиуса. Компания Б. Ф. Гудрича стала обладательницей подобно­го же патента (№ 2784834) в 1957 году. В 1963 году патент № 3302795 был выдан Дж. У. Джейкобсу на самоочищающуюся фильтроваль­ную ленту для уборочных машин. В результате стало легко смывать грязь с обеих «сторон» ленты по мере её оборота.

^ В 1963 году Ричард Л. Дэвис, физик из альбукеркской корпора­ции «Сандия», изобрел резистор с нулевой реактивностью на прин­ципе ленты Мёбиуса.

Подсоединив металлическую фольгу двумя концами к непро­водящей ток резине, а затем свернув из этой конструкции трой­ную ленту Мёбиуса, Дэвис обнаружил, что при пропускании эле­ктрических импульсов в обоих направлениях по фольге лента приобретает любые желаемые характеристики электропроводи­мости (см. Time за 25 сентября 1964 года и Electronics Illustrated за ноябрь 1969 года).

Лента Мёбиуса стала предметом вдохновения для многих совре­менных скульпторов, которые создают на её основе абстрактные творения. В новом Музее истории и технологии при Смитсонов-ском институте в Вашингтоне выставлена восьмифутовая стальная лента Мёбиуса, медленно вращающаяся на пьедестале. Она уста­новлена прямо перед входом в музей. Швейцарский скульптор Макс Билль создал на основе ленты Мёбиуса десятки разнообраз­ных абстрактных работ (см. рис. 42).

Художники также используют ленту Мёбиуса в живописи и рек­ламной продукции. На рисунках 43 и 44 представлены два примера использования её голландским художником Морисом К. Эшером. В 1967 году Бразилия принимала математический конгресс, и в его честь была выпущена марка с изображением ленты Мёбиуса. В 1969 го­ду эта лента, но в виде треугольника, была изображена на марке, вы­пущенной в Бельгии. (Эти марки показаны на рис. 45.)

Уплощенная в виде треугольника лента Мёбиуса стала офици­альным символом выставки «Экспо-74», проходившей в Спокейне, штат Вашингтон. На обложке журнала New Yorker за 5 апреля 1976 года красовалась лента Мёбиуса, по которой в обоих направлениях шагало около 30 бизнесменов.

Лента Мёбиуса служит центральной идеей для многих научно-фан­тастических произведений, начиная с моего «нульстороннего» профес­сора (из No-Sided Professor) и заканчивая «Стеной мрака» {The Wall of Darkness) Артура Кларка, опубликованного в июле 1949 года в сборни­ке Super Science Stories. Многие друзья присылали мне на Рождество открытки с разными пожеланиями, например, «бесконечной радос­ти», написанными на ленте Мёбиуса. Интересно, что если вы будете крутить в пальцах такую ленту с надписью, то слова будут всегда напи­саны нормально, хотя при этом на её внутренней стороне они окажут­ся вверх ногами. Когда я был редактором журнала Humpty Dumpty

Рис. 42.

«Непрерывная поверхность в форме колонны» (1953), галерея Олбраита -Нокса, Буффало




Magazine, то даже придумал игру на этом принципе (см. мой рассказ Watch the Thanksgiving Day Parade, ноябрь 1955 года, с. 82—84).

Писатели, пользующиеся печатными машинками и печатающие быстро, чтобы не заменять постоянно бумагу, нередко вставляют в машинку бумагу в рулонах, похожих на бумажные полотенца. Если брать достаточно длинную полосу бумаги, то её можно замкнуть в петлю, повернув так, чтобы печатать непрерывно на обеих сторо­нах. Уолдо Р. Тоблер как-то предложил напечатать на ленте Мёбиу­са карту мира так, чтобы полюса находились на её ребрах, а линии широты и долготы располагались симметрично. Проткнув такую карту в любой точке, с другой стороны вы попадете в точку, которая на глобусе располагается диаметрально противоположно.

^ Гексафлексагоны являются фигурами с нечетным числом полупо­воротов, так что тоже представляют собой мёбиусовы поверхности.




