Geum.ru

Материалы для лекций и семинарских занятий для магистрантов ммф новосибирск

Вид материалаСеминар

Содержание


F(х)'- значит утверждать, что все х
Подобный материал:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12

Френкель А, Бар-Хиллел И. Глава Y, § 8. Философские замечания.

Френкель А, Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966. Стр.398-416.

Во многих местах этой книги, когда нам приходилось ка­саться некоторых щекотливых «философских» вопросов, мы пре­рывали изложение замечанием, что проблема эта будет освещена «позже». Теперь наступил последний срок выплаты накопив­шихся долгов. Вряд ли читатель после чтения этого заключи­тельного параграфа проникнется ощущением, что все возникшие перед ним проблемы получили теперь свое окончательное разре­шение. Почти никаких окончательных суждений он здесь не встретит; единственно, в чем мог бы состоять прогресс, так это в самой формулировке некоторых из этих проблем, а также различных точек зрения на них, что могло бы способствовать лучшему пониманию их существа.

Первая из этих проблем — это онтологический статус множеств; не того или иного конкретного множества, а множеств вообще. Под словом «множество» обычно понимают то, что философы называют универсалиями (universals\; таким образом, интересующая нас сейчас проблема есть частный случай давно известной и широко обсуждавшейся классической проблемы об онтологическом статусе универсалий. Три основных ответа на общую проблему универсалий, идущие еще от средневековых дискуссий, известны под именами реализма, номинализма и концептуализма. Мы будем рассматривать здесь не сами по себе эти направления мысли в их традиционных версиях (1), а только их современные аналоги, известные как платонизм (2), неономинализм и неоконцептуализм (впрочем, приставку 'нео' мы будем, как правило, опускать, так как здесь у нас не будет случая обсуждать старинные версии). Мы рассмотрим затем еще одну позицию, согласно которой вся эта проблема онтологиче­ского статуса универсалий вообще и онтологического статуса множеств в частности есть не что иное, как метафизическая псевдопроблема.

Платонисты убеждены, что для каждого правильно определенного одноместного условия существует, вообще говоря, соответствующее множество (или класс), состоящее из всех тех и только тех предметов, которые удовлетворяют этому условию, и что это множество само является предметом с таким же полноправным онтологическим статусом, как и его члены. Если бы только не антиномии, то лучшим отражением интуитивной позиции платонистов должно было бы быть идеальное исчисление К (стр. 172) или что-нибудь в этом роде; главная особенность такого рода систем — это ничем не ограниченная схема аксиом свертывания. Будучи вынужденными считаться с реальной ситуацией, платонисты допускают, хотя и с неохотой, что их представления о том, что такое правильно определенное ycловие, могут оказаться недостаточно четкими, и заявляют о своей готовности наложить на употребление схемы аксиом свер­тывания некоторые ограничения, вроде тех, что приняты в тео­рии типов или в теории множеств цермеловского толка. Од­нако в глубине души они надеются, что рано или поздно кому-нибудь удастся показать достаточность гораздо менее ради­кальных мер предосторожностей., Может, конечно, случиться, что некоторые платонисты придут к убеждению (или другие сумеют убедить их) в том, что в мире, в котором они живут, предметы действительно расслоены (are really stratified) на типы и порядки, тогда они примут теорию типов не в качестве удобного соглашения, а в качестве описания реальной ситуации.

