Материалы для лекций и семинарских занятий для магистрантов ммф новосибирск

Вид материала

Семинар

Содержание 40. Locus classicus, посвященное этому вопросу, — Куайн, 53, I. Поиски новой философии математики. Способ бытия математических объектов

Подобный материал:

• Программа для магистрантов ггф, фен новосибирск, 4241.1kb.
• Планы лекций и семинарских занятий по философии для студентов Методические указания, 397.15kb.
• Планы лекций и семинарских занятий по истории и философии науки для аспирантов и соискателей, 255.33kb.
• Календарно-тематический план лекций и семинарских занятий по дисциплине «Экономика», 107.26kb.
• Семинарских занятий Методические рекомендации для студентов 4 курса специальности «Филология», 734.33kb.
• Планы семинарских занятий по курсу политика доходов и заработной платы для студентов, 119.9kb.
• Планы семинарских занятий по этнологии Китая Тематический план практических занятий, 103.66kb.
• Методические указания для семинарских занятий Для студентов по специальности, 449.35kb.
• Методические указания для проведения семинарских занятий по дисциплине «Реклама в социально-культурном, 493.86kb.
• Методические указания к проведению семинарских занятий по дисциплине «Психология, 426.05kb.

, 17 (1952), 130—133.

3. Манеру выражаться (франц.). — Прим. перев.

4. На первый взгляд (лат.). —Прим, перев.

5.То есть —для какого-либо данного бинарного отношения R —такое отношение между х и у, которое равносильно наличию цепочки х_ь х₂, .... Xk (fe>2), где **=*, x_k*=-{f и для всех i, !R(x_it Jt,-+i); см., например, Гудстейн, 57, стр. 138 русского издания, т- Прим. перев.

6. Ср. Гудмен — Куайн, 47; Гудмен, 51, 56; Куайн, 53.

7. См. Гудмен, 51, стр. 37 и сл.

8. О причинах безнадежности нахождения для (какой-нибудь формы) аксиомы бесконечности такой интерпретации, которая удовлетворила бы финитистски настроенных номиналистов, см. Генкин, 53а, стр. 27.

9. Ср. Гудмен — Куайн, 47.

10. Подробное обсуждение современного состояния очень близкого вопроса — статуса теоретических понятий в эмпирических науках — см. у Карнапа, 56, и в упоминавшейся выше (стр. 385, примечание 2) статье Хемпела.

11. Генкин, 53а, стр. 28.

12. См. Карнап, 50а, 56, Алстон, 58, Иссман, 58. Можно ожидать, что материалы готовящегося к печати сборника “The philosophy of Rudoff Carnap» — The Library of Living philosophers — внесут существенный вклад в такого рода необходимое разъяснение.

13. Обсуждение этого вопроса, так же как и всего круга проблем, рас­сматриваемых в данном пункте, см. у Бета, 56, стр. 41 и ел

14. Противоречие по определению; противоречивое свойство (лат.).— Прим. перев.

15. Подобные случая могут быть объяснены эволюцией науки: номинали-­
стические тенденции в свое время привели к логицизму, а впоследствии
логицизм уже стал рассматриваться как разновидность платонизма, и т. п.—
Прим. ред. /
16. *Хан, 7, 9, 10.

17. Ср. Куайн, 53, стр. 122—123.

18. Куайн, 53, стр. 129 [буквально: «... не вкусил лотоса с платонистами» (идиома lotus-eater («поедатель лотоса») имеет два значения: 1) праздный мечтатель, 2) человек, живущий в свое удовольствие. — Перев.].

19. Куайн, 53, стр. 129.

20. Ср., например, Тарский, 56, стр. 62.

21. [Курсив добавлен при переводе; в оригинале ^эsets-of '. — Перев.] Чрезвычайно ясное описание этого оттенка номинализма и убедительная защита его непривычных утверждений от всяческих нападок изложены в статье Гудмена, 56.

22. См. Карнап, бОа.

23. Ср. между собой последние параграфы книги Карнапа, 50а, и вторую статью из сборника Куайна, 53 (стр. 46) .

24. Аналогичное отождествление, касающееся эмпирических предложений, идёт еще от Пирса и в качестве верификационного критерия-смысла играло важнейшую роль в начальной стадии развития логического эмпиризма. Об истории этого вопроса см., например, *Карнап, 18.

25. Классическим изложением этой теории может служить книга Гуд-
стейна, 57. Не предполагается никакой предварительной основы, даже про-­
позиционального исчисления. Ср. также Гудстейн, 54; по поводу стоящей за
этой теорией философии см. Гудстейн, 52.

26. Уже отмечалось, что ответственность за возникновение антиномий ле­жит (если принимается положительное исчисление предикатов) не на упо­треблениях закона исключенного третьего, а на неограниченном употреблении аксиом свертывания. — Прим. ред.

27. См. Карнап, 37, стр. 46.

28. Лоренцен, 55, стр. 6.

29. Или, еще вернее, они получаются в результате акта абстракции от эквиполлентных пропозициональных форм — всем эквиполлентным фор­мам соответствует одно и то же множество.

30. Взгляды Карри претерпевали с годами значительные изменения. Кро­ме того, многие из его работ были опубликованы (из-за второй мировой войны) гораздо позднее времени их написания, иногда уже после опублико­вания более поздних сочинений. Эти обстоятельства (а также многократные изменения в терминологии) осложняют оценку вклада Карри в разработку проблем обоснования математики. Наш беглый очерк основывается главным образом на книге Карри, 51 (написанной еще в 1939 г.), содержание кото­рой было впоследствии изложено более сжато в статье Карри, 54.

31. Карри, 51, стр. 31.

32. Карри, 51, стр. 59 и сл.

33. Ср. Гильберт, 25, стр. 163 [стр. 340 русск. изд. Здесь Гильберт гово­рит буквально следующее: «... если, помимо доказательства непротиворечи­вости, может иметь смысл еще вопрос о законности некоторого мероприятия, то таким вопросом может быть только вопрос о том, сопровождается ли это мероприятие соответствующим успехом или нет. Действительно, успех здесь необходим; он является высшей инстанцией, перед которой преклоняется каждый». Насколько уместно делать из подобных высказываний заключения «о не столь уж принципиальном различии позиций» Карри и Гильберта, предоставляем судить читателю. — Перёв.].

34. Карри, 51, стр. 62.

35. Карри, 51, стр. 64.

36. Карнап, 37, стр. .51.

37. На Коллоквиуме по конструктивным проблемам математики (Амстер­дам, 1957).