Задача 15 из следующей главы позволит вам получить представ­ление о занимательной топологии «пересекающихся» лент Мёбиуса. Задача о минимальной длине ленты, которую можно свернуть и со­единить в ленту Мёбиуса, помещена в моей книге Book of Mathematical Games from Scientific American («Книга математических игр из Scientific Атегкап»), Спортсмены, занимающиеся лыжной ак­робатикой (фристайлом), сейчас выполняют трюк под названием «прыжок Мёбиуса», при исполнении которого делают сальто, одно­временно разворачиваясь вокруг своей оси.

Группа французских писателей и математиков, публикующая свои экспериментальные произведения под групповым псевдони­мом ^ ОиЫРо («УЛиПо»), пользуются лентой Мёбиуса для создания новых стихотворений. Например, на одной стороне ленты пишется четверостишие с рифмой абаб, а на другой — с рифмой вгвг. При сворачивании из неё ленты Мёбиуса получается новое стихотворе­ние с рифмами авбг — авбг. (Две главы моей книги Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers 1989 года издания посвящены творчеству УЛиПо.)

В последние годы даже авторы, не специализирующиеся на ма­тематике, кажется, прониклись любовью к мёбиусовым поверхно­стям как символу бесконечности. Существует стихотворение Чарльза Олсона «Лента Мёбиуса» и «Чета Мёбиусов: одиннадцать коротких неприличных историй» Кароля Берге, на обложке кото­рых изображена огромная лента Мёбиуса. Каждую из историй так­же венчают ленточки поменьше. «Когда мужчина и женщина ста­новятся любовниками, — написано на форзаце книги, — между ни­ми возникают потенциально бесконечные отношения, которые, подобно ленте Мёбиуса, не имеют ни начала, ни конца, а лишь не-


5-10396

прерывное протяжение... В этих историях — мудрость и откровен­ность, которых достаточно для того, чтобы вы почувствовали род­ство с этими людьми, как будто познакомились с ними где-то на мёбиусовой ленте жизни».

Не вполне понятно, что прибавляет к старинной метафоре коль­ца или круга поворот на бесконечной петле. Все, что он дает, — это приводит вас обратно в те места, где вы уже были, — но то слева, то справа. Однако остается неясным, как же приложить это к кино­пленке человеческой жизни?

^ Первый рассказ из книги Джона Барта Lost in the Funhouse («Потерявшийся в комнате смеха») был опубликован в 1968 году. Он, скорее всего, служит введением в повествование и устроен так, что его нужно читать на настоящей мёбиусовой поверхности. Читателю рекомендуется разрезать страницу по пунктирной ли­нии, затем свернуть и склеить, чтобы получилась лента Мёбиуса, на которой можно прочесть бесконечную «присказку». «В один прекрасный день произошла история, которая началась в один прекрасный день, когда произошла история, которая нача­лась...»

Это старинная детская присказка, которая имеет лишь бесконеч­ное начало, но не имеет ни середины, ни конца. Однажды я написал такой вот «метастих» без середины, с бесконечным началом и бес­конечным концом:


Жил да был метапоэт, Был он сыт, обут, одет, Но не знал, о нем писать, И тогда решил начать Вот такой вот метастих О безумных днях своих: «Жил да был метапоэт, Был он сыт, обут, одет, Но не знал, о чем писать, И тогда решил начать Вот такой вот метастих О безумных днях своих: «Жил да был метапоэт...»

«Здесь истории конец», — Написал наш молодец, И, вздохнув, убрал перо, Потому что понял, что «Здесь истории конец», — Написал наш молодец, И, вздохнув, убрал перо, Потому что понял, что «Здесь истории конец»...


^ К несчастью, я пока не нашел подходящей топологической по­верхности, на которой можно было бы это напечатать.


ОТВЕТЫ

Один из способов решить головоломку с лентой Мёбиуса показан на рис. 46. Допустим, что ленту повернули прежде, чем соединили её концы. Тогда точки а, Ь, с, d, е на нижней стороне ленты совпадут с соответствующими точками на верхней стороне. Поверхность сле­дует принимать имеющей нулевую толщину, линии расположены не «на», а «в» ней.