Неономиналисты заявляют, что они вообще не могут понять, что имеют в виду те, кто говорит о множествах, — такие разго­воры для них могут представлять собой лишь facon de parler (3). Единственный язык, на понимание которого они претендуют,— это исчисление индивидов (calculus of individuals), построенное как прикладное функциональное исчисление первого порядка. Многие обороты, используемые как в научном, так и в повсе­дневном языке, зависящие, prima facie (4), от термина 'множе­ство', номиналисты без особого труда точно переводят на свой ограниченный язык. Такое, скажем, обычное выражение как 'множество предметов а есть подмножество предметов b' они переводят как 'для всех x, если х есть а, то х есть b. Некоторые другие обороты и выражения представляют большие трудности для такого перевода. На языке теории множеств легко выра­зить тот общепринятый способ образования понятий, посред­ством которого какое-либо асимметричное и интранзитивное отношение порождает новое отношение наследственности (the ancestral) (5) (которое оказывается уже транзитивным). Например, исходя из допущения, что в области целых чисел уже имеется отношение 'быть на единицу больше’ (но пока не про­сто 'быть больше'), определяют: х больше, чем у, если и толь­ко если х отлично от у и х принадлежит всем множествам, со­держащим у и все целые числа, на единицу большие любого их члена. Воспроизведение такого способа образования поня­тий в исчислении индивидов часто требует больших ухищре­ний, в ряде же случаев эта задача по-видимому, вообще невыполнима (6). Известно, что выражения типа «кардинальное число множества а есть 17» (или «... не более 17», или «... не менее 17», или «... лежит между 12 и 21» и т. п.) легко выразимы в функциональном исчислении первого порядка с равенством. Однако такое выражение, как «кошек больше, чем собак» уже вызывает значительные трудности, и хотя в данном и любых других конкретных случаях эти трудности все же преодолимы, нет общего метода номиналистического истолкования выражения «предметов а больше, чем предметов b» (7). Трудности, возникающие при попытках выразить всю клас­сическую математику в номиналистических терминах, производят впечатление непреодолимых — и так оно, по всей вероятности, и есть. Поскольку речь идет о канторовской теории множеств, теории трансфинитных кардинальных чисел и подобных им теориях, то номиналисты только рады избавиться от этих теорий и с равнодушием относятся к понесенным «потерям». Зато к тем разделам математики, которые находят примене­ние в других науках, номиналисты относятся со здоровым ува­жением, и многие из них готовы скорее подвергнуть сомнению собственную философскую интуицию, нежели принести в жертву хотя бы часть такой рабочей математики. Есть только два заслуживающих внимания выхода из возникающих затрудне­ний: либо продолжать пользоваться всеми нужными частями математики в надежде, по-видимому, не слишком обоснован­ной (8), что в конце концов удастся получить их адекватную переформулировку в номиналистических терминах, либо объ­явить всю высшую математику неинтерпретируемым исчисле­нием, пользование которым, несмотря на отсутствие интерпре­тации, оказывается возможным благодаря тому обстоятельству, что его синтаксис формулируется (или может быть сформули­рован) на вполне понятном номиналистическом метаязыке (9). Насколько успешно неинтерпретированное (и непосредственно не интерпретируемое) исчисление может выполнять возлагаемую на него задачу согласования интерпретированных предложений эмпирического характера — вопрос пока еще далеко не ясный, несмотря на большие усилия, потраченные на его решение мно­гими учеными, занимавшимися проблемами философии науки (10). Здесь явственно усматривается близость к формалистической (гильбертовской) позиции, согласно которой определенная часть математики, в основном рекурсивная арифметика, считается интерпретируемой, а остальная часть — неинтерпретированным исчислением, используемым в качестве средства преобразования осмысленных предложений в другие осмысленные утверждения, причем этот статус «идеальных» частей математики сравнивается со статусом «идеальных» точек в аффинной геометрии.

От такой точки зрения остается всего один шаг до принятия философии «как-будто» („As-if "philosophy"); Генкин (11) указывает, что финитистски настроенный номиналист, т.е. тот, кто верит, что мир (который для него представляется всегда в виде некоторой однородной области индивидов, причем природа этих индивидов роли не играет) состоит лишь из конечного числа элементов, вполне мог бы допустить, что существование беско­нечного числа предметов есть полезный обман (pretense) (рань­ше в таких случаях говорили 'фикция' (fiction)). Он, конечно, видит, что уж если быть готовым к фикциям, то с таким же успехом можно было бы согласиться с фикцией о существовании универсалий и пользоваться в полном объеме платонистским языком, отрицая в то же время, что тем самым приходится принимать онтологические соглашения, связываемые обычно с таким языком; однако он чувствует, что между этими двумя фикциями есть существенное различие, вследствие которого по­следовательный номиналист охотнее согласится с первой фик­цией, чем со второй; Генкин признает при этом, что никакого объективного критерия для такого различения фикций ему неизвестно. Конечно, он прав, говоря, что такой образ действий, при котором использование языков форм не предполагает принятия онтологических допущений, производит несколько легко­мысленное впечатление и нуждается поэтому в дальнейших разъяснениях (12).

Имеются и такие авторы, которых не привлекает ни сочная растительность платонистских джунглей, ни суровый пустынный ландшафт неономинализма. Им больше нравится жить в тщательно распланированных и хорошо обозримых садах неоконцептуализма. Они претендуют на понимание того, что такое множество, хотя и предпочитают пользоваться метафорой по­строение (или придумывание (inventig}), а не любимой мета­форой платонистов выбор (или открытие); эти метафоры заменяют собой более старую антитезу: существование в созна­нии— существование в некотором внешнем (реальном или иде­альном) мире. Неоконцептуалисты готовы допустить, что лю­бое вполне определенное и ясное условие действительно опреде­ляет соответствующее множество — коль скоро в этом случае они могут «построить» это множество, исходя из некоторого за­паса множеств, существование которых либо интуитивно оче­видно, либо гарантировано предварительными построениями,— но не согласны принимать никаких аксиом или теорем, в силу которых им пришлось бы согласиться с существованием каких бы то ни было множеств (13), не характеризуемых конструктив­ным образом. Поэтому они не допускают множеств, соответствую­щих непредикативным условиям (за исключением, конечно, тех случаев, когда можно доказать, что такое условие можно заме­нить равносильным ему предикативным), и отрицают справед­ливость (validity) теоремы Кантора в ее наивной, абсолютной интерпретации, в силу которой множество всех подмножеств любого данного множества имеет мощность большую, чем мощность самого этого множества. Абсолютное понятие несчетности объявляется лишенным смысла, хотя и может случиться, что какое-либо бесконечное множество окажется не перечислимым с помощью некоторых данных средств.

