Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики и информационных технологий

Вид материала

Рабочая программа

Содержание Рабочая программа Цели и задачи изучения дисциплины. 2 5.Темы для практических занятий 5 Цели и задачи изучения дисциплины. Требования к уровню освоения дисциплины ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ Объем дисциплины и виды учебной работы Вид учебной работы В т.ч. по семестрам Распределение часов по темам и видам учебной работы Название и разделов и тем Аудиторные занятия Темы для практических занятий Примерный перечень контрольных вопросов по подготовке к экзамену

Подобный материал:

• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 87.22kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 257.97kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 49.58kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 153.33kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 134.61kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 167.1kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 145.38kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 115.43kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученый совет факультета математики и информационных, 225.65kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученый совет факультета математики и информационных, 193.23kb.

УТВЕРЖДЕНО Ученым советом факультета математики и информационных технологий Протокол №________ от «____»_________2008 г. Председатель __________________А.А. Бутов (подпись, расшифровка подписи)

^ Рабочая программа

Дисциплина:	с/к Линейные алгебры и их тождества (4 курс)
Кафедра:	Алгебро-геометрических вычислений ____(АГВ)____ (аббревиатура)

Специальность (направление): 01.01.00 математика____________________________

(код специальности (направления), полное наименование)


Дата введения в учебный процесс УлГУ: «_____» ___________ 2008 г.


Сведения о разработчиках:

ФИО	Аббревиатура кафедры	Ученая степень, звание
Петроградский Виктор Михайлович	АГВ	д.ф.м.н., доцент

	Заведующего кафедрой
	Мищенко С.П. /_____________/ (ФИО) (Подпись) «______»__________ 2008 г.

Оглавление

^

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

Учебная дисциплина «Линейные алгебры» является одним из специальных курсов, изучаемых студентами старших курсов, обучающихся на специальностях математического профиля. Она является обязательной общепрофессиональной дисциплиной

Дисциплина «Линейные алгебры» базируется на знаниях и умениях, полученных студентами на первых трех курсах.

1. Цели

Целями учебной дисциплины являются:

1. овладение углубленными знаниями по теории линейных алгебр
   
2. развитие навыков решения задач по теории линейных алгебр
   

2. Задачи

Основными задачами учебной дисциплины являются:

• формирование у будущих математиков фундаментальных знаний об основах теории строения линейных алгебр и их тождеств
  
• приобретение студентами навыков и умений по решению основных задач по теории линейных алгебр и их приложений
  

2. ^

   ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате изучения дисциплины «Линейные алгебры» студенты должны

знать:

• различные примеры ассоциативных алгебр
  
• различные примеры алгебр Ли
  
• теорию перечисления Пойа и ее приложения
  
• тожества в различных классах линейных алгебр
  
• применение диаграмм Юнга и представлений симметрической группы
  

уметь:

• находить тождества в линейных алгебрах
  
• находить производящие функции для градуированных алгебр
  
• вычислять цикловые индексы конечных групп
  
• применять теорему Пойа в перечислительных задачах комбинаторики
  
• применять теорию диаграмм Юнга и представлений симметрической группы для изучения тождеств линейных алгебр
  

3. ^

   ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ

1. Объем дисциплины и виды учебной работы:

^ Вид учебной работы	Количество часов (форма обучения очная__)
	Всего по плану	^ В т.ч. по семестрам
		1	2	3
1	2	3	4	5
Аудиторные занятия:	72		72
Лекции	36		36
практические и семинарские занятия	36		36
Самостоятельная работа	72		72
Всего часов по дисциплине	144		144
Текущий контроль (количество и вид, контрольные работы)
Курсовая работа
Виды промежуточной аттестации (экзамен, зачет)	экзамен		экзамен

2. ^

   Распределение часов по темам и видам учебной работы:

Форма обучения ___очная____

^ Название и разделов и тем	Всего	Виды учебных занятий
		^ Аудиторные занятия		Самостоятельная работа
		лекции	практические занятия, семинар
1	2	3	4	5
1. Ассоциативные алгебры	16	8	8	16
2. Алгебры Ли	16	8	8	16
3. Абелевы группы	12	6	6	12
4. Теорема Пойа	12	6	6	12
5. Тождества	16	8	8	16
Итого	36	36	36	72

4. СОДЕРЖАНИЕ

Тема 1. Ассоциативные алгебры.