Комплементарным к этому графу является карта, которая для ок­рашивания требует не менее 6 цветов (соседствующие области обяза­ны иметь различные цвета). На рис. 47 приведено ещё одно, уже сим­метричное решение, которое также нашли многие из читателей.





ГЛАВА 10


_{Смешные задачи}


Для решения приведенных ниже небольших задачек не требуется владения высшей математикой. Большинство из них содержат нео­жиданные вопросы-«ловушки», и их не надо принимать всерьез.

В одной африканской деревне живет 800 женщин. Три процен­та из них носят по одной сережке. Из оставшихся 97% у половины в ушах две серьги, а у другой половины — ни одной. Сколько всего се­режек у всех женщин?

Каждая грань выпуклого многогранника может служить основа­нием, если его поставить на горизонтальную поверхность. У правиль­ного многогранника центр тяжести расположен в середине, так что он устойчив при установке на любую грань. Неправильные многогранни­ки могут быть неустойчивы при установке на некоторые грани, то есть если их поставить на стол такой гранью вниз, они будут переворачи­ваться. Возможно ли построить такой неправильный выпуклый много­гранник, который был бы неустойчив при установке на любую грань?

^ Какое число пропущено в этом ряду: 10, И, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 24, 31, 100, —, 100 000? (Подсказка - пропущенное число должно быть в троичной системе.)

Среди утверждений в условии этой задачи есть три ошибки. Найдите их.

а) 2 + 2 = 4 ©4+72 = 2

^*л7₅^{хз78 = 10}

г> 7-(-4)= И д)- 10(6 -6) = -10

Логик, которому было нечем заняться в маленьком городке, решил сходить в парикмахерскую. В городе было только два парик­махера, и у каждого своя мастерская. Логик заглянул в первую и увидел, что там парикмахер был небрит и с взлохмаченной головой. В другой парикмахерской был полный порядок. Парикмахер был свежевыбрит и с аккуратной прической. Логик вернулся в первую парикмахерскую и постригся там. Почему?

К полю для игры в крестики-нолики добавили одну клетку (см. рис. 48). Если играть в игру, как обычно, то первый игрок легко сможет выставить три значка в ряд, начав партию, как показано на рис. 49. Без дополнительной клетки второй игрок может не дать ему выиграть, только если займет центральную клетку. Но на рисунке показано, как первый игрок может пойти в данном случае, с гаран­тией выигрывая следующим ходом.

		X1

Рис 48. Рис. 49.

Выигрывает первый игрок


Так что давайте изменим правила. Добавив дополнительную клетку, введем новое правило. Если игрок хочет выиграть, поставив в ряд свои значки в нижнем ряду, то он должен занять все четыре клетки в нем. Может ли в таком случае первый игрок с гарантией победить?

Секретарша напечатала четыре письма четырем адресатам и надписала четыре конверта. Если она будет вкладывать письма в конверты случайным образом, какова вероятность того, что именно три письма попадут в правильные конверты?

Рассмотрим три точки: центр правильного тетраэдра и любые две его угловые точки. Эти три точки будут лежать на одной плоско­сти. Верно ли то же самое для всех неправильных тетраэдров?

На поверхности шара выбраны три случайные точки. Какова вероятность того, что все три окажутся в одном полушарии? Будем считать, что окружность, разграничивающая полушария, является частью каждого из них.

^ 10. Если вы возьмете три яблока из корзины с тринадцатью ябло­ками, то сколько яблок у вас будет?



С

Рис. 50

И. Из точки С проведены две касательные к окружности (см. рис. 50). Отрезки касательных УС и АС всегда равны. Допустим, дли­на каждого из них — 10 единиц. Точка Р на окружности выбрана слу­чайным образом так, чтобы она оказалась между точками Хи Y. За­тем через точку Р провели ещё одну касательную. Каков периметр треугольника ABC?

Задача с касательными ⁴—'

Если сумма в девять тысяч девять сотен и девять долларов за­писывается как $9909, то как правильно записать сумму в двенад­цать тысяч двенадцать сотен и двенадцать долларов?