Конечно, в номиналистически интерпретируемой теории мно­жеств, при которой ' £' интерпретируется как 'является членом', заключено contradictio in adiecto (14). Но мы говорили уже, что некоторые номиналисты согласны пользоваться теорией мно­жеств как неинтерпретированным исчислением, выполняющим чисто трансформационные функции. И платонисты, и концеп­туалисты настаивают на том, что теория множеств (как и вооб­ще математика) должна быть интерпретируемой и понимаемой сама по себе и не использовать никаких неинтерпретируемых исчислений. Расходятся же эти два направления в своем понимании того, что такое «понимаемость» (intelligibility).

Нечего и говорить, что каждое из этих больших философских направлений распадается на множество более специальных, что границы их неопределенны и что часто бывает очень трудно отнести какого-либо автора с полной определенностью к одному из них. Логицизм обычно считают одной из разновидностей пла­тонизма; однако сам Рассел на протяжении своей шестидесяти­летней философской деятельности не раз высказывал идеи, носящие концептуалистский и даже номиналистический характер (15). Разветвленная теория типов имеет явственный концептуа­листский привкус; что же касается аксиомы сводимости, то она, конечно, является платонистской. Когда он выступил со своей бесклассовой теорией (no-class theory), многие расценили ее (особенно это относится к члену венского кружка Гансу Хану в начале 30-х годов (16); впрочем, пожалуй, некоторое время так был настроен и сам Рассел) как чисто номиналистическую, про­должающую традиции бритвы Оккама. (Это было, однако, яв­ным недоразумением, объясняемым отчасти двусмысленностью употребляемого Расселом термина 'пропозициональная функция': в значениях 'открытая формула' и в то же время 'аттрибут' (attribute). Фактически Рассел показал, каким образом можно обойтись без употребления классов, заменив их «пропозицио­нальными функциями»; но эти функции были не чем иным, как аттрибутами (свойствами или отношениями), т. е. по меньшей мере такими же «универсалиями», какими являлись сами клас­сы; Рассел отдавал себе отчет в двусмысленности этого своего словоупотребления, но заблуждался, полагая, что оно имеет чисто языковую природу (17). Гёделя теперь принято считать платонистом; но первые его работы испытали сильное влияние гильбертовской школы и даже Сколема, настроенного еще более решительно концептуалистски. Гёделевский постулат конструк­тивности (стр.153), имеющий очевидную концептуалистскую на­правленность, в качестве такового получил признание и одобре­ние концептуалистов; но сам Гёдель отказывается рассматри­вать его в качестве истинного теоретико-множественного утверждения (statement). Гильберт — отец современного форма­лизма; но его метаматематика в сильной степени концептуалистична, а взгляд, согласно которому математические понятия высших ступеней абстракции имеют «идеальную» природу, во­обще трудно отнести с определенностью к какому-либо из обыч­ных направлений. Лоренценовский операционизм следует охарактеризовать как некий переходный оттенок в смеси кон­цептуализма и номинализма породы «как-будто», но характери­стика эта лишь в малой степени вскрывает нам все отпугиваю­щие стороны его позиции. Куайн, начинавший как логицист, в течение многих лет пытался защищать номиналистическую по­зицию, но теперь он чувствует, что, устав от своих донкихотских попыток номиналистской реконструкции, может впасть в концептуализм, успокаивая при этом «свою пуританскую совесть сознанием, что не совсем уж погряз в платинистской скверне (18)» (19). Для первых работ Тарского характерна идущая от Лесневского позиция, характеризуемая самим Тарским как интуиционистский формализм; но теперешняя его позиция уже не такова (20). Если раньше он испытывал затруднения, связанные с обоснованием оперирования над бесконечными множествами предложений, то теперь он, не проявляя видимых угрызений совести, вводит в рассмотрение языки, множества индивидных констант которых имеют любую мощность.

