Линейные уравнения Содержание Введение Глава 1

Вид материала

Реферат

Содержание Корни действительные и различные: k =/= k Корни действительные и равные: k

Подобный материал:

• Синявская средняя общеобразовательная школа, 63.47kb.
• Задача Коши для одномерного уравнения Даламбера. Формула Даламбера, 45.74kb.
• Тема: Уравнение с двумя переменными. Цели урока, 251.03kb.
• Учебно-методический комплекс по дисциплине Линейные и нелинейные уравнения физики (Методы, 325.5kb.
• Дифференциальные уравнения, 23.51kb.
• Уравнения математической физики направление подготовки, 18.02kb.
• Обыкновенные дифференциальные уравнения, 17.54kb.
• Автор Горбань Валерий (соsmoglot). Украина Парадигма мироздания. Содержание: Глава, 163.17kb.
• Методика изучения уравнений в курсе алгебры 7-9 классов Примерное содержание, 12.53kb.
• Содержание Введение 4 Глава, 849.58kb.

Линейные уравнения


Содержание


Введение


Глава 1. Понятие и решение линейных уравнений


Глава 2. Линейные однородные уравнения и их основные свойства


Глава 3. Линейные уравнения высших порядков


Заключение


Список использованной литературы


Введение


Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида (x – 1)² = (x – 1)(x – 1) выполняется при всех значениях переменной x. Для обозначения тождества часто вместо обычного знака равенства = пишут знак , который читается «тождественно равно». Тождества используются в алгебре при записи разложения многочленов на множители (как в приведенном выше примере). Встречаются они и в тригонометрии в таких соотношениях, как sin2x + cos2x = 1, а в общем случае выражают формальное отношение между двумя на первый взгляд различными математическими выражениями.

Если уравнение, содержащее переменную x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.

Линейное уравнение это алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид: ax= b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами линейных уравнений.


Глава 1. Понятие и решение линейных уравнений


Как уже упоминалось во введении, линейное уравнение есть алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных.

Линейные уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.

1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.

2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.

3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.

4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.

Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

a_o(x)e⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n-1) + ...+a_n-_l(x)y' + a_a{x)y=r(x), (1)

где a_i(x) (i = 0, 1, ..., п) и r(х) — известные функции, непрерывные при всех допустимых значениях x; у — искомая функция аргумен­та x; y`⁽ⁿ⁾ — ее производные по х.

Заметим, что искомая функция и ее производные входят в урав­нение (1) в первой степени, поэтому его и называют линейным.

Функция r(х), входящая в линейное уравнение (1), называется правой частью.

Определение 1. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным (или уравнением без правой части), если r(x) = 0.

Запишем уравнение (1) в другой, форме. Разделим все члены этого уравнения на a_o(x) и обозначим новые коэффициенты через

a_i(x) = a_i(х) / а₀(х) (I = 1, ...n), а новую правую часть — через f(x)= r(х) /а₀(х)/

Тогда уравнение (1) запишется в виде

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n-1) + … + a_n-1(x)y` + a_n(x)y = f(x) (2)

а соответствующее ему однородное уравнение — в виде

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n-1) + … + a_n-1(x)y` + a_n(x)y = 0 (3)


Глава 2. Линейные однородные уравнения и их основные свойства


Рассмотрим уравнение

y`` + p(x)y` + q(x)y = 0 (4)

где р(х) и q(x) — функции, непрерывные при всех допустимых зна­чениях х. Уравнение (4) является линейным однородным уравне­нием вида (3), где п = 2, а₁(х)=р(х), а₂(х)=а(х). Оно имеет оче­видное решение y(x)=0 (нулевое решение), для которого y' = 0, y`` = 0 и уравнение (4) обращается в тождество. Интерес представ­ляет отыскание ненулевых решений уравнения (4).

Пусть у₁=у₁(х), у₂ = y₂(x) — два решения уравнения (4), отлич­ные от нулевого.

Определение 2. Два решения у₁ и y₂ уравнения (4) называ­ются линейно зависимыми, если существуют постоянные a₁ и а₂, не обращающиеся одновременно в нуль и такие, что при любом зна­чении х справедливо соотношение

A₁y₂(x) + a₂y₂(x) = 0 (5)

Если же таких чисел a₁ и а₂ не существует, т. е. тождество (5) справедливо только при a₁ = a₂ = 0, то решения у₁ и у₂ называются линейно независимыми.

