Конспект лекций часть 1 Основы теории и рабочего процесса Учебное пособие

Вид материала

Конспект

Содержание 2.2. Влияние вида движения на параметры потока. 2.3. Расчетные модели турбомашин. Обратная задача 2.5. Уравнение энергии. В компрессоре В турбине

Подобный материал:

• Конспект лекций москва 2004 удк 519. 713(075)+519. 76(075) ббк 22. 18я7, 1805.53kb.
• Название методического пособия, 23.89kb.
• А. И. Курс лекций по фармакологии учебное пособие, 1739.27kb.
• А. А. Дегтярев основы политической теории введение Литература, 3430.48kb.
• В. Е. Никитин биомедицинская этика учебное пособие, 1537.51kb.
• К. Д. Ушинского Институт педагогики и психологии Кафедра управления образованием Основы, 1895.05kb.
• Курс лекций Часть II учебное пособие рпк «Политехник» Волгоград, 1175.06kb.
• Учебное пособие Часть 1 основы персонального компьютера. Операционные системы, 1386.35kb.
• Курс лекций. Учебное пособие / В. Е. Карпов, К. А. Коньков, 68.87kb.
• Учебное пособие Житомир 2001 удк 33: 007. Основы экономической кибернетики. Учебное, 3745.06kb.

2.2. Влияние вида движения на параметры потока.

Статические давление, температура и плотность - термодинамические параметры, т.е. скалярные величины и поэтому их величина не зависит от вида движения. В адиабатическизаторможенном потоке значения указанных параметров будут различаться в зависимости от рассматриваемого вида движения.

Обозначая заторможенные параметры с верхним индексом (*), а относящиеся к относительному и абсолютному движению нижними индексами (w) и (c) соответственно можно записать:

Т_с^* = Т + С²/2с_р ü

ý

Т_w^* = Т + W²/2с_р þ

Решая относительно Т, можно получить связь температуры в абсолютном и относительном движениях:

Т_с^* = Т_w^* + (C²-W²) /2c_р или Т_w^* = Т_с^* - (C²-W²) /2c_р ,

откуда видно, что С ¹ W и Т_c^* ¹ Т^*_w .

2.3. Расчетные модели турбомашин.

В зависимости от задач, решаемых при проектировании турбомашин, рабочий процесс рассматривается с разной степенью детализации. Например, если необходимо решать вопросы энерго и массообмена в комплексе определения и выбора параметров ГТУ, то нет необходимости рассматривать обтекание лопаток в отдельных лопаточных венцах. Турбомашина в данном случае является "черным ящиком", через который проходит некоторая масса рабочего тела (жидкость или газ), к которой подводится или отводится энергия в результате чего заданное изменение параметров на границах происходит с некоторой потерей энергии в процессе взаимодействие потока рабочего тела и лопаток. Здесь нет необходимости привязывать процесс к каким-либо координатам и такую модель можно назвать "НОЛЬМЕРНОЙ".

При газодинамическом проектировании и расчете характеристик турбомашин также целесообразно различать уровень детализации рабочего процесса. Причем, теорию турбомашин в принципиальном смысле составляют закономерности, изученные ранее в механике и термо-газодинамике сплошной среды, со всеми, характерными для этих наук гипотезами и выводами. В частности, подразумевается, что рабочее тело состоит из материальных тел, которые непрерывно и сплошным образом заполняют все пространство проточной части турбомашины, для него справедливы принципы сохранения, равновесия и т.д. Поэтому в теории турбомашин, также как и в указанных задачах различают уровни математических моделей по числу координат, использующихся на рассматриваемой стадии проектирования и оценки свойств турбомашин.

В "ОДНОМЕРНЫХ" расчетных (математических) моделях принято использовать параметры потока, осредненные определенным образом в поперечных сечениях (как правило вдоль оси вращения машины), так что параметры потока зависят только от одной координаты z(a). В рамках одномерной модели определяется соотношение термодинамических параметров при движении потока газа (жидкости) от входа к выходу, например, оценивается изменение давления, температуры, плотности и т.д., с применением термодинамических процессов и связей, диаграмм и с учетом изменения теплофизических свойств среды. Здесь же возможна оценка эффективности рабочего процесса (КПД) турбомашины. В пределах одномерной модели можно провести сравнение и выбрать тип турбомашины для конкретных целей. Для решения этих задач будут использоваться уравнения:

1.) неразрывности (расхода);

2.) энергии в тепловой форме;

3.) энергии в механической форме (уравнение Бернулли),

4.) количества движения (для определения осевых сил,

действующих на опоры ротора турбомашины).