38. Мостовский, 55, стр. 16 [стр. 13 русск. изд.. — Перевод. }•

39. Там же.

40. Locus classicus, посвященное этому вопросу, — Куайн, 53, I.

41. Такова точка зрения Карнапа, 56.

42. Майхилл, 52а; ср. Тюркетт, 50.

43. Отметим, что даже Рассел одно время выражался в том же духе, Так, в книге *Рассела, 5 (стр. 169), мы читаем: «Логика связана с реальным миром так же точно, как зоология, несмотря на присущие ей большую аб­страктность и большую общность». Разумеется, последняя оговорка возбуж­дает некоторые сомнения в серьезности расселовской манеры выражаться, oт которой он, во всяком случае, очень скоро отказался.

44. То есть арифметики. — Прим. перев.

45. Гёдель, 44, стр. 137; ср. также статью 47, уже цитированную нами на стр. 119—120, гл. II. Пояснение в квадратных скобках принадлежит не Геделю, а авторам настоящей книги, — Перев.]

46. Мостовский, 55, стр. 12 [стр. 11 русск. изд. — Перев.].

47. оригинале 'the'. — Прим. перев.

48. Мостовский, 55, стр. 19 [стр. 17 русск. изд; пояснение в квадратных скобках принадлежит авторам — Перев.].


В.В. Целищев

ПОИСКИ НОВОЙ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ.

ФИЛОСОФИЯ НАУКИ № 3 (11). 2001. Новосибирск, Стр. 135-147.


Традиционным описанием проблем философии математики явля­ется описание того состояния оснований математики и ее философии, которое явилось естественным завершением попыток преодолеть кри­зис в основаниях математики, развившийся в начале XX в. Этот уже почти хрестоматийный материал хорошо известен читателю даже в самом простом нетехническом преподнесении (см. например, превос­ходную книгу М. Клайна "Математика: утрата определенности"), не говоря уже о массе более технических изложений, каковы например, "Введение в философию математики" Г. Лемана (H.Lehman "Introduction to the philosophy of mathematics'') или же "Философия математики" С. Корнера (Korner S. "The philosophy of mathematics"). Существует много других книг, в которых излагается материал, в той или иной мере связанный с достижениями в математической логике и основаниях математики, и во всех этих книгах фигурируют одни и те же имена и одни и те же проблемы - логицизм Фреге и Рассела, интуиционизм Брауэра и Гейтинга, формализм Гильберта и Неймана. Довольно охот­но многие авторы соглашаются с мнением, которое четко было сфор­мулировано А. Мостовским: "...Философские цели трех школ не были достигнуты, и ... мы не ближе к полному пониманию математики, чем основатели этих школ. Вопреки этому, нельзя отрицать, что активность этих школ принесла огромное число новых важных открытий, кото­рые углубили наше познание математики и ее отношение к логике. Как часто случается, побочные продукты оказались более важными, чем исходные цели основателей трех школ" [1]. В результате этого боль­шая часть места в книгах отводится, с одной стороны, традиционно­му изложению взглядов трех школ, а с другой - интересным "побоч­ным" результатам. Таким образом, создается иллюзия того, что философия математики продолжает быть активной частью философии, хотя, как недавно выразился Х. Патнэм, «ничего это (три великих школы) уже не работает» [2].

Данная статья представляет собой почти нарратив читающего те­кущую прессу философа, и автор не готов подписаться почти ни под одним из крайних утверждений, о которых здесь рассказывается. Во-первых, он имеет свою собственную версию происходящего, а во-вто­рых, разделяет с рядом своих коллег другое предложение по улучше­нию ситуации в философии математики, в частности, поддерживает так называемый проблемно-ориентированный подход к основаниям математики [3]. Тем не менее обзоры такого рода полезны, с макси­мальным сохранением стиля и манеры тех авторов, точки зрения ко­торых достойны упоминания.

Определенная стагнация в этой области философии может быть оце­нена в сравнении с философией науки. В 30-40-х годах философия на­уки направлялась логическими позитивистами, влияние которых ослаб­ло лишь с появлением новых идей о решающей роли научной практики и исторических рассмотрений в науке. R. Xepш говорит, что "философия математики запоздала со своими Поппером, Куном, Лакатосом и Фейерабендом. Она запоздала с анализом того, что делают сами математики, и с соответствующими философскими рассмотрениями" [4].

В результате этого собственно философские утверждения о мате­матике стали менее интересными. Больше того, многие полагают, что сама философия математики представляет не фундаментальные про­блемы философии, а скорее, является результатом исторически слу­чайного взаимодействия философии и математики. Так, Хао Ван по­лагает, что "интерес философов к основаниям математики возник как результат той исторической случайности, что Рассел и Фреге правильно или неправильно связали некоторые области математики с философией... Тем не менее, с устойчивостью этого интереса следует считаться, хотя и сожалея о бедности философии" [5].

В любом случае общепринятым мнением философской коммуны является то, что в философии математики в настоящее время наблюдает­ся стагнация. Но не все так безнадежно, и в уже цитированной выше ра­боте Х. Патнэм дает краткий перечень устаревших и новых взглядов в философии математики:

логицизм (математика есть логика в чужом одеянии);

логический позитивизм (математические истины суть истины бла­годаря правилам языка);

формализм (теория множеств и неконструктивная математика суть просто "идеальное" - и само по себе бессмысленное - расширение "ре­альной" - конечной и комбинаторной - математики);

платонизм (согласно Геделю, реально существуют математичес­кие объекты, и человеческий ум имеет способность, отличающуюся в некоторой степени от восприятия, с помощью которой он приобрета­ет все лучшие интуиции относительно поведения таких объектов);

холизм (Куайн полагал, что математика должна рассматриваться не как отдельная наука, а как часть всей науки и что необходимость квантификации над математическими объектами в случае достаточно богатого языка для эмпирических наук есть наилучшее свидетель­ство для "постулирования множеств с той же серьезностью, с какой мы относимся ко всякому онтологическому постулированию"; множе­ства и электроны рассматривались Куайном на пару как нечто такое, что нужно постулировать в процессе научного исследования);

квазиэмпирический реализм (идея, о том, что есть нечто аналогич­ное эмпирическому исследованию в чистой математике);

модализм (мы можем переформулировать классическую матема­тику таким образом, что вместо разговора о множествах, числах и других объектах будем просто утверждать возможность или невозмож­ность определенных структур);

интуиционизм (принятие математических утверждений как зна­чимых, и в то же время отказ от реалистических посылок относитель­но истин, например, бивалентности) [6].

