Теория Информационных Процессов и систем конспект

Вид материала

Конспект

Содержание Лекция 0 3.8. Некоторые классы временных систем 3.8.1. Статические системы и системы без памяти S называется статической S называется системой без памяти 3.8.2. Стационарные динамические системы Семейство реакций

Подобный материал:

• Курсовой проект по курсу «Теория информационных процессов и систем», 184.09kb.
• Курсовой проект по курсу «Теория информационных процессов и систем», 194.57kb.
• Методические Указания к курсовому проекту по курсу «Теория информационных процессов, 194.13kb.
• Теория Информационных Процессов и систем конспект, 1677.5kb.
• Рабочая программа и задание на курсовой проект для студентов Vкурса специальности, 92.59kb.
• Аннотация примерной программы учебной дисциплины Теория информационных процессов, 911.06kb.
• Теория информационных процессов и систем., 31.64kb.
• Название научной школы, направлений, 378.51kb.
• М. Милютин логистика как ключевой модуль erp-систем, 41.74kb.
• Рабочая программа дисциплины Теория информационных процессов и систем  Рекомендована, 870.15kb.

Лекция 0

3.8. Некоторые классы временных систем

В самом общем случае вспомогательные функции могут быть различны для различных t  T. Однако в тех случаях, когда некоторые из них оказываются одинаковыми для всех t  T или получаются из одной функции за счет сужений, можно ввести разные типы инвариантности во времени.

3.8.1. Статические системы и системы без памяти

Первый тип инвариантности во времени характеризует взаимодействие между объектами системы в произвольный момент времени и непосредственно связан с реакцией системы.

Определение 3.20. Статическая система

Система S называется статической (безынерционной) тогда и только тогда, когда существует начальная реакция ₀: C₀  X  Y системы, такая, что для всех t  T

(c₀) (x) (x) [x(t) = x(t)  ₀(c₀, x)(t) = ₀(c₀, x)(t)].

Другими словами, система называется статической тогда и только тогда, когда для любого t  T, найдется такое отображение K_t: C₀  X(t)  Y(t), что

(x, y)  S  (c₀  C₀) (t) (y(t) = K_t(c₀, x(t))).

Любая временная система не являющаяся статической, называется инерционной.

С интуитивной точки зрения, система является статической, если значения ее выходной величины в любой момент времени t зависят исключительно от текущего значения входного воздействия и состояния, с которого началась эволюция. Поэтому, если функция x(t) на какой-то период времени становится постоянной, то постоянной становится и y(t). Напротив, выходная величина инерционной системы зависит НЕ только от текущего значения входного воздействия, но и от предыстории этого воздействия. Но в том и другом случае нельзя обойтись без упоминания о начальном состоянии.

Статическая система (x1, y1)  S, 0(c0, x1) = y1; (x2, y2)  S, 0(c'0, x1) = y1. Рис. 3.6

Заметим, что мы различаем динамические и инерциальные системы. Для первых требуется существование семейства переходов состояний, а для второй — всего лишь, не быть статической.

Определение 3.21. Система без памяти

Временная система S называется системой без памяти тогда и только тогда, когда она является статической системой и такой, что

(x) (x) (c₀) (c₀)[x(t) = x(t)  ₀(c₀, x)(t) = ₀(c₀, x)(t)],

или в терминах отображения K_t: C₀  X(t)  Y(t), такой, что

(x) (x) (c₀) (c₀)[x(t) = x(t)  K_t(c₀, x(t)) = K_t(c₀, x(t))],

т.е. когда существует отображение K_t^*: X(t)  Y(t), такое, что K_t^*(x(t)) = K_t(c₀, x(t)) (рис. ).

Система без памяти Рис. 3.7

Система без памяти полностью характеризуется отображением K_t^*: A  B. Система, не удовлетворяющая определению , называется системой с памятью.