ПРИМЕР: С помощью известного уравнения неразрывности,

записанного с использованием осредненных значений скорости

движения газа вдоль оси компрессора и плотности газа в

контрольных сечениях можно оценить высоту лопатки на выходе из

многоступенчатого компрессора при заданном расходе и степени

повышения давления.

G_в=G_к= r_{в ср} С_{ав ср} F_в = r_{к ср} С_{ак ср} F_к .

Если принять С_{ав ср}= С_{ак ср}, то F_k = (r_{в ср} С_{ав ср} F_в)/ (r_{к ср} С_{ак ср}).

Т.к. давление на выходе из компрессора больше, чем на входе и, следовательно r_{к ср} > r_{в ср} , то F_k < F_в . Если у компрессора средний диаметр постоянный, то h_k=F_k/p D_ср [м].

При проектировании лопаточной машины и рассмотрении вопросов, связанных с исследованием путей совершенствования рабочего процесса одномерная модель неприемлима. Тогда рассматривают ДВУМЕРНУЮ МОДЕЛЬ взаимодействия потока с лопатками. В этом случае течение рассматривается между осесимметричными поверхностями тока (S), располагающимися на расстоянии Dr, причем эта величина изменяется в направлении движения в соответствии с изменением параметров потока в связи с энергообменом в пределах данного элемента ступени и, строго говоря, следует учитывать изменение толщины слоя.

Поверхность тока, в общем случае, имеет произвольную форму. Для осевых ступеней поверхность тока близка к цилиндрической.

Принимая Dr®0, и разворачивая сечение, например, для ступени осевого типа на плоскость получают вид лопаточных венцов ступени на данном радиусе, причем число лопаток становится бесконечным и ступень представляется в виде нескольких рядов лопаток, в каждом из которых течение можно считать зависящим от двух координат (рис.2.6).




Рис.2.6

В двумерной постановке течение становится плоским, появляется возможность рассмотрения кинематических характеристик потока, анализировать процесс взаимодействия потока с лопатками и искать форму лопаток и комплекс геометрических параметров решеток, обеспечивающих энергообмен с минимальными потерями при заданной нагрузке на решетку. Используя известные уравнения, например, о моменте количества движения может быть получена связь величины подведенной (или отведенной) энергии в элементарной ступени, с кинематическими параметрами потока. В то же время соотношения, полученные при использовании двумерной модели справедливы только для данной поверхности тока, но не дают представления о связи течения в отдельных сечениях между собой. Картину течения по высоте лопатки можно получить, если считать, что лопаточный венец является совокупностью бесконечного количества элементарных сечений от корня лопатки до периферийного сечения. В этом случае пространственный характер взаимодействия потока и лопаток представляется в виде КВАЗИТРЕХМЕРНОЙ модели .В реальном пространственном потоке слои рабочего тела связаны между собой достаточно сложными процессами, учет которых возможен при рассмотрении взаимодействия потока с лопатками в ТРЁХМЕРНОЙ модели течения, с учетом инерционных, вязкостных и других эффектов. Очевидно, что трехмерная модель наиболее полно отражает реальный процесс и ей следует отдавать предпочтение при решении задач проектирования турбомашин.

В то же время это самая громоздкая и трудоёмкая модель, позволяющая получить данные о пространственном облике лопаточного венца, вплоть до рабочего чертежа лопатки, что не всегда требуется.

Упрощенный подход к решению задач пространственного течения в ступени турбомашины предложил Н.Е.Жуковский. В соответствии с его идеей реальное течение сводится к двум двухмерным задачам о течении в слоях, образуемых поверхностями тока S₁ и S₂ [2], схематически представленых на рис. 2.7.

Рис. 2.7

На практике принято рассматривать «прямую» и «обратную» задачи.

Прямая задача – определение параметров потока при заданной геометрии лопаточного венца (в двух- или трёх-мерном представлении).

Обратная задача – определение геометрических параметров лопаточного венца при заданных параметрах потока.