Примеры: кольца многочленов одной и многих переменных, формальные степенные ряды, ряды Лорана, поля рациональных функций. Матричные алгебры. Тензорное произведение алгебр. Свободная ассоциативная алгебра. Факторпространство. Факторалгебры. Ряды Гильберта-Пуанкаре для градуированных алгебр. Примеры: кольца многочленов, абсолютно свободные алгебры.


Тема 2. Алгебры Ли.


Примеры. Матричные алгебры Ли. Верхнетреугольная алгебра. Примеры трехмерной и двумерной алгебр Ли, gl_n(K), sl_n(K). Трехмерные простые алгебры Ли: sl₂(R) и алгебра Ли трехмерных векторов.


Тема 3. Абелевы группы.

Циклические группы. Конечные абелевы группы, их изоморфизмы. Строение конечно-порожденных абелевых групп.


Тема 4. Теорема Пойа.


Действие групп на множествах. Орбиты. Стабилизаторы. Лемма Бернсайда. Теорема перечисления Пойа. Примеры цикловых индексов.


Тема 5. Тождества.


Применение диаграмм Юнга и представлений симметрической группы для изучения тождеств линейных алгебр. Алгебра Витта W₁. Выполнение в W₁ тождества s₄(x₀,x₁,x₂,x₃,x₄)=0. Рост тождеств для алгебры Витта W_k. Теорема Нагаты-Хигмана. Пример Голода-Шафаревича. Базис свободной метабелевой алгебры Ли. Ряд Гильберта свободной метабелевой алгебры.

5. ^

   ТЕМЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1. Простота алгебр Ли W_1, W_k, sl₂(R), sl_n(K), алгебры Ли трехмерных векторов.
   

2. Неизоморфность: трехмерная алгебра Ли: sl₂(С)
   

3. Вычисление рядов Гильберта-Пуанкаре для градуированных алгебр. Примеры: кольца многочленов, абсолютно свободные алгебры.
   

4. Вычисление цикловых индексов конечных групп и применение теоремы Пойа.
   

5. Применение диаграмм Юнга и представлений симметрической группы для изучения тождеств линейных алгебр.
   

6. ^

   ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ

ПРОГРАММА

1. Ассоциативные алгебры. Примеры: кольца многочленов одной и многих переменных, формальные степенные ряды, поля рациональных функций. Матричные алгебры. Тензорное произведение алгебр. Свободная ассоциативная алгебра.
   

2. Алгебры Ли. Примеры. Матричные алгебры Ли. Верхнетреугольная алгебра. Примеры трехмерной и двумерной алгебр Ли, gl_n(K), sl_n(K). Трехмерные простые алгебры Ли: sl₂(R) и алгебра Ли трехмерных векторов.
   

3. Факторпространство. Факторалгебры.
   

4. Ряды Гильберта-Пуанкаре для градуированных алгебр. Примеры: кольца многочленов, абсолютно свободные алгебры.
   

5. Циклические группы. Конечные абелевы группы, их изоморфизмы.
   

6. Строение конечно-порожденных абелевых групп.
   

7. Лемма Бернсайда. Теорема перечисления Пойа.
   

8. Примеры цикловых индексов.
   

9. Теорема Нагаты-Хигмана.
   

10. Пример Голода-Шафаревича.
    

11. Применение диаграмм Юнга и представлений симметрической группы для изучения тождеств линейных алгебр.
    

12. Алгебра Витта W₁.
    

13. Выполнение в W₁ тождества s₄(x₀,x₁,x₂,x₃,x₄)=0.
    

14. Алгебра Витта W_k, рост ее тождеств.
    

15. Базис свободной метабелевой алгебры Ли.
    

16. Ряд Гильберта свободной метабелевой алгебры.
    

7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.

1. Рекомендуемая литература:

1. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Москва. Наука. 1977.
   
2. С. Ленг. Алгебра. Москва. Мир. 1968.
   
3. Ю.А. Бахтурин Тождества в алгебрах Ли. М., Наука, 1985.
   
4. Ф. Харари, Э.Палмер Перечисление графов. М.Мир, 1977.