Geum.ru

Урок лекция по геометрии в 10 классе по теме «Декартовы координаты в пространстве»

Вид материалаУрок
Подобный материал:
Урок – лекция по геометрии в 10 классе по теме

«Декартовы координаты в пространстве»


Учитель: Макеева О. В.


Цели урока:
  1. Повторить введение и применение координат на прямой и на плоскости; формулы координат середины отрезка и расстояния между точками.
  2. Ввести декартовы координаты в пространстве.
  3. Развивать интерес к истории математики.


Оборудование:
  1. Таблица «Декартовы координаты в пространстве».
  2. Модель трёхмерной системы координат.
  3. Чертежные инструменты.
  4. Портрет Р. Декарта.


Ход урока

I. Введение

В 1637 г. во Франции вышла книга, которая принесла её автору невероятную известность. По обычаям того времени она имела довольно длинное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода». Автор книги Рене Декарт (1596 – 1650 г.). В ней он ввел прямоугольную систему координат, поставил каждой точке в соответствие пару чисел – её координаты. Этот прогрессивный метод позволил решить ряд геометрических задач алгебраическим методом, что оказалось очень удобным.

Главные правила метода гласят:
  1. Не принимать за истинное что бы то ни было, прежде чем не признал это несомненно истинным, т. е. старательно избегать поспешности и предубеждения и включить в свои рассуждения только то, что представляется уму так ясно и отчетливо, что никоим образом не может дать повод к сомнению.
  2. Делить каждую из рассматриваемых трудностей на столько частей, на сколько требуется, чтобы лучше их разрешить.
  3. Руководить ходом своих мыслей, начиная с предметов простейших и легко познаваемых, и восходить мало – помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существования порядка даже среди тех, которые в естественном порядке вещей не предшествуют друг другу.
  4. Делать всюду настолько полные перечни и такие общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.

Руководствуясь этими правилами, начнем с ранее изученного материала.


II. Повторение. Актуализация знаний

1. Сначала координаты точки ввели на луче, потом на прямой.

Координатная прямая – это прямая с выбранными на ней направлением, началом отсчета и единичным отрезком.

О А(х)

= ОА

0 1 х

Координатой точки А называют число, абсолютная величина которого равна расстоянию от начала отсчета до точки А.

Если точка расположена справа от точки О, то её координата положительная, если слева – то отрицательная.

2. Для определения положения точки на плоскости одной координаты недостаточно. Поэтому по примеру географических координат Декартом были введены координаты на плоскости, добавив к оси х перпендикулярную ось и выбрав на ней направление и единичный отрезок.

y О – начало отсчета.

(Повторить определение абсциссы и

Аy А(х,y) ординаты точки на плоскости).

ОАх = , ОАy = ,

1 А (х;y), Ах (х;0), Аy (0;y )


О 1 Ах х


III. Введение координат в пространстве

Первое определение IX книги «Начала» Евклида гласит: «Тело есть то, что имеет длину, ширину и глубину». Тем не менее есть основание полагать, что в древности нашего понятия о трехмерном пространстве не существовало. У Декарта имелись лишь далекие намеки на возможность распространения метода координат с двумерного пространства (плоскости) на трехмерное. Потребовалось ещё почти 100 лет, чтобы идея пространственных координат была сформирована, постоянно и и широко использовалась.

z (Объяснение с опорой на трехмерную модель и

Аz Ayz таблицу №21).

Система координат в пространстве представляет

Axz A собой три взаимно перпендикулярные прямые

х, y, z, пересекающиеся в одной точке.

О – начало отсчета,

О Ау у x, y, z – координатные оси,

Ax Axy xy, yz, xy – координатные плоскости.

x Координатные плоскости делят все пространство

на 8 октантов.


Определим координаты точки А на плоскости.

Через точку А проведем плоскость, параллельную плоскости yz. Она пересекает ось x в точке Аx . Координатой х точки А называется число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОАх . Аналогично определяются и другие координаты. Таким образом, точке А в пространстве ставится в соответствие тройка чисел – её координаты.

Обозначение: А(x; y; z). (Название координаты z найти самостоятельно).

Рассмотрим координаты частного расположения точек в пространстве.

Ах (х;0;0) Ахy (х;y;0) О (0;0;0)

Аy (0;y;0) Аyz (0;y;z)

Аz (0;0;z) Ахz (х;0;z)


Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин.

z

В1 С1 Ответы:

А1 D1 А (4;0;0) А1 (4;0;4)

В (0;0;0) В1 (0;0;4)

В С y С (0;4;0) С1 (0;4;4)

D (4;4;0) D1 (4;4;4)

А D

x


Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4. Определите координаты его вершин.

В1 z С А1 D1

Ответы:

А1 D1

А (2;-3;0) А1 (2;-3;4)

В С В (-2;-3;0) В1 (-2;-3;0)

А D y С (-2;3;0) С1 (-2;3;4)

D (2;3;0) D1 (2;3;4)

x


IV. Приложение метода координат

В качестве иллюстрации приложения метода координат рассмотрим алгебраические равенства, имеющие простые геометрические истолкования. Это формулы координат середины отрезка и расстояния между точками.


Задача на повторение. Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если:

1 вариант – А (3;-1), В (-2;4)

2 вариант – А (3;4), В (2; -1)

(Проверку работ осуществить на боковых досках).

Аналогичные формулы применяются в пространстве. По учебнику прочитать п.153, 154 и выписать формулы в тетрадь. Два ученика получают на дом задание - вывод формул.

Задача №3. Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2)

Найдите координаты середины отрезка АВ и его длину.

Решение:

1). Пусть С – середина отрезка АВ, тогда С (; ; ), С (2;0;0)

2). АВ = = = 2.


V. Подведение итогов урока


VI. Домашнее задание: п. 152 – 154, вопросы № 1 – 3, № 3, 9.

Два ученика получают индивидуальное задание: вывод формул.