Поскольку на начальной стадии газодинамического проектирования геометрические параметры лопаточных венцов не известны, то задачу как в двухмерной, так и в трёхмерной модели обычно решают методом последовательных приближений.

При разработке турбомашин широко используются различные расчетные модели. Применение ЭВМ позволило раздвинуть область применения двух- трехмерных моделей, однако при оценочных расчетах и при формировании облика турбомашин нередко обходятся одно- двухмерными моделями.

2.4. Уравнение расхода.

Уравнение расхода (неразрывности) для струйки тока рассматривается в фундаментальных курсах механики жидкости и газа. Применительно к турбомашинам это условие сохранения массы при движении жидкости (газа) применяется как при рассмотрении всей турбомашины, так и при анализе течения в элементах.

При установившемся течении секундный массовый расход газа через поперечное сечение элементарной струйки постоянный.

Если сечения нормальны к оси струйки то уравнение неразрывности запишется следующим образом:

DG= r₁С₁DF_1n= r₂ C₂ DF_2n , (2.1)

где DF_1n и DF_2n - площади элементарной струйки, нормальные к оси струйки. Если сечения не перпендикулярны оси струйки, то нужно рассматривать нормальную составляющую скорости в этом сечении

C_n = C sin a, а уравнение неразрывности запишется:

DG= r₁C_1nDF₁=H=r₂C_2nDF₂ (2.2)

В турбомашинах нормальная составляющая скорости есть проекция на ось машины, тогда в (2.2) C_1n=C_1a ;C_2n=C_2a .

Используя осредненные параметры, (2.2) можно записать в виде

G = r₁C_1aF₁ = r₂C_2aF₂ (2.3)

При известных эпюрах изменения параметров по площади сечения уравнение неразрывности записывается в интегральной форме:

G = ( ò_F rC_adF)₁ = (ò_F rC_adF)₂ (2.4)

Выше рассматривалось, как с использованием уравнения неразрывности можно оценить высоту лопатки на выходе из осевого компрессора, т.е. применяя одномерную модель машины. В этом случае применяют самые простые способы осреднения параметров в контрольных сечениях и задача решается достаточно просто.

В двумерных, а особенно в трёхмерных моделях параметры, входящие в уравнение расхода, записанное в той или иной форме, должны осредняться с учетом специфики конкретной задачи и с выполнением более полных требований теории осреднения параметров .

При расчетах турбомашин широко применяют уравнение расхода, записанное в заторможенных параметрах с использованием газодинамической функции плотности тока q(l):

G = m P^* q(l)sin aF/ Ö`T^* (2.5)

2.5. Уравнение энергии.

2.5.1 Уравнение энергии в тепловой форме.

Рассмотрим энергетический баланс потока входящего и выходящего из некоторого элемента, расположенного между сечениями 1-1 и 2-2, (рис.2.8).



Рис.2.8

Обозначая полный запас энергии газа в сечении 1-1 через Е₁, а в сечении 2-2 через Е₂, предположим, что к газу подведена (или отведена) внешняя энергия Е_вн в механической (L_вн) и тепловой (Q_вн) форме.


Примем, что Е_вн подведена, т.е. имеет знак «+», тогда:

Е₁ + Е_вн = Е₂ (2.6)

При установившемся движении расходы газа через сечение 1-1 и 2 равны, тогда все члены уравнения сохранения энергии можно представлять отнесенными к 1 кг газа. Полная энергия 1 кг газа в каждом сечении состоит из внутренней энергии C_vT, потенциальной энергии p/r и энергии положения gH, следовательно:

Е = С_vT+ P/r + C²/ 2 + gH (2.7)

Пренебрегая изменением энергии положения, запишем уравнение

(2.6) с учетом (2.7):

C_vT₁ + P₁/r₁ + C₁²/2 + L_вн + Q_вн = C_vT₂ + P₂/ r₂ + C₂²/2 (2.8)

Поскольку P/r = RT, а С_vT + RT = C_pT , (2.8) можно записать, решая относительно L_вн:

L_вн = С_p ( T₂ - T₁) + ( C₂² - C₁² )/2 + Q_q (2.9)

Т.к. С_р Т = i (i- энтальпия газа), то после преобразований получаем

Q_вн = (i₂ - i ) + (C₂^2- - C₁²)/2 + Q_q (2.10)

Это выражение называют УРАВНЕНИЕМ ЭНЕРГИИ В ТЕПЛОВОЙ ФОРМЕ, или в ФОРМЕ ТЕПЛОСОДЕРЖАНИЙ.

