Головоломок вишенка в коктейле

• Психологическое сопровождение замещающих семей, 219.46kb.
• Психологическая коррекция агрессивного поведения детей, 219.57kb.
• С. В. Левина Н. А. Задворочнова публичный доклад, 193.66kb.
• Проектный метод в деятельности доу, 187.91kb.
• Проектный метод в деятельности доу, 214.46kb.
• Альтергот Оксана Петровна. Детский сад является юридическим лицом, имеет полный пакет, 211.9kb.

ГЛАВА 12


^{Совершенные, дружественные,}

_{общительные}


Нелегко найти другое множество целых чисел, обладающее столь же увлекательной историей и столь же изящными характеристиками и окруженное такой же бездной тайн — и столь же бесполезное с прак­тической точки зрения, — как совершенные числа и их близкие род­ственники, дружественные числа.

Совершенное число — это всего лишь число, равное сумме всех собственных делителей (за исключением самого числа). Наимень­шее такое число — 6. Оно равно сумме своих трёх делителей: 1, 2 и 3. Следующее в этом ряду — число 28. Оно представляет собой сумму 1+2 + 4 + 7 + 14. Эти два числа произвели когда-то большое впе­чатление на комментаторов Ветхого Завета — как иудейских, так и христианских. Ведь мир был создан Богом за 6 дней, а Луна обора­чивается вокруг Земли за 28! Августин Блаженный в «Граде Божьем» (книга 11, глава 30) утверждает, что Бог мог бы создать мир за одно мгновение, однако предпочел заниматься этим 6 дней, ибо совер­шенство этого числа подразумевает совершенство сотворенной Все­ленной. (Ещё раньше подобные взгляды были высказаны Филоном Александрийским в третьей главе его труда «О сотворении мира».) Августин в заключение главы, посвященной числу 6, говорит так: «Не следует пренебрегать числами. Внимательному взору открыва­ется, какое великое значение нужно придавать им во многих местах Священного Писания».

Первым выдающимся достижением в области теории совершен­ных чисел было великолепное евклидово доказательство того, что выражение 2^Л_1(2^Л — 1) всегда равно четному совершенному числу, если выражение в скобках представляет собой простое число. (Оно не может быть простым, если только п не является простым; если же п — простое, тогда IP — 1 не оказывается простым очень редко.) Только 2000 лет спустя Леонард Эйлер доказал, что этой формулой выражаются все четные совершенные числа. Говоря о «совершен­ных числах», я буду иметь в виду именно «четные совершенные чис­ла», поскольку ни одного нечетного совершенного числа не извест­но и, как предполагают, не существует.

Чтобы интуитивно ухватить суть замечательной формулы Евкли­да и увидеть, насколько тесно она связывает совершенные числа с хорошо знакомым нам рядом удвоения 1, 2,4, 8, 16..., вспомните ле­генду о персидском царе, которому так понравилась игра в шахма­ты, что он пообещал её изобретателю любой дар, который он толь­ко захочет. Мудрец попросил у него вроде бы скромный дар: одно пшеничное зернышко за первую клетку шахматной доски, два — за вторую, четыре — за третью и так далее по степеням числа 2 до 64-й клетки. Оказалось, однако, что за последнюю клетку он должен был получить 9 223 372 036 854 775 808 зерен. Общее же число всех зерен равно удвоенному этому числу минус 1, то есть в несколько тысяч раз больше, чем весь мировой урожай пшеницы за год.

На рис. 70 каждая клетка шахматной доски обозначена числом зерен, которые нужно было на неё положить. Если отнять от любой клетки по одному зерну, то получится 2" — 1, где п — номер клетки, то есть выражение в скобках из формулы Евклида. Если это число — простое, то умножим его на число зерен в предыдущей клетке (2"~^х в формуле). Вуаля! У нас получилось совершенное число! Простые числа типа 2^п — 1 теперь называются простыми числами Мерсенна в честь французского математика XVII века, занимавшегося их изуче­нием. На рисунке закрашены клетки, которые при отнятии одного зерна становятся мерсенновыми числами и из которых получаются первые девять совершенных чисел.

^ С помощью формулы Евклида несложно доказать разнообраз­ные причудливые и занятные свойства совершенных чисел.

Например, все совершенные числа являются треугольными. Это значит, что совершенное число зерен можно разложить в форме рав­ностороннего треугольника, как десять кеглей или пятнадцать бил­лиардных шаров. Иными словами, каждое совершенное число мож­но представить в виде суммы 1 + 2 + 3 + 4 + ... Также просто пока­зать, что любое совершенное число, за исключением 6, является суммой последовательных кубов нечетных чисел: I³ + З³ + 5³ + ...