Было бы легко, даже слишком легко, продолжать в том же духе. Лишь очень немногие современные логики и математики последовательно и неуклонно придерживались в течение всей своей жизни одной и той же философской линии. Говоря об исключениях из этого правила, можно назвать Брауэра, всю жизнь являющегося искренним и бескомпромиссным концеп­туалистом (позиция эта, между прочим, не помешала ему дока­зать несколько «классических» теорем топологии), Чёрча, про­поведующего прямолинейный (хотя отнюдь не догматический) платонизм, и Гудмена, до сих пор не поддавшегося концептуа­листским соблазнам и стойко исповедующего самый крайний но­минализм, который если и меняется в чем-либо со временем, то разве что в сторону еще большей радикальности. Следует, прав­да, отметить, что номинализм его несколько особой марки и имеет мало общего с классическим номинализмом. Номинализм этого рода можно было бы назвать чисто синтаксическим номи­нализмом; Гудмен настаивает на том, что единственной законной формой языка является некоторое функциональное исчисление первого порядка, но без каких бы то ни было ограничений, по крайней мере официально принятых им, на онтологический ста­тус самих индивидов, до которых ему нет решительно никакого дела; в качестве таковых можно рассматривать хотя бы сообщения с того света, или числа, или множества, вернее «множества», поскольку про такие множества нельзя сказать, что они содержат какие-либо члены. Короче говоря, девиз Гудмена та­ков: он ничего не имеет против множеств, он только не может понять, что значит множество чего-либо (21) .

Для большинства авторов, занимавшихся основаниями математики, характерно поразительное непостоянство философски позиций. С их точки зрения, эти изменения воззрений вполне естественно объяснять эволюцией мышления в сторону большей его зрелости и считать более поздние позиции более обоснованными, нежели ранние, независимо от того, в какую именно сто­рону произошел сдвиг.

В то же время вполне естественно, что в глазах некоторых мыслителей все эти причудливые блуждания служат подтвер­ждением той точки зрения, что ни одна из рассмотренных трех основных онтологических концепций объективно не имеет ни­какого отношения к проблеме оснований, независимо от того, что думают по этому поводу приверженцы этих концепций и насколько сильны в этом отношении их чувства. Сторонники та­кого образа мыслей пришли к выводу, что теории множеств следует оценивать не по их онтологиям (в смысле Куайна), а по их плодотворности. Существуют или нет непредикативные множества — на этот вопрос не следует ждать ответа ни от теоретических рассуждений, ни от (иррациональной?) веры, ос­новывающейся на интуиции или свободе совести. Получившие столь широкое распространение противоположные мнения были вызваны совместным рассмотрением и смешением двух совершенно различных вопросов: первый из них — можно ли доказать, или опровергнуть, или доказать неразрешимость не­которых определенных экзистенциальных предложений в неко­торой данной теории; другой вопрос — следует ли принять всю эту теорию. Можно ли доказать в Z существование множества, являющегося объединением (множеством-суммой) трех данных множеств,— это серьезный вопрос, легко решаемый, как мы знаем, положительно. Можно ли доказать в Z несуществова­ние нетривиального недостижимого числа — это еще более серь­езный вопрос, причем настолько трудный, что мы не умеем на него ответить. По отношению же к системе Z# на тот же са­мый вопрос тривиальным образом следует дать отрицательный ответ. А для некоторых других теорий ответ может оказаться положительным, иногда получаемым тривиально, иногда тре­бующим глубоких рассуждений. Следует ли принять систему Z, или В, или Z#, или Т*, или ML, или Σ, или что вам еще угодно, - это уже другой, очень серьезный вопрос, но, конеч­но, вопрос совершенно иного рода. Сущность его в практи­ческом решении, основанном на таких (теоретических) сообра­жениях, как правдоподобность непротиворечивости, удобство для проведения выводов, эффективность построений классиче­ского анализа, педагогические соображения, а может быть, на­личие стандартной модели, и т. п. Смешение этих двух совершенно различных вопросов приводит к такого рода псевдопроблемам, как, скажем, существуют ли несчетные множества (как таковые, в абсолютном смысле, а не в рамках данной теории), провоцирующим бесплодные псевдотеоретические дискуссии или создающим впечатление, что ответ на такого рода во­прос могут подсказать только интуиция и философские убежде­ния, основываясь на которых платонист ответит на этот вопрос ясным «да», а концептуалист и номиналист столь же ясным «нет», поскольку интуиции, из которых они при этом исходят, совершенно различны.

Самый выдающийся представитель этой четвертой, антионто-логической, точки зрения — Карнап. В одной из своих послед­них работ (22) он ввел для обозначения двух названных нами во­просов термины: внутренняя проблема {question) существования и внешняя проблема существования. Правда, Карнап не зани­мается непосредственным приложением этого различения к про­блемам оснований теорий множеств; но нам представляется, что такое приложение осуществляется совсем легко и прямо, и мы надеемся, что не исказим точку зрения самого Карнапа на обсу­ждаемый сейчас вопрос.

Точка зрения эта также не свободна от своих собственных трудностей. Мы не будем обсуждать их здесь. Считаем только необходимым сказать, что наше изложение могло породить не­сколько преувеличенное представление о степени расхождения позиций Куайна и Карнапа. Верно, что Куайн часто повторял, принять какую-либо теорию можно, лишь связав себя некоторыми абсолютными онтологическими соглашениями; верно, что Карнап как раз это самое отрицал. И тем не менее далеко не ясно, до какой степени это расхождение не является чисто (или преимущественно) словесным (23).