Химик открыл, что некая химическая реакция идет 80 минут при условии, что экспериментатор одет в пиджак. Когда же он был без пиджака, то реакция всегда занимала один час и 20 минут. Как вы это объясните?

Каждая из двух бумажных фигур, изображенных на рис. 51, состоит из горизонтальной ленты, присоединенной к вертикальной такой же длины и ширины. Они идентичны друг другу, за исключе­нием того, что вторая фигура имеет полуоборот вертикальной лен­ты. Если первую фигуру разрезать по пунктирной линии, как это ни удивительно, получится большой квадрат, изображенный в виде рамки рисунка. А что получится, если вторую фигуру точно так же разрезать по пунктирной линии?

Равносторонний треугольник и правильный шестиугольник имеют одинаковые периметры. Если площадь треугольника — две квадратных единицы, какова будет площадь шестиугольника?

^ Можно ли построить куб размерами 6 х 6 х 6 из 27 блоков раз­мерами 1x2x4 (см. рис. 52)?

Посетитель ресторана обнаружил в чашке с кофе муху. Он по­требовал у официанта другую чашку. Отпив из неё один глоток, он


воскликнул: «Это та же самая чашка, которая была у меня внача­ле!» Как он это узнал?

Рис. 53.


Имеется металлический лист в форме квадрата со стороной 2 фута и присоединенных к его противоположным сторонам полукру­гов (см. рис. 53). Если вырезать из центра этой фигуры круг диаме­тром в два фута, как показано на рисунке, какова будет площадь ос­тавшегося металла?

«Я гарантирую вам, — сказал продавец в зоомагазине, — что этот попутай будет повторять все слова, которые услышит». Покупа­тель приобрел попугая, но обнаружил, что тот не произносит ни еди­ного слова. Однако продавец говорил правду. Как это объяснить?

^ Из одного угла квадрата проведены две линии, точно деля­щие площадь квадрата на три равные части (см. рис. 54). В каком от­ношении эти линии делят стороны квадрата?

Кусок цилиндрической железной трубы длиной в десять фу­тов имеет внутренний диаметр четыре дюйма. Если засунуть в трубу со стороны А стальной шар диаметром три дюйма, а со стороны В — шар диаметром два дюйма, то возможно ли при помощи железного прута протолкнуть каждый шар через трубу так, чтобы достать его с другого конца?

^ Предложите по меньшей мере три способа измерения высоты здания при помощи барометра.

Как можно сделать куб из пяти спичек? Гнуть или расщеплять спички нельзя.

Какая ситуация более вероятна после раздачи карт в бридже на четверых: у вас и вашего партнера будут на руках только пики или же у вас обоих не будет пиковых карт вообще?

Эта старая задачка по-прежнему ставит в тупик практиче­ски всех, кто впервые сталкивается с ней. Смит отдал клерку в отеле 15 долларов за ночь. Когда клерк обнаружил, что постоялец дал ему лишние 5 долларов, он отправил к нему в номер коридор­ного с пятью долларовыми банкнотами. Нечестный коридорный отдал Смиту только три купюры, а две оставил себе. Получилось, что Смит заплатил за комнату 12 долларов. Коридорный забрал два доллара. Таким образом, всего получается 14. Где оставшийся доллар?


ОТВЕТЫ

1. Если из 97% женщин половина носят по две серьги, а половина — ни одной, то это все равно что все носят по одной. Таким образом, показав, что все 800 женщин в среднем носят по одной серьге, полу­чим всего 800 сережек.

Нет. Если бы выпуклый многогранник мог бы быть неустойчи­вым на любой из граней, тогда можно было бы сделать вечный дви­гатель. Каждый раз, когда фигура переворачивалась бы на новое ос­нование, она все равно оставалась бы неустойчивой и, таким обра­зом, переворачивалась бы снова.

Каждое из этих чисел равно 16 в разных системах исчисления, начиная с шестнадцатеричной и далее в убывающем порядке, за­канчивая двоичной. Недостающее число — шестнадцать в троичной системе, или 121.