Сам Патнэм полагает, что следует отказаться от первых четырех на­правлений и продолжать исследования, которые представляют собой оп­ределенную смесь последних четырех направлений. Другие исследова­тели считают перспективными направления, которые в той или иной сте­пени пересекаются с этими последними, но в некотором смысле (в дру­гой классификации) являются самостоятельными направлениями. Так, Дж. Кетланд говорит о дополнении списка Патнэма еще четырьмя направ­лениями (полагая при этом, что в целом этот список, состоящий из 12 направлений, покрывает все направления в философии математики):

номинализм (программа Х. Филда);

структурализм (программа С. Шапиро и М. Резника);

натурализм (программа П. Мэдди);

предикативный конструктивизм (программа С. Фефермана) [7].

Несмотря на новые программы, все эти направления находятся в русле, если можно так выразиться, классической философии математики. Между тем возможен более радикальный взгляд на философию математики, который, как считает Р. Херш, больше соответствует духу того, что делают работающие математики. Он полагает, что в поворо­те философии математики по направлению к практике ряд философов высказали новые взгляды, суть которых состоит в следующем.

• Математика является человеческим предприятием и, стало быть, частью человеческой культуры. Значит, математика не есть описание фрегевских абстрактных концепций и вневременной объективной реальности.

• Математическое знание погрешимо. Подобно науке, математи­ка прогрессирует через ошибки и их исправление (Лакатос).

• Существуют различные версии доказательства и строгости в за­висимости от времени, места и множества других вещей. Использо­вание компьютеров в доказательстве есть нетрадиционная версия строгости.

• Эмпирические свидетельства, числовое экспериментирование, вероятностные доказательства помогают нам решать, во что верить в математике. Аристотелевская логика не является наилучшим способом решения этих проблем.

• Математические объекты суть специальный вид социально-культурно-исторических объектов. Мы можем выделить математику из литературы или религии. Тем не менее математические объекты являются общими культурными идеями, подобно литературным пер­сонажам или религиозным концепциям [8].

Столь радикальный отход от стандартов философии математики предполагает, конечно, в высшей степени ретроспективный и отстра­ненный взгляд на все предприятие, связанное с философией матема­тики. Херш атакует традиционную, доминирующую философию ма­тематики и предлагает "радикально новый гуманистический ответ на её вопросы: "От союза Математики и Религии в стране Науки произош­ло два дитяти, Платонизм и Основания, с притязаниями на знатность (математические истины суть вечные истины в уме Бога; интуиция, способность человека взаимодействовать с этими истинами может дать неоспоримые основания). После Канта брак распался, и религия была изгнана из страны Науки. Один из главных воспитателей Оснований, Евклидова Геометрия, была изгнана своими молодыми кузенами - Неевклидовыми Геометриями и ранена Анализом и Арифметизацией. Их отпрыск, Множество, обещал защитить детей, но не смог по причине своей нетвердости. Вопреки усилиям трех защитников - Лог(ицизма), Инт(уиционизма) и Форм(ализма), Основания умерли. Платонизм выжил, и несмотря на его теологические претензии и ана­фему гражданам Науки, доминирующая философия продолжала пре­доставлять ему убежище. Математика не должна, по заверениям гу­манистов, подчиняться диктату Платонизма. Она должна вести свою жизнь, сама определяя себе правила. С некоторыми заметными гума­нистическими исключениями (среди них - Аристотель, Локк, Витттенштейн, Лакатос, Китчер) доминирующая область включает традици­онную и современную философию математики" [9]. Херш, естествен­но, причисляет себя к гуманистам.

Следует сказать несколько больше относительно того, что же пред­ставляет собой так называемая гуманистическая математика. В целом ее можно отнести к новому модному направлению в философии - так называемому социальному конструированию, хотя гуманистическая математика является менее радикальным взглядом по сравнению с со­циальным конструированием. Дело в том, что признание математики просто человеческой активностью, с точки зрения гуманистической математики, вообще не имеет отношения к философии математики. Последняя усматривает скрытый смысл за пределами социально-историко-культурного контекста, который проявляется в неизменной онтологии математических объектов и вневременном характере мате­матических истин. Но если, как это утверждает гуманистическая ма­тематика, математическое познание погрешимо, тогда истина и онто­логия в математике изменяются по ходу познания.

Конфликт между гуманистической математикой и классической философией математики является достаточно глубоким, поскольку от­ражает не только недовольство стагнацией в философии математики, но и попытки радикального отделения философии от математики во­обще. Херш говорит, что зачастую нет смысла философствовать по поводу математики, ища в ней скрытый смысл. Все, что есть в мате­матике, - это деятельность работающих математиков, и поиски фило­софов по поводу того, что такое математика, не имеют отношения к деятельности математиков. Философия тут берет ложный след.

Ж.К. Рота идет еще дальше и дает объяснение тому факту, что фи­лософия пошла по неверному пути вообще, ассоциировав себя с ма­тематикой. Философия, подобно математике, опирается на аргумента­цию, поскольку обе науки используют логику. Но в отличие от обще­принятых стандартов у математиков стандарты аргументации у фило­софов оказались весьма различными. "Отношения философии и богини Разума всегда были скорее отношениями вынужденного сожи­тельства, нежели отношениями романтической связи, которая всегда существовала между математикой и богиней Разума" [10]. Далее Рота утверждает, что заключения философов часто диктуются эмоциями и разум в этих заключениях играет лишь вспомогательную роль. А по­иски философией окончательного ответа на свои вопросы вылились в рабскую имитацию математики. Апелляция к математической логике, которая и представляет собой главную основу философии математи­ки, оказалась несостоятельной, потому что логика больше не являет­ся частью философии. Математическая логика является процветающей частью математики, и она прекратила свои связи с основаниями мате­матики. "Ценой допущения логики в математическую область было гигиеническое очищение даже от следов философии" [11].

Итак, в философии математики создалась следующая ситуация. С одной стороны, хотя есть признание стагнации в классической фило­софии математики и даже признание того, что "ничего из этого не рабо­тает", существует ряд направлений, имеющих целью придать филосо­фии математики новое дыхание. С другой стороны, есть полное отри­цание значимости классической философии математики, обоснован­ное убеждением, что философская оценка математической деятельно­сти бесплодна: математическая деятельность не имеет в себе скрыто­го смысла, искомого философией, и сама философия неправильно следует в своих собственных стандартах строгости, на которых осно­вывается философия математики, за этой самой математикой. Ясно, что с классической философией математики что-то не так, но в поис­ках нового дыхания этой фундаментальной области философии тре­буется ответить на упреки гуманистической математики. Таким отве­том является эпистемологический поворот в исследованиях по осно­ваниям математики и в целом в философии математики.