Мы уже говорили (гл. III, стр. 216), что некоторые неокон­цептуалисты отвергают не только непредикативные способы образования понятий, но и более широкий класс методов нео­пределенного (в смысле Карнапа) образования понятий; если говорить об этом в терминах метаязыка, речь идет об отказе от языков с неограниченной квантификацией. Сторонники такой позиции (среди них можно назвать Пуанкаре, Брауэра, Витген­штейна, Кауфмана, Сколема и Гудстейна) приходят к своему отказу от таких трансфинитных операций под влиянием того соображения, что не существует разрешающей процедуры, ко­торая позволяла бы решать вопрос об истинности квантифицированных предложений. Отождествляя осмысленность с эффек­тивной проверяемостью (effective verifiability) (24), они немедлен­но приходят к заключению, что выражения, содержащие неогра­ниченные кванторы, вообще говоря, бессмысленны.

Философские аспекты этой позиции более чем сомнительны.(Наиболее распространенные возражения против нее состоят в том, что принятие ее изуродовало бы математику, точно так же, как принятие аналогичной позиции в отношении эмпирических предложений изуродовало бы эмпирическую науку. Нельзя, однако, не признать, что теории, удовлетворяющие ее требованиям, обладают определенной привлекательностью. Скажем, арифметика, исходящая из отношений (или операций), эффективно разрешимых в каждом конкретном случае, и запрещающая использование неограниченных кванторов при образовании дальнейших своих понятий, остается на всех стадиях своего развития интуитивно прозрачной, это, безусловно, одна из са­мых надежных и наименее подверженных сомнениям теорий, имеющих дело с бесконечной предметной областью. Понятно, что Гильберт должен был стремиться доказать формальную не­противоречивость математики именно в этой весьма интуитивной рекурсивной арифметике (recursive number theory). Сколему удалось в рамках этой теории развить значительную часть классической арифметики, а Гёдель превосходно показал достаточность ее средств для арифметизации элементарного синтаксиса любой формальной системы (25).

В четко определенных языках, хотя они и подчиняются пра­вилам классической пропозициональной логики, те употребления принципа исключенного третьего, против которых возражают интуиционисты и которые часто ответственны за возникновение антиномий (26), остаются в стороне как раз потому, что они не мо­гут быть сформулированы. Неограниченная общность предложе­ний выразима с помощью свободных переменных; что же ка­сается неограниченных экзистенциальных предложений, то они вообще не могут быть выражены в таком языке: утверждать

F(х)'- значит утверждать, что все х суть F, но утверждать *~ F(xy — значит утверждать вовсе не то, что не все х суть F, а то, что все х суть не F или что никакое х не есть F.

Тот факт, что запрещение обычных (неограниченных) кванторов не приводит к таким тяжелым ограничительным последствиям, каких можно было бы ожидать, можно проиллюстрировать следующим, довольно тривиальным примером. Пусть в некоторой теории натуральных чисел уже определен дву­местный предикат 'D* («делит»); тогда можно дать обычное определение одноместного предиката 'Р' («есть простое»), скажем, следующим образом:

Вся хитрость теперь состоит в замене '(Ау)' на '(Ау)'х (читается: 'для всех у от 0 до х включительно'). Вообще всякий раз, когда мы, вводя какое-нибудь разрешимое свойство, хотим заменить неограниченные кван­торы ограниченными, нам нужно только найти какую-нибудь верхнюю границу рассматриваемых чисел.

| Поэтому и было предложено (27) считать один из определенных языков, а именно Язык I Карнапа, «в известном смысле» осуществлением наиболее решительных концептуалистских тенденций, иногда именуемых 'финитистскими' или 'конструктивистскими'. Некоторые авторы (например, Сколем или Гудстейн) согласились бы, пожалуй, с такой формулировкой их взглядов, но интуиционисты не согласились бы, хотя, быть может, лишь по той причине, что они вообще считают, что интуицию нельзя адекватно выразить посредством какой бы то ни было формализации.

Отдельно стоит сказать о Лоренцене, который решительней­шим образом отвергает непредикативное образование понятий и в то же время с полной определенностью допускает неогра­ниченную квантификацию («28), отказываясь иметь дело с затруд­нениями, связанными с критерием верифицируемости. Он не придерживается концептуалистической философии, множества для него — это всего-навсего пропозициональные формы (29), ус­ловия со свободными переменными, а вовсе не внеязыковые сущности, соответствующие этим формам, как для настоящего концептуалиста. Но Лоренцен не является и синтаксическим но­миналистом и уже тем более платонистом. Не примыкает он и к последователям Карнапа. Математика для Лоренцена — не лингвистическая неинтерпретированная схема, оцениваемая в зависимости от ее плодотворности и т. п., а интерпретированная теория схематических операций над неинтерпретированными исчислениями.