Уравнение (2.10) соответствует случаю, когда энергия подводится к газу, что имеет место в компрессоре.

Тогда L_вн = Н_т , где Н_т - удельная работа, подведенная к газу, называемая ТЕОРЕТИЧЕСКИМ НАПОРОМ.

Согласно (2.10) H_т =( i₂- i₁ ) + ( C₂² - C₁²)/2 + Q_q , (2.11)

или Н_т= С_р(Т₂ - Т₁) + ( С₂² - С₁²)/2 + Q_q . (2.12)

Применяя заторможенные параметры можно записать:

Н_т = С_р (Т^*₂ - Т^*₁) + Q_q = ( i^*₂ - i^*₁) + Q_q (2.13)

Для турбины уравнение энергии в форме теплосодержаний имеет вид:

L_u = C_p(T₁ - T₂) + ( C₁² - C₂²)/2 - Q_q (2.14)

или в заторможенных параметрах:

L_u = C_p (T^*₁ - T^*₂) - Q_q = ( i^*₁ - i^*₂) - Q_q (2.15)

L_u называют ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ РАБОТОЙ ТУРБИНЫ.


2.5.2 Уравнение энергии в механической форме. (Обобщённое уравнение Бернулли)

Согласно 1 закона термодинамики тепло, которым обладает выделенная масса соответствует внутренней энергии и тепла, соответствующего работе сил давления, т.е.

Q = C_p( T₂ - T₁) - ò₁² dP/r , (2.16)

с другой стороны тепло, сообщенное газу складывается из тепла, выделенного в результате потерь трения минус тепло, отведенное во вне,

т.е. Q = Q_Rk- Q_q, а т.к. Q_Rk = L_Rk , то

Q = L_Rk - Q_q (2.17)

Сопоставляя (2.16) и (2.17) можно записать:

Q = L_rk - Q_q = C_p(T₂ - T₁) - ò₁²dP/r , (2.18)

Из уравнения энергии в форме теплосодержаний

С_P(T₂- T₁) = H_т - Q_q - ( C₂² - C₁²)/2 (2.19)

Приравнивая правые части и решая относительно Н_т получим:

Н_т = ò₁² dP/ r + (C₂²- C₁²)/2 + L_Rk - для компрессора (2.20)

L_u = ò₂¹ dP/ r + (C₁²- C₂²)/2 - L_Rk - для турбины (2.21)

Эти выражения называют уравнением энергии в механической форме

(форма Б) или обобщенным уравнением Бернулли.

Применим эту форму уравнения к насосу.

Для жидкости

ò₁²dP/r = (P₂ - P₁)/r , т.к.. r₁ = r₂= r (2.22)

тогда Н_Т = (Р₂ - Р₁)/r + (C₂² - C₁²)/2 + L_RK (2.23)

Если переписать это выражение в виде:

P₁/r + C₁²/2 = P₂/r + C₂² /2 + L_Rk - H_T ,

т.е. получено известное в гидродинамике уравнение Бернулли.

2.5.3 УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ДЛЯ РАБОЧЕГО КОЛЕСА ТУРБОМАШИНЫ С УЧЕТОМ ПОТЕРЬ ВНЕ КОНТРОЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА

Теоретическая работа не является идеализированной величиной. Она учитывает потери L_Rk, сопровождающие течение реального рабочего тела внутри выделенного контрольного пространства, т.е. при обтекании лопаток . Однако, в рабочем колесе всегда существует радиальный зазор, а лопатки располагаются на ободе диска, поэтому в уравнение энергии необходимо включить потери в радиальном зазоре L_заз и на трение о диск L_f.

Обозначая, в частности в компрессоре, через L_k всю работу, затраченную на сжатие и гидравлические потери и полагая, что L_заз и L_f равномерно распределяются между линиями тока по всей высоте лопаточного венца получим:

L_k = Н_T + L_заз + L_f = ò₁² dP/r + (С₂² - С₁²)/2 + L_RK + L_заз + L _f (2.24)

Для осредненных значений параметров потока на среднем радиусе лопаточного венца* уравнение энергии для рабочего колеса совпадает с его видом для струйки тока, но это требует написание параметров с индексом «ср». В дальнейшем этот индекс будем опускать.