Следует признать, что в последнее время в философии математи­ки проделана большая работа. Быть может, главным обстоятельством здесь является то, что философия математики есть часть философии и на ней сказываются все те тенденции, которые свойственны всей философии. Философия даже относительно элементарных ветвей ма­тематики - это такая дисциплина, в которой ясно фокусируются тео­рии о природе языка, знания, указания и истины. Именно это обстоя­тельство делает исследования в философии математики важным ви­дом философского исследования. Такая тенденция выразилась в эпи­стемологическом уклоне в философии математики.

Возможны два представления того, что было сделано в философии математики за последнее время. Подлинные события в философии отнюдь не всегда связаны с большими книгами или монументальными проек­тами. Примером тому может служить ситуация в теории познания, когда статья Э. Гетье объемом лишь в несколько страниц [12] несколь­ко десятков лет назад вызвала шквал публикаций и в значительной степени изменила тематику дискуссий. В философии математики ана­логичную роль сыграли две статьи П. Бенацеррафа, которые практи­чески определили направление развития в згой области. Примечатель­но, что одна статья подняла проблему эпистемологического статуса ма­тематических утверждений, а вторая - подняла проблему онтологичес­кого статуса математических объектов. Примечательно и то, что обе проблемы заключаются в вызове доминирующей среди работающих математиков философии - платонизму. Исследования последних лет в философии математики были посвящены попыткам ответить на этот вызов. Именно этому кругу вопросов и посвящена данная книга. Фак­тически, это свод того, что происходило в философии математики в последние два с лишним десятка лет.

Одно из упомянутых выше представлений связано с попыткой увя­зать новые исследования с традиционными направлениями - логицизмом, формализмом и интуиционизмом, т.е. представить новые направления как реакцию на традиционные. Другое связано непосредственно с эпистемо­логической тенденцией, вызванной к жизни постановкой двух дилемм П. Бенацеррафом в его работах "Чем могут быть числа" ("What numbers could not be") и "Математическая истина" ("Mathematical truth") [13].

Надо отдавать себе отчет в том, что такая попытка заранее обре­чена на частичный провал. Важнейшим отличием описания того, что собой представляет нынешняя философия математики по сравнению с классической, является почти полная бесполезность устойчивой клас­сификации. В этом отношении ситуация в философии математики похожа на ситуацию в аналитической философии вообще. Дж. Пассмор выразил свое ощущение этой ситуации такими словами: "Буйное, плохо вмещающееся в какие-либо рамки, невероятно разнообразное в целях и методах - можно ли надеяться описать, хоть и кратко, но в то же время с достаточным охватом англо-американское философское пред­приятие? Ответ на этот вопрос - невозможно. Столь много филосо­фов творят в наше время, столь много проблем поднято ими, и поэто­му полнота больше не представляется разумной амбицией. Более скромное название моей книги, скажем "Некоторые последние философские споры, слишком кратко описанные», было бы более подходя­щим названием в современном стиле" [14].

Прекрасной иллюстрацией тех трудностей, которые возникают пе­ред желающим дать четкую классификацию направлений и концепций современной философии математики, является понимание самого ос­новного термина - "реализм". М.Шапиро дает такую сводку: «Реалист говорит, что "числа существуют". Антиреалист говорит: "числа не су­ществуют". Тут страсти нешуточные. Оппонентов часто называют "те­ологами", "скептиками" - весьма оскорбительные слова на современ­ном жаргоне. Является хочу понять зги направления как рабочие про­граммы. СТИЛЬ Реализм может иметь много смыслов. Один - что математи­ческие объекты существуют независимо от математиков. Это реализм в онтологии. Другой - что утверждения различных областей матема­тики имеют объективные бивалентные истинностные значения неза­висимо от конвенций, языка и правил математиков и основная часть утверждений компетентных математиков истинна. Это - реализм в истинностных значениях. Нет общего согласия относительно соотно­шения этих двух видов реализма. Мэдди и Гедель - реалисты в обоих смыслах. Даммит - антиреалист в обоих смыслах. Хелман и Чихара - антиреалисты в онтологии и реалисты в истинностных значениях. Единственный человек - реалист в онтологии и антиреалист в истин­ностных значениях - это Теннант» [15].

Важность именно эпистемологических рассмотрений хорошо вид­на из следующего описания ситуации У. Хартом: "Во времена заката чувственных данных и аналитичности эпистемология утратила место центра посткритической философии и вообще современной филосо­фии. С подъемом семантики и возрождением онтологии эпистемоло­гия находится в закате. Фреге ниспровергнут. Сейчас публика считает более близкими древних, нежели современников. Но все-таки эписте­мология заслуживает места в Республике Философия. Причина этого такова: некоторые из глубочайших проблем философии состоят в при­мирении естественных, но несовместимых онтологий. Нигде такой конфликт не является столь старым, как в философии математики. Платон героически пытался найти правдоподобную эпистемологию для своей теории форм. Платонизм правдоподобен, когда вы мыслите о математической истине, но становится невозможным, когда речь идет о математическом познании. Так что стоит переосмыслить основные проблемы теории познания, коль скоро причинность, холизм и нату­рализованная эпистемология заняли место чувственных данных и аналитичности. Нашим интеллектуальным долгом является прогресс не просто в математический логике, но и в эпистемологии" [16].

Последняя четверть XX в. прошла в поисках согласия по поводу того, в чем состоит ответ на теоретико-познавательную дилемму, поставлен­ную в работе П. Бенацеррафа "Математическая истина". Дилемма фор­мулируется следующим образом: если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты? Апелля­ция к познанию чувственных объектов предполагает совершенно опре­деленную концепцию познания - так называемую причинную теорию познания. Можно возразить, что это не единственная теория, и тогда ди­лемма теряет смысл. Однако можно переформулировать дилемму таким образом, что она не будет опираться на специфическую теорию позна­ния (Филд и Мэдди). Дилемма ставит перед нами выбор: либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предполагать некоторые неесте­ственные способности человека в отношении сбора информации. По­скольку обе возможности не выглядят привлекательными, предпринимались различные попытки разрешить дилемму. В частности, есть согласие по поводу того, что можно провести "онтологическую разрядку", при которой не надо будет жертвовать стандартной математикой.