Несмотря на многочисленные расхождения, философия ма­тематики Карри (30) ближе всех связана с философией Карнапа. Подобно Карнапу, Карри отвергает любые онтологические допу­щения (commitments) (31) и в качестве критерия для оценки математических теорий настойчиво выдвигает их приемлемость (acceptability}(32). Он называет свою концепцию эмпирическим формализмом, подчеркивая этим ее отличие от гильбертовской версии формализма, с которой она и в самом деле значительно расходится; более уместным был бы, пожалуй, термин прагма­тический формализм. Утверждение Карри, что формалистское (предлагаемое им) определение математики не нуждается ни в каких предварительных философских допущениях и что разго­вор о философских различиях было бы разумнее вести в тер­минах «приемлемости», вполне согласуется с теперешней точкой зрения Карнапа, а проводимое Карри различение между обсу­ждением вопроса об истинности какого-либо данного математи­ческого предложения (statement) в данной системе и вопроса о приемлемости этой системы в целом, по-видимому, равносильно карнаповскому различению внутренней и внешней проблем су­ществования.

В отличие от гильбертовского формализма Карри с прене­брежением относится к доказуемой непротиворечивости, отводя более важную роль приемлемости. Это различие позиций, по-ви­димому, не столь уж принципиально, поскольку и сам Гильберт не считал, что непротиворечивость является достаточным усло­вием приемлемости (33). Что же касается интуитивной очевидно­сти, то это, по мнению Карри, роскошь, без которой математика может превосходно обойтись. «Поскольку дело касается приемлемости для физики, анализ не более нуждается в доказательствe непротиворечивости, чем в интуитивной очевидности» (34).

Наконец, аргументы Карри в защиту терпимости (tolerance) допросах приемлемости (35) отражают, вероятно намеренно, знаменитый карнаповский принцип терпимости (36). Всякому, кто настаивает, основываясь на своей интуитивной убежденности, что raison d'etre имеют лишь математические системы определенного рода, стоит еще раз как следует подумать, не тормозит ли его нетерпимость научный прогресс, а не пытаться втиснуть науку в узкую колею единственного пути, обещающего надежду. В некоторых случаях конструктивность является необходимым условием приемлемости математической теории — так, сажем, обстоит дело с метаматематикой или с машинной математикой; поэтому теории конструктивного (theories of the conctructible} (термин этот, в противовес употребляемому в следующей фразе, недавно предложен Гейтингом (37)) стоят того, чтобы их изучали математики с любыми философскими убе­ждениями; и их действительно изучают математики с совершенно различными убеждениями, равно как и те, что обходятся без всяких философских убеждений. Что же касается утвер­ждения, согласно которому единственная законная математи­ка — конструктивная математика (constructible mathematics}, то очень мало шансов, что оно убедит кого-либо из тех, кто не разделяет особой точки зрения интуиционистов.

В наши намерения не входило давать здесь полную сводку всех существующих направлений философии математики. Все же будет уместно сделать еще несколько замечаний на эту тему.

Мы совсем пока не говорили о той концепции математики, согласно которой математика рассматривается как эмпириче­ская наука, качественно никак не выделяемая из других эмпи­рических наук. Мы не говорили об этом до сих пор по той при­чине, что просто не можем себе представить, каким образом можно было бы обосновать веру в то, что «источником и окон­чательным raison d'etre понятия числа, как натурального, так и действительного, является опыт и практическая применимость» (38), хотя именно эту веру исповедует Мостовский, и aналогичные заявления можно встретить также в других, весьма многочисленных сочинениях, начиная еще с Джона Стюарта Милля. Разумеется, можно было также считать, что за такого рода заявлениями не скрывается ничего большего, нежели тривиальная констатация того факта, что опыт привел человечество к математике. Трудно, однако, согласиться с этой тривиализацией; совершенно непонятно, например, как из такого истолкования можно «сделать вывод, что имеется только одна арифметика натуральных чисел, одна арифметика действитель­ных чисел и одна теория множеств» (39). Но какой же еще смысл может иметь заявление, что источник бесконечных множеств заключается в опыте? (У нас, нет особых возражений против того взгляда, что окончательный raison d'etre понятий числа и множества лежит в их практической применимости, но мы ре­шительно не понимаем, как из этого можно извлечь единствен­ность арифметики и теории множеств.)