Общее решение уравнения (4) удается найти не во всех случаях. Однако в частном случае, когда уравнение (4) имеет вид

y `` + py` + qy = 0 (6)

где р и q — постоянные, его общее решение можно найти всегда. Уравнение (6) называется линейным однородным дифференциаль­ным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Будем искать его решение в виде y — e^kx, где k — некоторое пока не­известное число (действительное или мнимое). Тогда y' = ke^kx, у" = k²e^kx. Подставив эти выражения в уравнение (6) и разделив обе его части на общий множитель e^kx, отличный от нуля для всех х, получим

k₂ + pk + q = 0 (7)

Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения (6). Его корни находятся по формуле

k_1,2 = - p/2 ± √ p²/4 – q (8)

В зависимости от характера корней уравнения (7) получаются различные общие решения уравнения (6). Рассмотрим возможные случаи.

1. Корни действительные и различные: k =/= k₂. В этом случае частными решениями уравнения (6) являются y1 = еk1x, у2 = еk2x. Как было показано, эти решения линейно незави­симы. Следовательно, общее решение уравнения (6) имеет вид

y = C¹e_k1x + C₂e_k2x

2. Корни действительные и равные: k₁ = k₂ = k. В этом случае одно частное решение имеет вид y₁ = e_kx. Если взять y₂ = e_kx , то ре­шения у₁ и y₂ окажутся линейно зависимыми. Поэтому второе частное решение находим по формуле (5) и получаем y₂ = x e_kx. Решения у₁ и у₂ линейно незави­симы. Следовательно, общее решение уравнения (6) имеет вид

у = e_kx (С₁ + C₂x). (9)

3. Корни комплексные: k₁ = a + ib, k₂ = a – ib, где a = - p/2 – действительная, аβ = √q – P2/4 – мнимая часть комплексного числа.

Легко проверить, что в этом случае линейно независимыми реше­ниями уравнения (6) являются частные решения у1=е^ах sin βx и у₂ = е^ах cos βx . Следовательно, общее решение уравнения (12) имеет вид

Y = е^ах (C₁ sin βx + C₂cos βx). (10)

Таким образом, решение линейного дифференциального уравне­ния с постоянными коэффициентами (6) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (7), которое легко соста­вить непосредственно по уравнению (8), если в нем заменить про­изводные соответствующими степенями показателя k.


Глава 3. Линейные уравнения высших порядков


Линейные уравнения высших порядков обладают аналогичными свойствами, что и те линейные уравнения, которые мы рассматривали ранее. Сформули­руем их, не останавливаясь на доказательствах.

Рассмотрим линейное однородное уравнение п-го порядка ви­да (3):

y⁽ⁿ) + a₁(x)y^(n-1) +... + a_n-1(x)y` + a_n(x)y = 0

Частные решения у₁, y₂, … y_n, уравнения (3) называются линейно независимыми, если между ними не сущест­вует тождественного относительно х соотношения

A₁y₁ + a₂y₂ + … + a_ny_n = 0

где постоянные a₁, а₂, ..., а_n одновременно не обращаются в нуль. Если у\, г/2, ..-, уп — линейно независимые частные решения урав­нения (3), то его общее решение задается формулой

y = C₁y₁ + C₂y₂ + … C_ny_n, (11)

где С₁ С₂, ..., С_n — произвольные постоянные.

Если коэффициенты а₁, а₂, ..., а_п уравнения (3) постоянны, то его частные решения у₁, у₂, ..., у_п находятся с помощью характери­стического уравнения

kⁿ + a₁k^n-1 + … + a_n-1k+a_n = 0 (12)

При этом каждому действительному корню k уравнения (12), имею­щему кратность т, соответствуют т частных решений вида e^kx, x^m-1, ..., x^m-1 e^kx уравнения (3).


Заключение


Подведем итог вышесказанному.

Уравнения служат мощным средством решения практических задач. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными.

Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x, можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.

Теория линейных уравнений получила развитие после возникновения учения об определителях и матриц. Понятие линейности переносится с алгебраических уравнений на уравнения из других областей математики (напр., линейное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят линейно, т. е. в 1-й степени).

Вместе с тем, линейное уравнение и проблемы его решения – составляют один из множества разделов современной математической науки.


Список использованной литературы


1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифферен­циальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1984.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифферен­циальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного перемен­ного. – М.: Наука, 1985.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. – М.: Наука, 1982, 1987.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая матема­тика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1986.

5. Еругин Н.П. Книга для чтения по дифференциальным уравнениям. – Минск: Высшая школа, 1979.

7. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. / Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1978.

8. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1981.

9. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы матема­тического анализа. / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1981.

10. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – М.: Наука, 1985.