В многоступенчатом компрессоре L _k = ₁S^z L _{k i} (2.25)

* ПРИМЕЧАНИЕ: средним радиусом лопаточного венца компрессора по ГОСТ-у является радиус окружности, делящей площадь кольцевого сечения на две равные части, а в турбине - радиус, делящий высоту лопатки пополам. Однако, для простоты, будем считать и в компрессоре средний радиус также , как в турбине.

В ТУРБИНЕ с учетом потерь вне контрольного пространства

уравнение энергии примет вид:

L_T = ò₁²dP/r + (C₁²-C₂²)/2 - L_Rk - L_f - L_заз (2.26)

2.5.4 УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ДЛЯ СТУПЕНИ ЛОПАТОЧНОЙ МАШИНЫ

а) ОСЕВОЙ КОМПРЕССОР

Поскольку ступень осевого компрессора включает в себя два элемента: рабочее колесо, расположенное между сечениями 1 и 2 (рис.2.6) и направляющий аппарат (НА) между сечениями 2 и 3, то следует выяснить роль НА в работе сжатия ступени.

Уравнение энергии для НА запишется в виде:

Н_{т на} = 0 = ò₂³dp/r + (C₃² - C₂²)/2 + L_{R на} (2.27)

Отсюда можно найти изменение статического давления в НА, произошедшее за счет изменения кинетической энергии:

(С₂² - С₃²)/2 = ò₂³dP/r + L_{R на} (2.28)

Взяв уравнение энергии для рабочего колеса компрессора (2.20), прибавим и вычтем из него отношение С₃² :

Н_т = ò₁²dP/r + L_{R k} + C₂²/2-C₁²/2+C₃²/2 -C₃/2 ,

перегруппируя члены, получим:

Н_т= ò₁²dP/r+ L_Rk +(C₃²-C₁²)/2+(C₂²-C₃²)/2 ,

заменяя последний член из (2.28) получим:

Н_т=ò₁²dP/r+L_Rk+(C₃²-C₁²)/2+ò₂³dP/r+L_Rна ,

объединяя интегралы и обозначая L_rk + L_{R на} = L_R запишем:

Н= ò₁³ dP/r + L_R + (C₃²-C₁²) (2.29)

Уравнение энергии в форме теплосодержаний будет иметь вид:

Н_т = С_р (Т₃ - Т₁) + Q_q + (C₃²-C₁²)/2 (2.30)

б) Для ОСЕВОЙ турбины в механической форме:

L _u= ò₂⁰ dP/r - L_R + (C₀²-C₂²)/2 (2.31)

В форме теплосодержаний:

L _u = C_p (T₀ - T₂) - Q_q + (C₀²-C₂²)/2 (2.32)

2.6. Уравнение момента, мощности и удельной работы для рабочего колеса турбомашины.

2.6.1 Уравнение Эйлера в 1-й ФОРМЕ

Ранее отмечалось, что сообщение энергии газу,или отбор её в турбомашинах осуществляется за счет взаимодействия потока с лопатками, расположенными на ободе диска, который врашается вокруг оси . К валу подводится или отводится мощность. Её величина может дыть определена, если известна угловая скорость вращения и момент, приложенный к валу:

N = w M (2.33)

Момент, переданный массе газа, или отведенный от него можно определить рассматривая силовое взаимодействие потока и лопаток с использованием теоремы Н.Е .Жуковского о подъёмной силе крыла или системы крыльев (решетки), что требует точных данных о геометрических параметрах лопаток, которых на стадии проектирования обычно ещё нет.

С другой стороны, его можно определить, если иметь возможность сравнить момент количества движения массы газа (жидкости), протекающий через некоторый контур.

Применительно к элементарной массе, согласно теореме о моменте количества движения, производная по времени от момента количества движения частицы массой Dm относительно какой-либо оси равна равнодействующей моментов всех внешних сил, приложенных к данной массе, т.е. :

(2.34)

Если применить эту теорему ко всей массе жидкости, находящейся в каналах рабочего колеса,то её можно сформулировать следующим образом: «Изменение момента количества движения жидкости, протекающей через выделенный контур равно сумме всех моментов внешних сил, приложенных к жидкости, находящейся в межлопаточных каналах рабочего колеса.»

