3 Сглаживание экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов
Вид материала | Исследование |
- Метод наименьших квадратов, 238.98kb.
- А. Ю. Власов доцент, к Х. н. Математическая обработка результатов эксперимента, 36.78kb.
- «Математические методы в химии» Общая трудоёмкость дисциплины составляет, 22.21kb.
- Построение параболы по методу наименьших квадратов, 23.07kb.
- Одним из важнейших направлений астрономии в течение последнего времени является обработка, 72.97kb.
- И. А. Пахнутов Рассмотрены вычислительные аспекты обобщенного метода наименьших квадратов, 39.76kb.
- Альтернативные подходы к измерению бедности в регионах России, 36.92kb.
- Вопросы к экзамену по дисциплине Психология зависимостей, 67.98kb.
- Лабораторная работа по теме: метод наименьших квадратов, 231.91kb.
- Ф. И. Эджоурт один из известнейших ученых, первый кто попытался применить методы, которые, 243.09kb.
3.3. Сглаживание экспериментальных зависимостей методом
наименьших квадратов
Пусть проводится некоторый опыт, целью которого является исследование зависимости определённой физической величины от другой (





Предположим сначала, что зависимость



Возникает естественный вопрос, как, не зная зависимости

Простое проведение через все экспериментальные точки некоторой кривой, являющейся графиком определённой функции, лишено смысла. Вид этой зависимости будет меняться от одной серии измерений к другой, а в некоторых случаях её в принципе нельзя получить (несколько экспериментальных точек могут иметь одинаковые абсциссы и разные ординаты). В этом случае возникает типичная для практики задача сглаживания экспериментальных зависимостей, то есть требуется найти такую функцию



К счастью, обычно ситуация облегчается тем, что из теоретических или других соображений, связанных с существом рассматриваемой задачи, и даже по полученному экспериментальному материалу можно указать вид функциональной зависимости


Итак, пусть имеются результаты








Экспериментальные точки отклоняются от этой зависимости вследствие неизбежных ошибок измерений. Ранее мы отмечали, что ошибки измерений распределены по нормальному закону. Рассмотрим некоторое значение независимой переменной







В результате получена n-мерная случайная величина


Теперь для определения параметров




Поскольку минимизируется сумма квадратов разностей экспериментальных и теоретических значений функции (их называют навязками), предложенную процедуру называют методом наименьших квадратов.
Задача сводится к решению двух уравнений:

Если функциональная зависимость (3.10) линейна относительно параметров


Пример 3.
Проведена серия опытов по определению влияния дозы внесённых удобрений на повышение урожайности пшеницы. Соответствующие данные приведены в первых трёх столбцах таблицы (


![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
1 | 0.342 | 2.10 | 0.1170 | 4.41 | 0.718 |
2 | 0.417 | 4.70 | 0.1739 | 22.09 | 1.960 |
3 | 0.675 | 6.05 | 0.4556 | 36.60 | 4.084 |
4 | 0.867 | 8.65 | 0.7517 | 74.82 | 7.500 |
5 | 1.000 | 10.00 | 1.0000 | 100.00 | 10.000 |
6 | 1.158 | 12.60 | 1.3410 | 158.76 | 14.591 |
7 | 1.283 | 12.08 | 1.6461 | 145.93 | 15.499 |
8 | 1.500 | 14.68 | 2.2500 | 215.50 | 22.020 |
9 | 1.733 | 16.65 | 3.0033 | 277.22 | 28.854 |
10 | 2.008 | 19.25 | 4.0321 | 370.56 | 38.654 |
11 | 2.083 | 19.98 | 4.3389 | 399.20 | 41.618 |
12 | 2.242 | 23.20 | 5.0266 | 538.24 | 52.014 |
13 | 2.508 | 23.93 | 6.2901 | 572.64 | 60.016 |
![]() | 1.370 | 13.37 | 2.3405 | 224.31 | 22.887 |
Требуется по методу наименьших квадратов подобрать линейную функцию, выражающую


Решение. Искомые величины связаны линейной зависимостью


а система уравнений (3.14) представляется в виде:

Раскрывая скобки и группируя, в результате получаем следующую систему линейных уравнений для определения



Решая эту систему методом исключения (Гаусса), в итоге получаем:

Во многих приложениях часто используются зависимости вида






