Теория Информационных Процессов и систем конспект

Вид материала

Конспект

Содержание S — временная система, S 3.6.2. Общие динамические системы S. Семейство называют приведенным семейством реакций

Подобный материал:

• Курсовой проект по курсу «Теория информационных процессов и систем», 184.09kb.
• Курсовой проект по курсу «Теория информационных процессов и систем», 194.57kb.
• Методические Указания к курсовому проекту по курсу «Теория информационных процессов, 194.13kb.
• Теория Информационных Процессов и систем конспект, 1677.5kb.
• Рабочая программа и задание на курсовой проект для студентов Vкурса специальности, 92.59kb.
• Аннотация примерной программы учебной дисциплины Теория информационных процессов, 911.06kb.
• Теория информационных процессов и систем., 31.64kb.
• Название научной школы, направлений, 378.51kb.
• М. Милютин логистика как ключевой модуль erp-систем, 41.74kb.
• Рабочая программа дисциплины Теория информационных процессов и систем  Рекомендована, 870.15kb.

Лекция 0

Определение 3.12. Согласованность системы и реакции

Пусть S — временная система, S  X  Y и _t —некоторая функция, такая что _t: C_t X_t  Y_t. Мы будем говорить, что _t согласуется с S тогда и только тогда, когда она совпадает с реакцией системы S в момент времени t, т.е.

(x_t, y_t)  S_t  (c) [_t(c, x_t) = y_t].

Пусть

 = {(x_t, y_t): (c) (y_t = _t(c, x_t) )}.

Тогда условие согласованности можно переписать в виде

 = S_t.

Пусть  = {_t: C_t  X_t  Y_t & t  T} — множество произвольных функций. Мы будем говорить, что согласуется с временной системой S тогда и только тогда, когда совпадает с множеством реакций системы S, т.е. когда для любого t  T

 = S_t =  | T_t.

Предложение 3.2.  Существование семейства реакций для любой временной системы

Для каждой временной системы существует семейство реакций (следствие теоремы ).

Семейство произвольных отображений не обязательно должно быть семейством реакций, какой-нибудь временной системы, как это следует из теоремы:

Теорема 3.3. Существование системы, согласованной с семейством реакций

Пусть   = {_t: C_t  X_t  Y_t & t  T} — множество произвольных отображений. Для существования временной системы S  X  Y, согласующейся с (т.е. должно быть семейством реакций системы S), необходимо и достаточно, чтобы для всех t  T выполнялись следующие условия:

1. (с₀) (x^t) (x_t) (c_t) [_t(c_t, x_t) = ₀(c₀, x^tx_t) | T_t];
   
2. (с_t) (x_t) (c₀) (x^t) [_t(c_t, x_t) = ₀(c₀, x^tx_t) | T_t].
   

Доказательство. Прежде всего достаточность. Для этого необходимо установить, что равенство:   =  | T_t выполняется для любых t  T.

Возьмем произвольную пару (x_t, y_t)  . Тогда y_t = _t(c_t, x_t) для некоторого c_t  C_t и согласно условию 2),

y_t = _t(c_t, x_t) = ₀(c₀, x^tx_t) | T_t

для некоторого (с₀, x^t)  С₀  X^t. Поэтому

(x_t, y_t) = (x^tx_t, ₀(c₀, x^tx_t)) | T_t или (x_t, y_t)   | T_t,

откуда следует, что     | T_t.

Обратное  возьмем произвольную пару (x, y)  . Тогда для некоторого c₀

y = ₀(c₀, x) = ₀(c₀, x^tx_t).

Из условия 1) тогда вытекает, что для некоторого c_t  C_t

y | T_t = ₀(c₀, x^tx_t) | T_t = _t(c_t, x_t),

или (x, y) | T_t  . Значит,  | T_t  . Два включения дают  =  | T_t.

Необходимость.

Выберем произвольные x и c₀. Тогда (x, ₀(c₀, x))  . Так как  | T_t  , то

(x, ₀(c₀, x)) | T_t = (x_t, ₀(c₀, x^tx_t) | T_t)  ,

или для некоторого c_t

₀(c₀, x^tx_t) | T_t = _t(c_t, x_t).

Но отсюда

(t) (c₀) (x^t) (x_t) (c_t) [_t(c_t, x_t) = _t(c₀, x^tx_t) | T_t]. (1-е условие)

Выберем произвольные c_t и x_t. Тогда (x_t, _t(c_t, x_t))  . Так как    | T_t, то для некоторых c₀ и x^t

_t(c_t, x_t) = _t(c₀, x^tx_t) | T_t,

а поэтому

(t) (с_t) (x_t) (c₀) (x^t) [_t(c_t, x_t) = _t(c₀, x^tx_t) | T_t], (2-е условие)

ЧТД.

3.6.2. Общие динамические системы

Понятие динамической системы возникает тогда, когда появляется необходимость исследовать развитие системы во времени. Или, иначе говоря, нужно установить взаимосвязь между значениями объектов системы, относящимся к различным моментам времени. Для этого одного понятия реакции системы становится недостаточно.

Определение 3.13. Динамическая система

Временная система S  X  Y называется динамической, тогда и только тогда, когда найдутся два таких множества отображений

 = {_t: C_t  X_t  Y_t & t  T}

и

 = {_tt': C_t  X_tt'  C_t' & t, t'  T & t' > t},

что

1. семейство согласуется с S, т.е. является семейством реакций системы;
   
2. все функции _tt' из удовлетворяют условиям:
   

2.1) _t(c_t, x_tt'x_t') | T_t' =  _t'(_tt'(c_t, x_tt'), x_t');

2.2) _tt'(c_t, x_tt''x _t''t') = _t''t'(_tt'(c_t, x_tt''), x _t''t');

Функции _tt' называются функциями перехода состояний на T_tt', а — семейством функций перехода состояний.

Функции _tt' определены для t < t', однако мы далее будем считать, что

_tt(c_t, x_tt) = c_t для всех t  T.

Поскольку динамическая система полностью описывается двумя семействами отображений и , то мы будем называть динамическим представлением системы и даже просто динамической системой саму эту пару (, ).

Условие 2.1) определения  соответствует свойству согласованности семейства функций перехода состояний с заданным семейством реакций, а условие 2.2) — свойству композиции переходов состояний (полугрупповым свойством). Условия 2.1) и 2.2) определения  сильно связаны. При достаточно слабых предположениях условие 2.2) вытекает из условия 2.1).

Поэтому для того, чтобы можно было считать семейством функций перехода состояний, обычно достаточно только согласованности и .

Если для семейства реакций существует согласующееся с ним семейство переходов состояний, то мы будем называть первое семейство — семейством реакций динамической системы. Далее мы покажем, что не каждое семейство реакций может служить семейством реакций динамической системы.

Определение 3.14. Приведенное семейство реакций

Пусть — семейство реакций согласующееся с временной системой S. Семейство называют приведенным семейством реакций тогда и только тогда, когда для любого t  T

(c_t) () [(x_t) (_t(c_t, x_t) = _t(, x_t)) c_t = ].

Приведенность семейства , а значит и  = {c_t: t  T} не является существенным ограничением.

Приведенность означает, что если два состояния в любой момент времени обуславливают идентичное поведение системы в будущем, то это одно и то же состояние (их следует отождествить).