Проведем контрольную поверхность эквидистантно контуру рабочего колеса так, чтобы она плотно прилегала к нему, как это показано на рис. 2.9.

Рис.2.9

Для твердых частиц, составляющих конструкцию колеса момент количества движения можно записать в виде:

_тв DM_тв , (2.35)

где u = wr , а w - угловая скорость вращения колеса.

Суммируя момент количества движения всех частиц, находящихся в выделенном контуре, получим:

Sm+SSDM (2.36)

В правой части сумма моментов внешних сил состоит из момента, подведенного к валу ( М_z) на участке d-d и из момента сил трения на поверхности диска и бандажа рабочего колеса ( М _f), действующего против направления вращения. В эту сумму не входят силы внутреннего трения и давления, т.к. при сложении они взаимоуничтожаются.

Учитывая вышесказанное и обозначив S DM = М, запишем:

М = М _z - М _f (2.37)

Момент, приложенный к валу компрессора имеет положительный знак, т.е.

М = М _z – М_f (2.38)

в турбине, где момент отводится от вала - он отрицательный, т.е.

- M = - M _z + M _f , (2.39)

но поскольку в турбине M_z >M _f, (M _f » 10% M_z), суммарный момент внешних сил также всегда отрицательный.

Рассмотрим левую часть уравнения (2.36).

Поскольку принято,что движение установившееся, w = const, то

S= 0 (2.40)

Таким образом получаем, что момент внешних сил равен изменению момента количества движения частиц, находящихся в межлопаточных каналах рабочего колеса

S D M= SDm (2.41)

Момент количества движения изменяется:

1. потому, что частицы в мгновенной картине течения двигаются по определённой линии тока (конвективное изменение);

2. из-за неустановившегося течения в абсолютном движении, что отображается производной по времени момента количества движения.

Имея ввиду, что за некоторое время масса жидкости, находящаяся между поверхностями а-а^/ и b-b^/ изменит момент количества движения. Разность момента количества движения жидкости, проходящей через входное и выходное сечение рабочего колеса может быть записана в интегральной форме (с учётом осредненных по сечениям параметров) в виде:

М = С_u2 r₂ dG - С_u1 r₂dG , (2.42)

где dG = Dm₁/ dt = Dm₂ / dt при Dm₁= Dm₂ .

Переходя к суммарному расходу через колесо и имея ввиду осредненные по высоте лопаток значения С_u1 и С_u2, можно записать для компрессора

В компрессоре момент количества движения частиц газа M = M_кт называют ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ, сообщенным газу, а M_z=M_k моментом, подведенным к валу и затраченному на сообшение газу теоретического момента с учетом потерь на трение газа о диск ,

тогда

M _k = M_кт + M _f . (2.43)

М_кт = G(С_u2 r₂ - C_u1r₁) (2.44)

В турбине момент количества движения жидкости протекающей через выделенный контур уменьшается, тогда по выражению (2.37) величина М будет отрицательна. её называют ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ, отобранным от газа в ТУРБИНЕ, тогда - М = - М_u и выражение (2.42) в осредненных параметрах для турбины будет :

- M _u = G(C _u2r₂ - C_u1r₁), (2.45)

но т.к. в турбине С_u1 > C_u2 , то в скобке будет отрицательная величина.

Тогда минусы в обоих частях равенства сократятся, а для того , чтобы в скобках получившаяся разность стала положительной, условились считать В ТУРБИНАХ проекцию абсолютной скорости на окружную, направленную против окружной скорости - положительной, тогда выражение (2.48) записывается в виде:

М_u = G(C_u1r₁+ C_u2r₂) (2.46)

У турбин обычно a₂< 90⁰ ( см. план скоростей на рис.1.8), поэтому принятое положительное направление С_u2 позволяет правильно определять величину в скобках.

Таким образом, на основании уравнения о моменте количества движения получены выражения, связывающие удельную работу, затраченную на сжатие газа в компрессоре (2.44) и отобранную у газа в турбине (2.46) в результате взаимодействия потока с лопатками.

Известно, что момент связан с мощностью на валу через угловую скорость:

Мw = N [вт ], (2.49)

тогда с учётом того, что wr = u

в компрессоре: N_кт = N_k + N_f = G(С_u2 u₂ - C_u1 u₂) ü

ý (2.50)

в турбине: N_u = N_т + N_f = G(C_u1u₁+ C_u2u₂). þ

Отношение мощности к расходу называют удельной мощностью или работой, подведенной или отведенной от одного килограмма рабочего тела.

