Курс лекций для студентов специальности 140104 «Промышленная теплоэнергетика» москва 2010

Вид материала

Курс лекций

Содержание 9.4. Численные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка

Подобный материал:

• Курс лекций для студентов специальности 140104 «Промышленная теплоэнергетика» москва, 1244.1kb.
• Курс лекций для специальности 140104 «Промышленная теплоэнергетика» москва 2011, 1206.2kb.
• Курс лекций для специальности 140104 «Промышленная теплоэнергетика» москва 2011, 2337.25kb.
• Курс лекций для студентов специальности 140104 «Промышленная теплоэнергетика», 1246.47kb.
• Рабочая программа для студентов Vкурса по специальности 140104 промышленная теплоэнергетика, 69.12kb.
• Рабочая программа для студентов IV курса специальности 100700 промышленная теплоэнергетика, 243.31kb.
• Рабочая программа для студентов Vкурса специальности 290800. Промышленная теплоэнергетика, 63.46kb.
• Учебно-методический комплекс по дисциплине «экономика» Для студентов специальностей:, 1055.87kb.
• Нисаев Игорь Петрович, д т. н., профессор учебно-методический комплекс, 329.37kb.
• Нисаев Игорь Петрович, д т. н., профессор учебно-методический комплекс, 356.38kb.

^

9.4. Численные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения

(9.1)

Нормальная форма дифференциального уравнения

(9.2)

где

y=y(x) -неизвестная функция, подлежащая определению,

f(x,y) - правая часть дифференциального уравнения в нормальной форме, равная первой производной функции y(x). В функцию f(x,y) помимо аргумента x входит и сама неизвестная функция y(x).

Пример:

- общий вид дифференциального уравнения первого порядка,

- нормальная форма этого же уравнения.

Если неизвестная функция у зависит от одного аргумента x, то дифференциальное уравнение вида



называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Если функция у зависит от нескольких аргументов, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения



является семейство функций у=у(х,с) (рис 9.8):



Рис. 9.8. Семейство функций


При решении прикладных задач ищут частные решения дифференциальных уравнений. Выделение частного решения из семейства общих решений осуществляется с помощью задания начальных условий:

(9.3)

т.е. начальной точки с координатами (х₀, у₀).

Нахождение частного решения дифференциального уравнения

(9.2)

удовлетворяющего начальному условию

(9.3)

называется задачей Коши.

В численных методах задача Коши ставится следующим образом: найти табличную функцию которая удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению (9.2) и начальному условию (9.3) на отрезке [a, b] с шагом h, то есть найти таблицу:

i	x	y
0	x0	y0
1	x1	y1
2	x2	y2
3	x3	y3
...	...	...
n	xn	yn

Здесь

h - шаг интегрирования дифференциального уравнения,

a=x₀ - начало участка интегрирования уравнения,

b=x_n - конец участка,

n=(b-a)/h - число шагов интегрирования уравнения.

На графике (рис 9.9) решение задачи Коши численными методами представляется в виде совокупности узловых точек с координатами (x_i ,y_i), .



Рис. 9.9. Решение задачи Коши