Эту попытку игнорировать качественное отличие формальных наук (логики и математики) от реальных (эмпирических) наук, представляющуюся нам недостаточно обоснованной, не следует смешивать с другой недавней попыткой, предпринятой Куайном (40) и другими, игнорировать границу между этими науками. Последняя отличается от первой тем, что основным ее тезисом является не столько утверждение, что формальные науки менее «формальны», нежели принято думать, сколько утверждение, что эмпирические науки не столь уж «эмпиричны». В защиту этой точки зрения приводятся довольно убедительные аргументы, но выводы, которые можно сделать из этих аргументов, вовсе не предопределены с необходимостью. С таким же (а пожалуй, даже с большим) успехом можно прийти к заключению, что в эмпирической теории следует различать теоретическую подтеорию и экспериментальную подтеорию, так что математика — или требующиеся к данному случаю ее разделы — составляла бы вместе с некоторой конкретной теоретической подтеорией исчисление, хотя непосредственно и не интерпретированное, но получающее частичную и косвенную интерпретацию с помощью специальных правил соответствия, связывающих теоретические термины с почерпнутыми из наблюдения и опыта понятиями экспериментальной подтеории (41).

За последнее время было предпринято немало попыток ис­толкования некоторых метаматематических теорем, например теоремы Лёвенгейма — Сколема или теоремы Гёделя о неполноте в качестве доводов, опровергающих одни онтологические воззрения и поддерживающих другие. Эти попытки, по нашему миопию, к успеху не привели. Свои сомнения по этому поводу, касающиеся теоремы Лёвенгейма — Сколема, мы уже выражали раньше (гл. II, стр. 138—139). Что же касается теоремы Гёделя , то мы склонны признать точку зрения Майхилла (42), глубоко критикующего доводы, основанные на различии понятий 'дока­зуемое' и 'истинное', и присоединиться к его утверждению, что доводы эти вовсе не опровергают номиналистическую позицию (но никоим образом не разделяем майхилловской интерпрета­ции ограничительных теорем Гёделя, Чёрча и др., носящей пси­хологический характер). Вообще мы считаем маловероятным, что какие бы то ни было математические и метаматематические результаты смогут окончательно опровергнуть какую-либо из онтологических позиций, хотя и вполне возможно, что в ка­честве факторов иррациональной природы они смогут оказы­вать значительное влияние на готовность принять какую-либо из этих позиций. Если кому-нибудь будет угодно заключить отсюда, что ни одна онтологическая концепция, ввиду неопро­вержимости каждой из них, не имеет никакого значения для математики (именно для математики, а не для математиков), мы не станем ему особенно возражать.

Теперь нам легче оценить — хотя, пожалуй, и не решить — выдвинутую выше (стр. 379—382) проблему. Мы видели тогда, что непополнимость некоторых логистических систем может иногда быть истолкована как неаксиоматизируемость некото­рых формализованных теорий. Но если такое истолкование для арифметических теорий было вполне естественным, то по от­ношению к теориям множеств оно внушает сомнения. Дело в том, что существует по крайней мере одна формализованная арифметика, полная относительно ясного и естественного поня­тия общезначимости (validity), а именно арифметика Сколема; что же касается теорий множеств, то ничего подобного о них сказать нельзя.

В каком же тогда смысле существует, если только этому действительно придается смысл, единственное в своем роде понятие множества (натурального числа), подчиняющееся един­ственной настоящей Теории Множеств (соответственно Арифме­тике Натуральных Чисел), неполными приближениями к кото­рой являются имеющиеся аксиоматические теории множеств (арифметики)? Мы уже знаем, что некоторые эмпирические реалисты, например Мостовский, ответили бы на этот вопрос заявлением, что множества и натуральные числа существуют и (приблизительно) том же смысле, в каком существуют живот­ные или камни, и что Теория Множеств и Арифметика един­ственны опять-таки в том же самом смысле, в каком единствен­ны Зоология (43) и Минералогия. Возможно, что другие предста­вители эмпирического реализма проводили бы здесь различие, утверждая реальность и единственность только для чисел и арифметики, но не для теории множеств. Мы уже признались в своей неспособности понять любую из этих позиций.

Все платонистски настроенные реалисты убеждены в един­ственности чисел — не как эмпирических сущностей, а как платонистских идей — и их теории (44). (Для интересующих нас це­лей не существенно, какие термины используются для обозначе­ния специфической «формы бытия» этих сущностей, в отличие от формы бытия животных и камней. Некоторые авторы упо­требляют в таких случаях различные поясняющие эпитеты, дру­гие проводят различие между 'бытием' (being), 'существова­нием' различного рода ('existence', 'subsistence'), 'реальностью' (reality) и т. п.) Например, Гёдель полагает, «что допущение таких объектов [классов и общих понятий] столь же законно, как и допущение физических тел, и имеются столь же веские осно­вания верить в их существование» (45). Однако не ясно, следует ли из этой точки зрения единственность классов и понятий, или же различные, возможно даже несовместимые между собой, си­стемы таких сущностей могли бы выполнить задачу «получения удовлетворительной системы математики». Мы не убеждены, что расстояние между прагматическим платонизмом Гёделя и праг­матическим формализмом Карнапа и Карри так уж велико, как это принято считать. Действительно ли так глубока пропасть между следующими двумя позициями: верой в существование множеств, обосновываемой их необходимостью для получения некоторой удовлетворительной системы, и принятием некоторой теории множеств, обосновываемым тем, что эта теория способ­ствует получению некоторой удовлетворительной системы?