В компрессоре её называют ТЕОРЕТИЧЕСКИМ НАПОРОМ и обозначают соответствии с ГОСТ-ом Н_т

Н _т= L_k - L_f = С_u2 u₂ - C_u1 u₁, (2.51)

где L_k - удельная работа, затраченная на сжатие газа в компрессоре.

В ТУРБИНЕ удельную теоретическую работу обозначают L_u:

L_u= L _т + L _f = C _u1u₁+ C_u2u₂ , (2.52)

где L _т - удельная работа переданная от газа валу турбины.

Размерность удельной работы : Дж/кг, или в основных единицах м²/с².

В теории турбомашин выражения (2.51) и (2.52) называют уравнениями Эйлера в 1-й форме..

Видно, что уравнения Эйлера позволяют вычислять теоретическую работу по компонентам планов (треугольников) скоростей (рис. 1.3, 1.8).

ПРИМЕЧАНИЕ 1. «Теоретическая» работа не идеализированное понятие. В неё входят все гидравлические потери внутри контрольного пространства.

ПРИМЕЧАНИЕ 2. В приведенных выше формулах величины С_u1 и C_u2 являютсяя осредненными по шагу решетки на рассматриваемом радиусе, но без учёта полей скоростей по высоте лопаток. Влияние неравномерности полей параметров по высоте лопаток принято учитывать введением поправки W, называемой в компрессоре коэффициентом затраченной работы, а в турбине - коэффициентом уменьшения работы, т.е. в действительности

в компрессоре H_ктW = H_кт^{| ü}

ý (2.53)

в турбине H_u W = H_u^{| þ}

Величина W < 1 и @ 0,97-0,98.

2.6.2 Учёт влияния радиального зазора на удельную работу рабочего колесa

Поскольку между торцом лопаток рабочего колеса и статором всегда есть радиальный зазор, то часть газа проходит за пределами контрольного пространства и не участвует в получении полезного эффекта, т.е. является потерянной.

В КОМПРЕССОРЕ течение схематически показано на примере осевой ступени (рис.2.10а).



Рис.2.10

Видно, что энергию нужно подводить к расходу G_k, причем,

G_k = G_в+G_заз , (2.54)

т.е. если G_в - расход, идущий потребителю, то энергия подводится к расходу, превышающему его за счет того, что часть расхода возвращается на вход в колесо через зазор из-за того, что давление за рабочим колесом компрессора больше, чем на входе.

Имея ввиду, что удельная работа есть N_к / G_в , то обозначая N_к^’ действительную мощность, затраченную на создание напора в компрессоре запишем:

N_к^’=G_к Н _т W + N_f , или с учетом (2.54):

N_к^’ /G_в= L_к^’= (G_в+G_заз)/ G_в)Н_тW + N_f/ G_в ,

следовательно получаем:

L_к ^‘= Н_т^’ + (G_заз / G_в)Н_тW + L_f = H_т^’ + L_заз + L_f , (2.55)

где L_заз = (G_заз / G_в)Н_тW ,

т.е. действительная мощность, затраченная на вращение колеса компрессора больше мощности , затраченной на повышение давления газа с расходом G_в , на величину L_заз .

В ТУРБИНЕ в соответствии со схемой течения в осевой ступени, приведённой на рис. 2.9б расход газа, у которого отобрана энергия в лопаточном венце рабочего колеса,

G _т = G_г - G _заз (2.56)

Поскольку действительная мощность, полученная на валу турбины, с учётом неравномерности поля скоростей по высоте лопатки , получим:

N_т^’= G_тL_u^’ - N_f .

Разделив на расход газа через турбину G_г, запишем

N_т^’ / G_г= L_т^’= (G_т L_u^’ W )/ G_г - N_f / G_г =[(G_г - G_заз) L_u^’ W ] / G_г - L_f ,откуда:

L_т^’ = L_u^’ - L_заз - L_f , (2.57)

где (G_заз L_u^’ W ) / G_г = L_заз.

Итак, удельная работа на валу турбины меньше теоретической на

величину L_заз, т.е. работы, которая не была отобрана у газа, прошедшего мимолопаток через радиальный зазор, т.е. L_т^’ < L_u^’ .