Конечно, очень важно, какого рода будет "онтологический ре­монт". Именно тут начинаются разногласия, которые, тем не менее, преодолеваются при нахождении некоторого консенсуса. Каковы здесь альтернативы? С.Шапиро и М.Резник полагают, что математика гово­рит не о специфических математических объектах, а о структурах. Ф. Китчер делает упор на актах объединения в множества. Ч. Чихара прибегает при объяснении математических сущностей не к теории множеств, а к теории типов, рассматривая сущности как открытые предложения. Дж. Хеллман и Х. Филд используют для объяснения ма­тематических сущностей модальную логику, полагая эти сущности скорее возможностями, нежели акгуальностями. Важнейшим обстоя­тельством при этом является то, что в основе всех подходов лежит апелляция к перцептуальному опыту, понимаемому в самом широком смысле слова. Наиболее характерны в этом отношении работы П. Мэд­ди. Она считает, что предполагаемые платонистские сущности могут быть доступны обычному восприятию.

Важным исключением из этого общего консенсуса является фи­лософия номиналиста Х. Филда, который полагает, что математических объектов не существует, что стандартная математика ложна, но при этом он стремится сохранить математическую практику. Для этого он снабжает физическую реальность значительной математической струк­турой и описывает физические версии анализа и топологии. Матема­тические утверждения типа континуум-гипотезы оказываются утвер­ждениями об областях пространства и времени. Но опять-таки эпистемический доступ к этим областям оказывается перцептуальным. И в этом смысле Филд принадлежит к общему консенсусу.

Теперь рассмотрим радикальный тезис о том, что философия не имеет отношения к математике. С этой точки зрения математика живет своей собственной жизнью независимо от каких-либо философ­ских рассмотрений. Взгляды относительно статуса математических объектов или утверждений ничего не вносят в математику и являются худшей софистикой, бормотаньем и вмешательством посторонних. Надо признать, что большинство математиков вообще не интересуют­ся философией, или онтологией, или семантикой. Ну а те математики, которые исповедуют философию, часто входят в противоречие со своей собственной практикой (Херш как-то заметил, что работающий мате­матик всю неделю сознает себя формалистом, и лишь по воскре­сеньям - платонистом).

В этом отношении близким взглядом является натурализм, харак­теризуемый Куайном как "отказ от первой философии" и "осознание того, что только в рамках самой науки должна описываться и иденти­фицироваться реальность". Мэдди применяет натурализм к математи­ке, также утверждая, что математика должна быть изолирована от тра­диционных философских исследований. Ну и все проблемы в матема­тике должны решаться математиками как математиками. Как быть с такой радикальной точкой зрения?

Известно, что многие знаменитые математики были философами. Так, Гедель утверждал, что его реализм был важным фактором откры­тия полноты первопорядковой логики и неполноты арифметики. На­пример, теорема полноты есть следствие некоторых результатов Сколема. Но Сколем не сделал этого шага. Почему? Потому что оба они имели различные ориентации в онтологии. Но это лишь немногие сча­стливые примеры среди моря примеров отрицательного отношения математиков к философии.

Херш продолжает атаковать философию математики еще более яростно, настаивая на том, что даже подразумеваемая философия ра­ботающего математика, а именно платонизм, ущербна в самой основе. Характерным подтверждением такой позиции является следующее его высказывание: "Проблема состоит в том, что Платонизм оставил Бога, но продолжает считать Математику мыслями Бога". Херш пола­гает, что "традиционная философия осознает только передовой фронт математики. Но нельзя понять передовой фронт без того, чтобы по­нять ее фон. Внутренний участник событий мог бы: 1) помочь лучше­му пониманию мешанины в математике и сформулировать проблемы под правильным углом зрения с учетом контекста, с новой возможно­стью решить их; 2) показать, что нет нужды философствовать по по­воду математики, ища скрытый смысл в ней; 3) дать философский ответ на то, что есть математика. Однако пролегомены (1) не должны быть терапевтическими по отношению к (2) и не должны делать по­зитивного вклада в (3). Херш сам предпочитает занимается в основ­ном (3). Внутренний участник может дать ответ на (1), но вряд ли на (2) и (3). Большая часть внутренних участников являются повседнев­ными платонистами, а по выходным - формалистами, что вносит фи­лософскую путаницу.

Большинство внутренних участников (от Декарта до Гильберта) были осведомлены о "задворках" математики, но их, в отличие от Херша, интересовал вопрос не о том, что такое математика, а о том, как мы объясняем объективность математических вер и надежность математического размышления. Социальный характер математики яв­ляется тривиальным обстоятельством, свойственным всему человечес­кому знанию.

В подобного рода рассмотрениях важное место занимает позиция работающего математика, или, более фундаментально, математичес­кая практика. Любое обсуждение философии науки требует обраще­ния к научной практике. Но для философских целей понятие практи­ки часто принимает нужную форму в угоду философским предпочте­ниям. Поэтому желательно заранее сформулировать, что представля­ет собой научная практика, или, более точно, какова структура науч­ной практики, которая является предметом философского анализа.

В случае математики суть практики отнюдь не сводится к доказа­тельству, хотя традиционно считалось, что математик доказывает ис­тины. Само понятие доказательства представляет собой цепь аргумен­тов, значимость которых варьировалась в зависимости от той же са­мой математической практики. Научная практика имеет много компо­нентов: язык, теоретические принципы, примеры теоретической и эк­спериментальной работы, принятые методы размышления, техника разрешения проблем, оценка важности вопросов, метанаучные взгля­ды на природу научного поиска. Ф. Китчер рассматривает математи­ческую практику как предприятие, включающее в себя пять компонен­тов: язык, множество принятых предложений, множество принятых способов рассуждения, множество принятых в качестве важных воп­росов и множество метаматематических взглядов (стандарты доказа­тельства и определения, а также утверждения о сфере и структуре математики) [17].

Таким образом, традиционные взгляды на философию математи­ки претерпевают значительное изменение. Среди хаоса мнений и пред­положений о том, в какой степени математика связана с философией, следует найти какой-то порядок, который смог бы дать точку опоры в будущей философии математики, если ей суждено выжить. На мой взгляд, таковой является эпистемологическая ориентация на вопросы математического познания, а не на традиционные вопросы о природе математических объектов и математической истины.

Примечания

1. Mostowski A. Thirty years of foundational studies // Acta Filosophica Fennica, 1963.

2. Putnam H. Philosophy of mathematics - why nothing works?// Putnam H. Words and life. - Harvard UP. - P. 499-512.

3. См.: Проблемно-ориентированный подход к науке: новая философия ма­тематики/ Под ред. В.В. Целищева. - Новосибирск: Наука, 2001.