3.8.2. Стационарные динамические системы

Понятие инвариантности во времени (второго типа) может быть связано с тем, в каком отношении друг к другу находятся реакции системы для двух различных моментов времени. Чтобы ввести соответствующее понятие, нам придется предположить, что множество моментов времени T является правым интервалом некоторой линейно упорядоченной абелевой²² группы T^. Групповая операция (сложение) в которой будет обозначаться символом «+». Точнее говоря мы будем считать, что T = {t: t  0}, где через 0 обозначен нейтральный элемент группы T^, а сложение согласовано с линейным порядком так, что

t  t'  t'   t  0.

Определенное выше множество моментов времени T будет в дальнейшем называться множеством моментов времени для стационарных систем.

Для каждого t  T обозначим через F^t: X^  X^ оператор, такой, что

(t') [F^t(x)(t') = x(t' t)].

Заметим, что оператор F^t определен как для отрицательных, так и для положительных моментов времени множества T^. Но допускает ли действие этого оператора содержательную интерпретацию, зависит от значения его аргумента. В общем случае, когда определено F^t(x_t't''), имеет место включение F^t(x_t't'')  X_{(t'+t)(t''+t)}.

Оператор F^t называют оператором сдвига. Его действие состоит в том, что он просто сдвигает заданную функцию времени на временной интервал, указанный в верхнем индексе оператора, и не изменяет ее в других отношениях (рис. ). Этот же символ будет использоваться для обозначения оператора сдвига в Y^. Определим также оператор сдвига для S^, полагая

F^t(x, y) = (F^t(x), F^t(y)).

Оператор сдвига Рис. 3.8

Определение 3.22. Вполне стационарная система

Временная система, определенная на множестве моментов времени для стационарных систем, называется вполне стационарной тогда и только тогда, когда (рис. )

(t) [t  T  F^t(S) = S_t],

Вполне стационарная система (xt, yt) = Ft(x, y) Рис. 3.9

и стационарной тогда и только тогда, когда

(t) (t'  0) [t, t'  T  S_t'  F^t' t(S_t)].

Очевидно, что если система вполне стационарна, то F  ^t(S_t' | T_t) = F  ^t'(S_t') для любого t  t'  T, т.е. начиная с любого заданного момента времени эволюция системы в будущем оказывается одинаковой с точностью до сдвига на соответствующий промежуток времени.

Если некоторые заданные входной и выходной объекты Х и Y системы удовлетворяют условию

(t) X_t =F^t(X) & (t) Y_t =F^t(Y),

мы будем называть их объектами стационарной системы.

Если для временной системы известна ее реакция, то можно дать следующее

Определение 3.23. Инвариантность семейства реакций во времени

Семейство реакций (системы) инвариантно во времени тогда и только тогда, когда для любого t  T найдется такое взаимно однозначное соответствие G_0t: C₀  C_t, что

(t) (x_t) (c_t) [_t(c_t, x_t) = F^t(₀(G_0t ¹(c_t), F ^t(x_t)))].

Очевидно, что реакция системы инвариантна во времени тогда и только тогда, когда для любого состояния в любой момент времени выход системы можно получить из начальных реакций системы с помощью подходящего сдвига во времени (рис. ).

Инвариантность семейства реакций во времени t(ct, xt) = Ft(0(G0t 1(ct), F t(xt))) Рис. 3.10

Совершенно аналогично, вводится

Определение 3.24. Инвариантная во времени динамическая система

Динамическая система называется инвариантной во времени тогда и только тогда, когда

1. инвариантно во времени семейство ее реакций;
   
2. для любых t, t'  T, & t' > t
   

(t) (t') (c_t) (x_tt') [_tt'(c_t, x_tt') = G_tt'(_0t'((G_0t ¹(c_t), F ^t(x_tt')))],

где t' = t + t и G_tt' = G_0t' G_0t ¹.

Для инвариантных во времени систем функцию перехода состояний для любого момента времени можно получить как результат действия оператора сдвига на начальную реакцию системы.

Что касается связи между стационарными и инвариантными системами, то

Предложение 3.3.  Стационарность системы с инвариантным во времени семейством реакций

Всякая система с инвариантной во времени реакцией (следовательно и всякая инвариантная во времени динамическая система) является стационарной.