^ Из данных выражений неверны только б ид, так что утвержде­ние, что ошибок в них три, также неверно. Это и есть третья ошибка.

Парикмахеры должны стричь друг друга. Логик выбрал того, который лучше подстриг своего конкурента.

Предположим, что клетки пронумерованы от 1 до 10 слева на­право и сверху вниз. Первый игрок может выиграть лишь в том слу­чае, если сделает первый ход на клетку 2 или 6. Я предоставляю чи­тателям возможность самостоятельно разработать его дальнейшую стратегию при всех ответных ходах противника.

^ Ноль. Если три письма положены в правильные конверты, то четвертое — тоже.

Да. Любые три точки в пространстве могут лежать в одной пло­скости.

Вероятность этого — единица. Любые три точки на сфере при­надлежат к одному полушарию.

10. Три яблока.

11. Периметр треугольника — 20 единиц. Отрезки касатель-
ных, выходящих из одной точки, равны между собой, так что YA =
=АР, а.ВР = ХВ. Так как АР + BP— это сторона треугольника ABC,
то легко заметить, что периметр его равен 10 + 10 = 20. Это одна
из любопытных задач, которые можно решить другим способом,
если точно знать, что решение имеется. Так как точка ^ Р может
быть в любом месте на окружности между точками Хи Y, то мы
можем предельно сдвинуть её к любой из этих точек. В обоих слу-
чаях одна из сторон треугольника ^ ABC превращается в ноль, а
сторона АВ увеличивается до 10, и в результате получается упро-
щенный до прямой «треугольник» со сторонами в 10, 10 и 0 еди-
ниц. Его периметр равен 20. (Приношу благодарность Филипу К.
Смиту-мл.)

$13 212.

80 минут равны одному часу и 20 минутам.

14. При разрезании второй фигуры получится то же самое, что и
при разрезании первой. Действительно, мы получим такой же боль-
шой квадрат, вне зависимости от того, как скручена вертикальная
лента! Если хотите ещё сюрприз, посмотрите, что получится, если
разрезать неперевернутую ленту второй фигуры пополам, а перевер-
нутую — на три части.

^ 15. Три квадратных единицы (см. рис. 55 и 56).

длину веревки по частоте колебаний маятника. (Благодарю за этот вариант Дика Эйкерса.)

^ Бросить барометр с крыши. Засечь время, которое он будет падать, и подсчитать расстояние по формуле свободного падения.

В солнечный день найти отношение высоты барометра к дли­не его тени и по этому отношению вычислить высоту здания по дли­не его тени.

^ Найти управляющего домом и предложить ему барометр за то, что он скажет вам высоту здания.

Решение № I очень старое (я слышал его от своего отца в дет­стве), но наиболее полное обсуждение этой задачи со всеми вари­антами решения, кроме второго, дано в книге Александра Калан­дры The Teaching of Elementary Science and Mathematics («Уроки эле­ментарного естествознания и математики») 1969 года издания. Более раннее рассмотрение этой задачи тем же автором, опубли­кованное в издании для учителей Current Science («Современная наука»), послужило основой для заметки в New York Times от 8 марта 1964 года.

Если рассматривать «куб» в числовом смысле, то из пяти спичек можно составить число 1, или 27, или VIII, или I — то есть числа, представляющие собой кубы (третью степень) каких-либо других чисел. Если у спичек ровные грани, то при размещении их так, как показано на рис. 57, в центре получается маленький куб.

^ Вероятности этих двух ситуаций равны. Если у вас и вашего партнера нет ни одной пиковой карты, значит, все они сданы дру­гим двум игрокам.


Рис. 57.

Куб из пяти спичек

25. Прибавляя 2 доллара, полученные коридорным, к 12, запла­ченным Смитом за комнату, мы получаем бессмысленную сумму. Смит в итоге отдал 12 долларов, из которых 10 взял клерк, а 2 - ко­ридорный. Отдав вначале 15 долларов, Смит получил обратно 3 дол­лара, которые при сложении с 12 долларами, полученными клерком и коридорным, дают в сумме те же 15 долларов.