4. Hersh R. A fresh winds in the philosophy of mathematics // Amer. Math. Monthly. - 1995. - Aug.-Sept. - P. 590-591.

5. Хао Ван. Процесс и существование // Математическая логика и ее приме­нение. - М., 1965.

6. См.: Putnam H. Philosophy of mathematics...

7. www.math.psu.edu/simpson/fom/postmg/006/msg00142.phpl

8. См.: Hersh R. The fresh wind in the philosophy of mathematics. - P. 590, 591.

9. Hersh R. What is mathematics, really. - N.Y.': Oxford UP, 1997. Review in: Philosophy of Science. - V. 66, No 3. - P. 501, 502.

10. Rota J.C. Mathematics and philosophy // Rev. Metaphys. - V. 44, is. 2, No 174. - P. 259-272.

11. Ibid.

12. См.: Gettler E. Is justified true belief knowledge? // Analysis. - 1963. - V. 23.

13. См.: Benazerraf P. What numbers could be// Philos. Rev.- 1965.- V. 74, No 1; Id. Mathematical truth// Journ. Philos.- 1973.

14. Passmore J. Recent philosophers. - Open Court, 1991.

15. Shapiro M. // Philosophia Mathematica. - 1994. - Ser. 3. - R 148-160.

16. Hart W. Review of M. Steiner's "Mathematical knowledge" //Journ. Philos. -1977.- V. 74.- P. 118, 119.

17. См.: Kitcher Ph. The nature of mathematical knowledge. - P. 163.


М. А. Розов

СПОСОБ БЫТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

– Методологические проблемы развития и применения математики. Сборник научных трудов. М., 1985. С. 20–26.


Онтологический статус математических объектов или, что то же самое, способ их бытия – это одна из проблем философии математики, которая, начиная еще с Платона, породила огром­ную литературу. Мы не претендуем в этой маленькой заметке на анализ существующих здесь дискуссий и точек зрения, а огра­ничимся рядом соображений, цель которых показать тесную связь названной проблемы с аналогичными фундаментальными проблемами современных гуманитарных наук. Впрочем, на наличие такой связи в принципе уже указывали и сами математики1.

В качестве отправного пункта для рассуждения возьмем точку зрения Р. Л. Гудстейна на природу натуральных чисел. Гудстейн сопоставляет арифметику с шахматами и пишет: «...шахматный король – это одна из ролей, которую фигура играет в шахматной партии, – роль фигуры, а не сама фигура. Точно так же различные роли, которые цифры играют в языке, это и есть числа. Арифметические правила, аналогично шахмат­ным правилам, формулируются в терминах дозволенных пре­образований числовых знаков».2 Шахматные фигуры можно сделать из дерева или из пластмассы, цифры можно писать каран­дашом на бумаге или вырезать на камне... Материал не имеет значения, все определяют правила «ходов», которые и задают роли. Приведенную точку зрения не трудно обобщить, ибо боль­шинство окружающих нас предметов тоже выполняют опреде­ленные роли в нашей жизни и практической деятельности, роли, которые отнюдь не заданы однозначно самим материалом этих вещей, но предполагают наличие некоторых правил, обычаев, традиций... Да и сами мы постоянно играем определенные со­циальные роли.

Мы сталкиваемся здесь с двумя разными подходами к одно­му и тому же явлению. Можно играть в шахматы, углубляясь в анализ позиций, и совершенно не интересоваться тем привыч­ным, но, вообще-то говоря, удивительным фактом, что обыкновенные деревяшки вступают друг с другом на доске в многообраз­ные отношения, напоминая чем-то актеров на сцене. Мы как бы попадаем в этом случае во власть некоего «гипноза» шахматной игры и «грезим» наяву, наблюдая, как борются друг с другом деревянные фигурки. Но можно посмотреть на все и с другой точки зрения, поставив вопрос о механизмах этого «гипнотиче­ского» воздействия, о причинах возникновения самой шахматной иллюзии. Это другой подход, неинтересный для шахматиста, но принципиально важный для философа, для гносеолога.

Аналогичным образом можно впадать в иллюзию искусства, сопереживая героям художественного произведения, а можно ставить вопрос о способе бытия этого мира, который удивитель­ным образом вырастает со страниц книги. Мы подходим здесь к традиционной проблеме литературоведения: что такое литера­турное произведение, каков его онтологический статус?3 Приме­нительно к математике эту проблему достаточно четко поставил еще Платон. Ему было ясно, что геометр, рисуя на песке четы­рехугольник и проводя диагональ, говорит при этом о каком-то другом четырехугольнике и о другой диагонали. Что же собой представляют эти идеальные геометрические объекты?4 Речь при этом идет не о свойствах этих объектов, не о способах их по­строения, а о способе их бытия.

Разницу выделенных подходов можно проиллюстрировать с помощью следующей аналогии. В калейдоскопе мы наблюдаем смену различных узоров, но ничего не узнаем при этом о строе­нии калейдоскопа. Иными словами, нам не ясен при этом спо­соб бытия или механизм существования этих узоров. Напротив, разобрав калейдоскоп, мы получаем возможность описать его устройство, но не наблюдаем при этом никаких узоров. Выяс­нение способа бытия математических объектов, как и другие указанные нами аналогичные проблемы, требуют разборки «ка­лейдоскопа».

Но вернемся к ролевой концепции натуральных чисел. С шахматами дело обстоит, казалось бы, просто, ибо роли фигур заданы здесь достаточно четкими правилами ходов, и трудно представить себе шахматы без этих правил. Но так ли в слу­чае арифметики? Натуральные числа и навыки счета появились в практике человека много тысячелетий тому назад, чуть ли не на заре развития человечества,5 а аксиоматизация арифметики – это дело второй половины XIX века. «До XIX века, – пи­шет Н. Бурбаки, – ученые, по-видимому, не пытались определить сложение и умножение натуральных чисел иначе, чем путем пря­мого обращения к интуиции».6 Но тогда возникает принципиаль­ный вопрос: чем задана роль числовых знаков в языке в усло­виях отсутствия явно сформулированных правил?

Вопрос этот не новый, и прежде всего он уводит нас в линг­вистику, в проблему выяснения механизмов существования самого языка. Очевидно, что носитель языка может и не знать правил грамматики. Как же он говорит? Можно ли считать, что те правила, которые формулирует грамматика, до этого как бы существуют имплицитно, т. е. в скрытом виде, в сознании говорящего? Как он приобрел эти правила, если они не являют­ся врожденными? Все эти вопросы породили немало дискуссий и точек зрения.7 Мы сформулируем здесь одно из возможных ре­шений, которое будет иметь принципиальное значение для все­го дальнейшего обсуждения.