Цифровой корень любого совершенного числа (кроме 6) - еди­ница. Чтобы получить цифровой корень, сложите все цифры в чис­ле, потом сложите цифры в получившемся результате и продолжай­те в том же духе до тех пор, пока не останется одна цифра. Это то же самое, что исключать последовательно все девятки в записи в про­цессе суммирования. Так что, утверждая, что цифровой корень чис­ла равен 1, мы имеем в виду, что при делении этого числа на 9 в ос­татке будет 1. Для доказательства этого свойства совершенных чисел требуется показать, что евклидова формула всех совершенных чисел дает число с цифровым корнем, равным единице, всегда, когда п — нечетное, поскольку все простые числа, за исключением 2, - нечет­ные. Единственное четное простое число, 2, дает единственное со­вершенное число — 6, не имеющее в качестве цифрового корня еди­ницу. Также все совершенные числа (кроме 6) делятся без остатка на 4 и по модулю 12 равны 4.

Из-за того что совершенные числа так тесно связаны со степеня­ми двойки, можно ожидать, что в них обнаружатся какие-нибудь примечательные свойства при записи их в двоичном коде. Я предла­гаю вам вначале самостоятельно попытаться установить правило, с помощью которого это можно сделать, а затем доказать, что оно применимо в любом случае.

^ Ещё одно удивительное свойство совершенного числа в том, что сумма чисел, обратных всем делителям, включая само число, равно 2. Например, возьмем число 28:


11111 1 ~

- + - + - + - + — + — = 2.

1 2 4 7 14 28


Эта теорема практически непосредственно вытекает из самого определения совершенного числа п как суммы собственных делите­лей. Очевидно, что сумма всех делителей такого числа равна 2п. Пусть а,Ь,с,— все делители совершенного числа. Тогда можно за­писать равенство таким образом:


п п п -—I—I—h... = 2лг.

а Ъ с


Разделив все члены на я, получим:


111 ~ - + - + - + ... = 2.

а Ъ с


Верно и обратное. Если числа, обратные всем делителям числа я, в сумме дают 2, то это число — совершенное.

Два самых существенных вопроса, касающихся совершенных чисел, на которые пока не найдено ответа: существуют ли нечет­ные совершенные числа и бесконечен ли ряд четных совершен­ных чисел? Пока не найдено ни одного нечетного совершенного числа, однако и не доказано то, что такие числа не существуют. (Брайант Такерман в 1967 году показал, что если нечетное совер­шенное число существует, то оно должно быть больше 10³⁶.) Ответ на второй вопрос зависит от того, бесконечно ли множество про­стых мерсенновых чисел, так как каждое такое число непосредст­венно связано с соответствующим совершенным числом. Если подставить в формулу 2^п — 1 вместо п первые четыре мерсенновых простых числа (3, 7, 31 и 127), в результате получатся более круп­ные мерсенновы числа. Более семидесяти лет математики надея­лись, что эта процедура в конечном итоге приведет к установле­нию бесконечности ряда мерсенновых чисел. Однако очередное выражение, где « = 2¹³ — 1 = 8191, повергло их в уныние. В 1953 го­ду на ЭВМ было рассчитано, что 2⁸¹⁹¹ — 1 не является простым числом. Никто не знает, продолжается ли ряд мерсенновых про­стых чисел бесконечно или имеет свой предел.

^ В своей книге Number Theory and Its History («Теория чисел и её история») Остен Ор приводит кажущееся весьма разумным пред­сказание Питера Барлоу, взятое им из книги этого автора. Книга Питера Барлоу Theory of Numbers («Теория чисел») увидела свет в 1811 году. Приводя девятое совершенное число, Барлоу добавляет: «Это самое крупное из совершенных чисел, которые будут найдены, так как, учитывая полное отсутствие области их практического при­менения, маловероятно, чтобы кто-нибудь стал утруждаться вычис­лением больших, чем данное, совершенных чисел». В 1876 году французский математик Эдуар Люка, автор классического четырёх­томного труда по занимательной математике, объявил о нахожде­нии следующего совершенного числа, 2¹²⁶(2¹²⁷ — 1). Двенадцатое мерсенново число, на основе которого оно было вычислено, на один меньше, чем число зерен, соответствующее последней клетке второй шахматной доски, если продолжать заполнять её по тому же алгоритму, что и первую. Позднее Люка усомнился в этом числе, од­нако впоследствии было доказано, что оно действительно простое. Это самое большое из мерсенновых чисел, найденное без помощи современных ЭВМ.

На рис. 71 приведены формулы для 24 известных совершенных чисел, число знаков в каждом из них и несколько самих чисел, размеры которых позволяют поместить их в таблицу. Двадцать третье совершенное число появилось на свет в 1963 году, когда с помощью ЭВМ в Иллинойском университете было найдено двад­цать третье мерсенново число. Математический факультет уни­верситета был так горд своим открытием, что долгие годы после этого это число красовалось на почтовых штемпелях этой органи­зации (см. рис. 72, вверху). В 1971 году в исследовательском цен­тре компании IBM, расположенном в Йорктаун-Хайтс в Нью-