Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики и информационных технологий

Вид материала

Рабочая программа

Содержание Рабочая программа Специальность (направление): 010101 Математика . Цели и задачи изучения дисциплины. 2 Цели и задачи изучения дисциплины. Требования к уровню освоения дисциплины Объем дисциплины и виды учебной работы Всего по плану Распределение часов по темам и видам учебной работы Название и разделов и тем Аудиторные занятия Темы практических занятий Примерный перечень контрольных вопросов по подготовке к зачету

Подобный материал:

• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 87.22kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 257.97kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 49.58kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 153.33kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 167.1kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 113.21kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 145.38kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученым советом факультета математики, 115.43kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученый совет факультета математики и информационных, 225.65kb.
• Ф-рабочая программа по дисциплине утверждено ученый совет факультета математики и информационных, 193.23kb.

УТВЕРЖДЕНО Ученым советом факультета математики и информационных технологий Протокол №________ от «____»_________20___ г. Председатель __________________ (подпись, расшифровка подписи)

Рабочая программа

Дисциплина:	Теория чисел
Кафедра:	Алгебро-геометрических вычислений ____(АГВ)____ (аббревиатура)

Специальность (направление): 010101 Математика .

(код специальности (направления), полное наименование)


Дата введения в учебный процесс УлГУ: «_____» ___________ 20___ г.


Сведения о разработчиках:

ФИО	Аббревиатура кафедры	Ученая степень, звание
Самойлов Леонид Михайлович	АГВ	к.ф.-м.н.

	Заведующего кафедрой
	Мищенко С.П. /_____________/ (ФИО) (Подпись) «______»__________ 20___ г.

Оглавление

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

Учебная дисциплина «Теория чисел» является одним из специальных курсов, изучаемых студентами второго курса, обучающихся по специальности “Компьютерная безопасность”.

Дисциплина «Теория чисел» базируется на знаниях и умениях, полученных студентами на первом курсе в процессе изучения следующих дисциплин: линейная алгебра, алгебра, математический анализ.


Цели

Целями учебной дисциплины являются:

1. овладение основными знаниями по теории чисел;
   
2. развитие навыков решения теоретико-числовых задач.
   

2. Задачи

Основными задачами учебной дисциплины являются:

• формирование у будущих математиков комплексных знаний о теории чисел
  
• приобретение студентами навыков и умений по решению теоретико-числовых задач
  

1. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате изучения дисциплины «Теория чисел» студенты должны знать:

• Определения и свойства простых и взаимно простых чисел
  
• Алгоритм Евклида и линейное разложение НОД
  
• Докзательство однозначности разложения на простые множители
  
• некоторые частные случаи теоремы Дирихле о бесконечности множества простых чисел в арифметической прогрессии
  
• основные теоретико-числовые функции, в том числе мультипликативные функции; функция Эйлера; сумма делителей и число делителей
  
• сравнения и их основные свойства; вычеты и классы вычетов по модулю m; кольца классов вычетов; полная система вычетов; приведенная система вычетов; теорема Эйлера и Ферма;
  
• решение сравнений первой и второй степени;
  
• первообразные корни и индексы;
  
• понятие об алгебраических и трансцендентных числах: алгебраические и трансцендентные числа; теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными числами; существование трансцендентных чисел.
  

уметь:

• решать теоретико-числовые задачи
  

1. Объем дисциплины и виды учебной работы:

Вид учебной работы	Количество часов (форма обучения очная__)
	Всего по плану	В т.ч. по семестрам
		1	2	3
1	2	3	4	5
Аудиторные занятия:	72	72
Лекции	36	36
практические и семинарские занятия	36	36
Самостоятельная работа	28	28
Всего часов по дисциплине	100	100
Текущий контроль (количество и вид, контрольные работы)
Курсовая работа
Виды промежуточной аттестации (экзамен, зачет)	зачет	зачет

2. Распределение часов по темам и видам учебной работы:

Форма обучения ___очная____

Название и разделов и тем	Всего	Виды учебных занятий
		Аудиторные занятия		Самостоятельная работа
		лекции	практические занятия, семинар
1	2	3	4	5
1. Простые числа	12	4	6	5
2. Арифметические функции.	16	6	6	5
3. Числовые сравнения.	30	10	10	8
4. Первообразные корни и индексы.	22	10	8	5
5. Понятие об алгебраических и трансцендентных числах.	20	6	6	5
Итого	100	36	36	28

2. СОДЕРЖАНИЕ

Тема 1. Предмет курса.

Краткий исторический обзор развития теории чисел; основные направления исследований и основные методы; влияние теории чисел на развитие других разделов математики; применение теоретико-числовых результатов в математике и ее приложениях; роль русских и советских математиков в развитии теории чисел;


Тема 2. Простые числа.

Свойства делимости целых чисел; простые числа; решето Эратосфена; теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел; основная теорема арифметики о разложении целых чисел на простые сомножители; наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное ; некоторые частные случаи теоремы Дирихле о бесконечности множества простых чисел в арифметической прогрессии;


Тема 3. Арифметические функции.