Ребенок заимствует язык непосредственно из той языковой среды, в которой он развивается. Но это значит, что у него нет никаких иных путей усвоения языка, кроме как воспроизведения образцов речевого поведения, которые демонстрируют ему взрослые. Мы может отвлечься от конкретных физиологических или психологических механизмов такого воспроизведения. Важ­но следующее: так называемые имплицитные правила граммати­ки существуют для ребенка только в виде конкретных образ­цов, ребенок усваивает язык, подражая взрослым. Речевое по­ведение воспроизводится и передается от поколения к поколе­нию как своеобразная эстафета, и подражание – это механизм передачи эстафетной палочки.

Системы, которые воспроизводят себя на уровне подражания, на уровне процессов-эстафет, мы будет называть нормативными системами8. К их числу относится не только язык, не только речь, но в конечном итоге и все остальные виды человеческой деятельности, включая и деятельность в рамках науки. Шахма­ты– это тоже нормативная система. Во-первых, правила игры не могут быть сформулированы без языка, а во-вторых, далеко -не весь шахматный опыт вербализуется в виде правил. Социаль­ные процессы-эстафеты напоминают волну, которая бежит по поверхности водоема, вовлекая в движение все но­вые частицы жидкости. Обычаи и традиции, научные школы, литературные направления – это частные случаи такого рода «волн». Они давно стали объектом специального исследования в гуманитарных науках, но в основном в плане диахронии, а не синхронии, в плане анализа исторической преемственности, а не при выяснении способа бытия отдельных социальных явлений.

Мы возвращаемся к двум способам описания, о которых уже говорилось выше. Можно описывать шахматы путем формули­ровки правил ходов, а можно говорить о традиции комбинацион­ной игры или о традициях советской шахматной школы. Это два, казалось бы, совершенно разных типа подхода, два разных предмета исследования. Но мы забывает при этом, что сами шахматы как таковые с их правилами ходов воспроизводят се­бя только как нормативная система, т. е. существуют только в рамках определенных процессов-эстафет. Эти процессы есть механизм существования шахмат, способ их бытия. Возвращаясь к основной теме нашей статьи, можно сказать, что эстафеты – это способ бытия и математических объектов. А два вида описа­ния, если продолжить аналогию с волной, напоминают следую­щее: можно описать распространение круговых волн на воде от упавшего камня, а можно выделить отдельную частицу жидко­сти и описать ее траекторию. Фиксируя правила шахматных хо­дов или правила оперирования с числовыми знаками, мы описы­ваем не социальную «волну», а только то «возмущение», которое она вызывает в нашей деятельности, перекатываясь от поколе­ния к поколению.

Соотношение двух видов описания имеет принципиальное значение для гуманитарных наук. Начнем с примера. Допустим, что историк математики изучает «Начала» Евклида и хочет описать способы рассуждения древнегреческого геометра. Он легко обнаружит, что Евклид в своих доказательствах исходит из некоторых допущений, которые нигде в явной форме не сфор­мулированы. Как он должен поступить? Первый путь – сформу­лировать эти допущения, т. е. те правила, по которым действо­вал Евклид. Но сделав так, историк получит новую аксиоматику, может быть, аналогичную аксиоматике Гильберта, и не столько опишет работу Евклида, сколько продвинет геометрию вперед. Второй путь – предположить, что Евклид действовал вовсе не по правилам, а просто воспроизводил существующие в его время образцы математических рассуждений. Но каково содержание этих образцов? Описать их – это значит сформулировать не­которые правила или допущения, которых у Евклида не было, а простое указание делает описание почти бессодержательным. Вопрос упирается в следующее: можно ли объединить два типа описания, насколько правила, которые мы формулируем, адекватно передают содержание образцов?

Ответ предполагает уточнение того, что мы понимаем под воспроизведением социальных образцов. Известно, что акты по­дражания имеют место уже у животных, было бы, однако, боль­шой ошибкой рассматривать человеческую способность действо­вать по образцам как чисто биологическое подражание. Живот­ные за редким исключением сильно ограничены в своем выборе как способов действия, так и объектов оперирования. Что ка­сается человека, то он, вообще говоря, имеет здесь огромное ко­личество степеней свободы. Проиллюстрируем возникающие в связи с этим трудности на примере так называемых остенсивных определений. Представьте себе, что вам указали на предмет, имеющий форму раковины, и сказали: «Это пепельница». Что обозначает введенное таким образом слово и как вы должны его в дальнейшем употреблять, следуя образцу? Вероятно, словом «пепельница» вы должны обозначать все то, что похоже на про­демонстрированный предмет, но в том-то и дело, что на него в том или в другом отношении похоже почти все. Слово может обозначать предмет, стоящий на столе, определенный цвет или материал, форму раковины, функциональное назначение и мно­гое, многое другое. Это значит, что отдельно взятый образец не задает четкого множества возможных реализаций или, что то же самое, соответствующая нормативная система не является стационарной.

Чем же тогда объяснить, что в обществе мы сталкиваемся с достаточно устойчивыми традициями, что шахматисты не нару­шают правила игры, что, используя язык, мы в основном пони­маем друг друга? Объяснить это можно социальным контекстом, тем, что человек имеет дело не с изолированными образцами, а с множеством взаимосвязанных образцов. Именно социальный контекст и ограничивает наши степени свободы. В приведенном примере с пепельницей мы не будем, скажем, использовать новое слово для обозначения цвета, ибо соответствующее обозначение уже есть, не будем обозначать предмет, стоящий на столе, ибо уже имеем для этого другие языковые средства ... Сказанное означает, что стационарность нормативных систем – это со­циальный, а не биологический феномен. Впрочем, если быть точ­ным, то можно говорить только об относительной стационар­ности.