Концептуалисты и номиналисты имеют мало оснований ве­рить в однозначную определенность понятия множества, хотя большинство концептуалистов верят в однозначную определен­ность натурального ряда чисел, который служит им в качестве основы для их построений. Но сами построения вовсе не обя­зательно должны осуществляться однозначным образом.

Для антионтологистов вся эта проблема вообще не возни­кает. Источник веры в единственность Теории Множеств совер­шенно ясен. В неэлементарные теории повсеместно проникают теоретико-множественные понятия, и если сама теория множеств понимается как элементарная аксиоматическая теория, то вся­кая неэлементарная теория может тогда рассматриваться как объединение двух элементарных теорий: элементарной теории множеств и некоторой элементарной теории, специфичной для рассматриваемой дисциплины. Решающее понятие «абсолютной модели» неэлементарной теории, т. е. такой модели, в которой теоретико-множественные понятия получают их стандартную интерпретацию, определена однозначно лишь в той же мере, в какой однозначно определена стандартная интерпретация этих понятий. Поэтому верно утверждение, что понятие абсо­лютной модели «получит более глубокое значение только то­гда, когда будут решены трудные проблемы оснований теорий множеств, благодаря чему математики могут единодушно при­нять один способ обоснования этой теории» (46). Но мы не ви­дим пока решительно никаких оснований верить в единствен­ность решения проблем оснований теории множеств, которое привело бы всех математиков к принятию одной такой теории в качестве подлинной (47) Теории Множеств. Прагматическая необходимость такой веры, мотивируемая тем, что в случае отказа от нее возник бы хаос, когда каждый математик говорил бы о своей собственной теории множеств, более чем сомнительна. Для того чтобы быть хозяевами положения, нам вполне достаточно прагматического критерия приемлемости. Наличие многих конкурирующих между собой теорий множеств, по, крайней мере до тех пор, пока они не вносят существенных перемен в каждодневную деятельность математиков и физиков, вряд ли настолько опасно, чтобы оправдывать навязывание какого бы то ни было credo в этом отношении. Поскольку вера в объективную реальность (что бы под этим ни подразумева­лось) и обусловленная ею однозначная определенность понятия множества и самой теории множеств — это всего лишь своего рода успокоительные средства, вовсе не приводящие к догматическому отказу от каких-либо предложенных теорий множеств (заметим, что даже Мостовский самым недвусмысленным образом заявляет, что «у нас нет критериев, которые могли бы указать на правильный выбор из этих многих систем [теорий множеств] (48)), такой метафизический акт веры оказы­вается совершенно безобидным, даже в известном смысле по­лезным. Но часто всего один шаг отделяет веру в существова­ние объективного критерия, с помощью которого можно было бы однозначным образом решить спор между конкурирующими теориями, от веры, что этот критерий уже найден, и от присвое­ния права предать анафеме все эти теории, кроме как разве что какой-нибудь одной, во имя некой земной или небесной реальности. И многие предпочитают беспокойную свободу рабскому спокойствию.

Во взглядах на то, каким образом можно было бы достигнуть удовлетворительного обоснования теории множеств, все еще имеется большое расхождение, и громадное количество возникающих в этой связи проблем еще далеко не решено. И все же подавляющее большинство математиков отказывается счи­тать, что идеи Кантора были всего лишь болезненным бредом. Несмотря на то что основания теории множеств все еще довольно шатки, эти математики продолжают с успехом применять понятия, методы и результаты теории множеств в большей части разделов анализа и геометрии, и даже отчасти в арифметике и алгебре, твердо веря в то, что работы по обоснованию теории множеств приведут в конце концов к реабилитации теории множеств в полном (или по крайней мере почти полном) ее классическом объеме. Эта позиция отнюдь не исключает готовности интерпретировать теорию множеств совсем не так, как это обычно делается, что соответствует, очевидно, существующей потребности в пересмотре интерпретации логики и математики вообще.

Примечания

1. Доступное описание этих классических точек зрения, выполненное с современных позиций, см. в статьях Штегмюллера, 56—57, где представлены также и некоторые из новейших направлений.

2. Этот термин (в принятом здесь нами смысле) впервые употреблен, по-видимому, Бернайсом, 35. Был ли (да и вообще мог ли быть) платонистом сам Платон — вопрос спорный. Ср., например, рецензию П. Хенле на книгу Гудмена, 51, в Journal of Symbolic logic