Целая и дробная часть числа; разложение числа n! на простые множители; суммы, распространенные на делители числа; мультипликативные функции; функция Эйлера и ее свойства; сумма делителей и число делителей; оценки Чебышева для функции числа простых чисел, не превосходящих х;


Тема 4. Числовые сравнения.

Сравнения и их основные свойства; вычеты и классы вычетов по модулю m; кольца классов вычетов; полная система вычетов; приведенная система вычетов; теорема Эйлера и Ферма; сравнения первой степени: сравнения с одним неизвестным; равносильные сравнения; решения сравнения; сравнения первой степени; теорема о существовании решений; простейшие приемы решений; системы сравнений, их решения; теоремы о решении систем сравнений первой степени; сравнения *n*-ой степени: сравнения *n*-ой степени по простому модулю; теоремы о равносильности сравнений; теорема о числе решений сравнения; теорема Вильсона; сравнения *n*-ой степени по составному модулю; сведение сравнения по составному модулю к системе сравнений по простому модулю; сравнения второй степени: сведение сравнений второй степени к вучленному сравнению; двучленные сравнения по простому модулю;


Тема 5. Первообразные корни и индексы.

Показатель числа по модулю m; свойства показателей; теорема о существовании первообразного корня по простому модулю; первообразные корни по модулям р и 2р ;

теорема об отыскании первообразных корней; индексы по модулям р и 2р ; таблицы индексов; двучленные сравнения n-ой степени; существование решений; степенные вычеты и невычеты n-ой и степени; число степенных вычетов; критерий для отыскания степенных вычетов; решение двучленных сравнений с помощью вычетов; решение показательных сравнений; условие принадлежности числа показателю и, в частности, к классу первообразных корней; число классов принадлежащих показателю; число классов

первообразных корней; арифметические приложения теории сравнений: отыскание остатков от деления некоторого числа на заданное число; установление признаков делимости чисел;


Тема 6. Понятие об алгебраических и трансцендентных числах.

Алгебраические и трансцендентные числа; теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными числами; существование трансцендентных чисел. Иррациональность числа е.

3. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1. Применение однозначности разложения на множители.
   
2. Алгоритм Евклида и линейное разложение НОД.
   
3. Решение диофантовых уравнений.
   
4. Сравнение. Решение сравнений различных степеней.
   
5. Применение сравнений.
   
6. Китайская теорема об остатках
   
7. Теорема Ферма и Эйлера
   
8. Первообразные корни и индексы.
   
9. Алгебраические и трансцендентные числа.
   

4. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТУ

1. Свойства делимости целых чисел; простые числа; решето Эратосфена; теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел;
   
2. Основная теорема арифметики о разложении целых чисел на простые сомножители;
   
3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное;
   
4. Некоторые частные случаи теоремы Дирихле о бесконечности множества простых чисел в арифметической прогрессии;
   
5. Целая и дробная часть числа; разложение числа n! на простые множители;
   
6. Суммы, распространенные на делители числа; мультипликативные функции;
   
7. Функция Эйлера и ее свойства;
   
8. Сумма делителей и число делителей; оценки Чебышева для функции числа простых чисел, не превосходящих х;
   
9. Сравнения и их основные свойства; вычеты и классы вычетов по модулю m; кольца классов вычетов; полная система вычетов; приведенная система вычетов;
   
10. Теорема Эйлера и Ферма;
    
11. Сравнения первой степени: сравнения с одним неизвестным; равносильные сравнения; решения сравнения; сравнения первой степени; теорема о существовании решений; простейшие приемы решений; системы сравнений, их решения; теоремы о решении систем сравнений первой степени;
    
12. Сравнения *n*-ой степени: сравнения *n*-ой степени по простому модулю; теоремы о равносильности сравнений; теорема о числе решений сравнения; теорема Вильсона;
    
13. Сравнения *n*-ой степени по составному модулю; сведение сравнения по составному модулю к системе сравнений по простому модулю; сравнения второй степени: сведение сравнений второй степени к вучленному сравнению; двучленные сравнения по простому модулю;
    
14. Свойства показателей; теорема о существовании первообразного корня по простому модулю;
    
15. Первообразные корни по модулям р и 2р;
    
16. Теорема об отыскании первообразных корней; индексы по модулям р и 2р ; таблицы индексов;
    
17. Двучленные сравнения n-ой степени; существование решений; степенные вычеты и невычеты n-ой и степени; число степенных вычетов; критерий для отыскания степенных вычетов; решение двучленных сравнений с помощью вычетов; решение показательных сравнений; условие принадлежности числа показателю и, в частности, к классу первообразных корней; число классов принадлежащих показателю; число классов первообразных корней;
    
18. Арифметические приложения теории сравнений: отыскание остатков от деления некоторого числа на заданное число; установление признаков делимости чисел;
    
19. Алгебраические и трансцендентные числа; теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными числами; существование трансцендентных чисел.
    
20. Иррациональность числа е.
    

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.

1. Рекомендуемая литература:

И.М. Виноградов, Основы теории чисел. М:Просвещение, 1970.

А.А. Бухштаб, Теория чсиел. М:Просвещение, 1966.