Вернемся теперь к поставленному вопросу. Описывая содер­жание образца, мы стремимся сформулировать некоторое пра­вило деятельности, т. е. задать четкое, насколько это позволяет стационарность системы языка, множество возможных реализа­ций. Суть, однако, в том, что сам образец этого множества не задает. Мы, следовательно, приписываем ему отсутствующие у него характеристики. Можно, разумеется, брать не отдельный образец, а некоторую их систему, но и в этом случае указан­ная трудность имеет место, если, конечно, мы не сталкиваемся с идеальным случаем абсолютно стационарной нормативной систе­мы. Думается, однако, что таких систем вообще не существует. А это значит, что стремление максимально точно описать содер­жание образцов неминуемо связано с некоторым искажением этого содержания.9

Конкретные трудности, которые при этом возникают, можно проиллюстрировать на примере фиксации языковых норм. Оче­видно, что для такой фиксации нам необходим определенный языковый материал, т. е. определенный набор текстов. Но чем больше текстов мы соберем, тем больше они будут «размазаны» во времени и тем меньше наши правила будут соответствовать реальному употреблению языка, ибо сам язык изменяется. Казалось бы, надо, наоборот, ограничить набор текстов, сузив одно­временно и отрезок времени. Но, как уже отмечалось, отдельно взятые образцы не задают множества возможных реализаций. «Неадекватность кодификации литературной норме, – пишет В. А. Ицкович, – объясняется ... ретроспективностью кодифика­ции, ее ориентацией на образцы хронологически удаленные от современности».10

Вернемся теперь к математическим объектам и подведем некоторые итоги. Основная наша мысль в том, что объекты математики такие, например, как натуральные числа,– это некоторые роли соответствующих обозначений, которые вос­производят себя по принципу нормативных систем. Иными сло­вами, математические объекты существуют как нормативные системы. Это и есть их «устройство» или способ их бытия. Ска­занное выше означает их независимость от индивидуального че­ловеческого сознания, ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противо­стоят отдельному человеку или целому поколению как явление не менее объективное, чем язык. Но будучи явлением культуры, они и развиваются не по знакам естественно-научных объектов, а вместе с культурой и по ее законам.

Здесь стоит вернуться к аналогии с калейдоскопом, ибо ее необходимо существенно дополнить. Наблюдение узоров и раз­борка калейдоскопа – это два несовместимых эксперимента, однако, описания устройства и узоров вполне совместимы. Не так в гуманитарных науках, ибо выделенные выше два типа описаний выступают как несовместимые, но дополнительные. Указание на образцы не дает возможности точного прогнозиро­вания характера деятельности, а по возможности точное описа­ние того, что и как делается, не соответствует полностью со­держанию образцов. Последние могут быть описаны различным образом в разных культурных контекстах и в этом плане потен­циально бесконечны по своему содержанию. Сказанное озна­чает, в частности, что аксиоматизация и формализация матема­тики, связанная с заменой непосредственных образцов, задаю­щих те или иные роли, строгими «правилами» – это есть пере­стройка и самого объекта математики. Впрочем, скорей всего, мы имеет здесь нечто подобное развитию языка. Кодификация последнего в виде различного рода словарей, учебников и грам­матических справочников, конечно, влияет на его развитие, но отнюдь не исключает роль непосредственных образцов речевой деятельности.

Потенциальная бесконечность содержания образцов невольно вызывает ассоциации с некоторыми аспектами интуиционистско­го понимания математики. Излагая метафизику интуиционистов, X. Карри отмечает, что они постулируют, в частности, следующую характерную черту своей изначальной интуиции: «она не может быть адекватно описана никакими заранее составленны­ми правилами: доказательство справедливо, когда оно является построением, отдельные шаги которого непосредственно очевид­ны; независимо от того, каковы данные правила, можно найти правильное доказательство, которое не согласуется с этими пра­вилами».11

Мы не собираемся полностью присоединяться к метафизике интуиционизма, но в данном конкретном пункте она допускает вполне рациональную экспликацию в рамках введенных пред­ставлений. И суть дела не в характере «изначальной интуиции», а в нестационарности нормативных систем и в невозможности вполне адекватно и точно описать содержание образцов деятель­ности. Но в этом, как нам представляется, залог вечной моло­дости математики.


1 См., напр., Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965, с. 19.

2 Гудстейн Р. Л. Математическая логика. М., 1961, с. 22.

3 См., напр.: Уэллек Р. и Уоррен О. Теория литературы. М., 1978, с. 154–172.

4 Платон. Государство. – Соч., т. 3, ч. 1, М., 1971, с. 318.

5 Фролов Б. А. Числа в графике палеолита. Новосибирск, 1974.

6 Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963, с. 36.


7 См., напр.: Хомский Н. Аспекты теории синтаксиса. М., 1972; Слобин Д., Грин, Дж. Психолингвистика. М., 1976; Кейсер С., Хиллс И. Что мы, собственно, делаем, когда говорим. – В кн.: Распознавание образов. М., 1970.

8 Розов М. А. Проблемы эмпирического анализа научных знаний. Новосибирск, 1977.

9 Розов М. А. Информационно-семиотические исследования: процессы – эстафеты и принцип дополнительности. – НТИ, серия 2, № 2, 1984.

10 Ицкович В. А. Очерки синтаксический нормы. М., 1982, с. 13.

11 Карри X. Основания математической логики. М., 1969, с. 30.

Вопросы для понимания

1. В чем суть вопроса о способе бытия математических объектов?
   
2. Покажите однотипность вопросов о способе бытия числа, литературного произведения, шахматной фигуры.
   
3. В чем состоит «гипноз» шахматной игры или иллюзия искусства, когда мы сопереживаем героям драматической постановки, хотя артист на сцене вовсе не убивает героя?
   
4. Какие два вида описания выделяет М.А. Розов при исследовании шахмат, узоров калейдоскопа, чисел?
   
5. В чем различие постановки вопроса о способе бытия числа и шахматной фигуры? чем задана роль числовых знаков в языке в усло­виях отсутствия явно сформулированных правил?
   
6. Очевидно, что носитель языка может и не знать правил грамматики. Как же он говорит? Можно ли считать, что те правила, которые формулирует грамматика, до этого как бы существуют имплицитно, т. е. в скрытом виде, в сознании говорящего? Как он приобрел эти правила, если они не являют­ся врожденными?
   
7. Какое возможное решение предлагает автор статьи, которое имеет принципиальное значение для все­го дальнейшего обсуждения?.
   
8. Что такое воспроизведение социальных образцов? Чем они отличаются от актов подражания у животных?
   
9. Как Вы понимаете тезис о том, что отдельно взятый образец не задает четкого множества возможных реализаций
   
10. Какова роль контекста в стационарности нормативных систем (социальных эстафет)?
    
11. Какое решение вопроса об «устройстве» или способе бытия математических объектов предлагается в статье?
    
12. Как Вы понимаете тезис о том, будучи явлением культуры, «математические объекты» и развиваются не по законам естественно-научных объектов, а вместе с культурой и по ее законам»?
    
13. Поясните тезис: «аксиоматизация и формализация матема­тики, связанная с заменой непосредственных образцов, задаю­щих те или иные роли, строгими «правилами» – это есть пере­стройка и самого объекта математики» (стр. 74) Приведите примеры.
    

Григорян А. А.