Высшее профессиональное образование т. Я. Дубнищева концепции современного естествознания

Вид материала

Документы

Содержание G, определенная в опытах Кавендиша. Знание G 3.5. Связь законов сохранения со свойствами пространства и времени Центральная симметрия Зеркальная симметрия

Подобный материал:

• Учебно-методический комплекс концепции современного естествознания высшее профессиональное, 2306.3kb.
• Учебно-методический комплекс концепции современного естествознания высшее профессиональное, 2307.28kb.
• С. Г. Хорошавина концепции современного естествознания курс лекций, 6750.33kb.
• С. Г. Хорошавина концепции современного естествознания курс лекций, 5892.74kb.
• В. М. Найдыш Концепции современного естествознания, 8133.34kb.
• Учебно-методический комплекс дисциплины концепции современного естествознания Специальность, 187.08kb.
• Концепции Современного Естествознания, 274.86kb.
• Программа курса «Концепции современного естествознания», 168.05kb.
• Программа дисциплины Концепции современного естествознания Специальность/направление, 456.85kb.
• Бюллетень новых поступлений в нб согу за период с 05. 2011 по 10. 2011гг, 975.89kb.

3.4. Закон всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения Ньютона многие не принимали как не соответствующий здравому смыслу, как теорию действия на расстоянии. X. Гюйгенс развивал теорию близкодействия, гидродинамическую модель вращающейся жидкости, подобную вихрям Декарта. Этой модели придерживался и Г.Лейбниц как более наглядной в объяснении воздействия тел. Страстным пропаганди-

98

стом теории тяготения Ньютона стал Вольтер. Его популярная книга «Элементы учения Ньютона» (1738) сыграла большую роль в изменении общественного и научного мировоззрения во Франции. Критерием проверки закона тяготения на Земле, и стала форма Земли. По вихревой модели наша планета должна была быть вытянута у полюсов, а по теории Ньютона — сплюснута.

Для уточнения формы Земли были организованы экспедиции в Перу и Лапландию (1735, 1736—1737). П. Мопертюи, руководивший экспедицией на север, показал сплюснутость Земли у полюсов. В этой экспедиции принимал участие А. Клеро. После обработки полученных результатов он опубликовал книгу «Теория фигуры Земли», построенную на основе гидростатической модели эллипсоида вращения. Клеро предположил, что Земля ранее была жидкой, ее частицы взаимодействовали друг с другом по закону всемирного тяготения, и вся масса медленно вращалась вокруг оси. Эта работа имела огромное значение для геодезии и теории Земли.

Тем самым теория тяготения Ньютона получила подтверждение на Земле. Это нанесло удар по взглядам ученых, которые считали, что все процессы физического мира должны представляться наглядно. Солнечная система у Ньютона — гигантский механизм, в котором гравитация управляет движением всех его элементов. Но, изучая движение конкретной планеты, нельзя не учитывать воздействие других планет и их спутников, хотя оно и мало по сравнению с притяжением Солнца. Его называют возмущением, или пертурбацией (от лат. perturbatio — расстройство, смятение). Английский астроном и геофизик Э. Галлей, изучая материалы наблюдений, обратил внимание на сходство орбит комет в 1456, 1531, 1607, 1682 гг. и периодичность их появления (около 76 лет). Он заключил, что это была одна и та же комета, и предсказал ее возвращение в 1758 г. (рис. 3.2). Но из-за возмущающего действия Юпитера и Сатурна комета Галлея появилась только в следующем году почти в точном соответствии с расчетами Клеро (он ошибся только на 19 дней!). Предсказание возвращения кометы стало первой убедительной победой теории Ньютона. Клеро проверил теорию Ньютона и по движениям Луны. Он составил точные лунные таблицы и по своим разработкам написал книгу «Теория движения Луны» (1751).

Близость Луны к Земле (около 400 тыс. км) позволяла провести измерения достаточно точно. Еще в 1693 г. Галлей заметил, что современные ему данные по орбите Луны расходятся с древними наблюдениями так, будто радиус орбиты уменьшается за столетие на 10". Эйлер связал ускорение с торможением в окружающей среде, а не с тяготением, Лаплас — с малыми изменениями вытянутости земной орбиты из-за планетных возмущений. Их объяснения (1787) верны только отчасти: такие колебания существуют, вызывая наступления ледников, так как за десятки тысяч лет

99



широта местности может измениться. Но, кроме этого, есть еще ускорение Луны, вызванное приливами. Этот эффект кажущийся, а причина — замедление вращения Земли из-за приливного трения. Оценка эффекта дает за 1 млрд лет удвоение суток и удаление Луны от Земли на расстояние до 600 тыс. км.

Другое явление, позволявшее усомниться в пригодности закона Ньютона, было ранее замеченное некоторое ускорение движения Юпитера и замедление движения Сатурна (Кеплер, 1625; Гал-лей, 1695). Оно должно бы за долгие миллионы лет разрушить Солнечную систему, но этого не произошло. Анализ планетных возмущений привел Лагранжа (1776) и Лапласа (1784) к теореме устойчивости Солнечной системы: взаимные возмущения планет, движущихся по почти круговым орбитам примерно в одной плоскости и в одну сторону, приводят лишь к почти периодическим колебаниям эксцентриситетов и наклонений вблизи нуля, тогда как расстояния до Солнца колеблются вблизи своих начальных значений. Или — большие оси кеплеровских эллипсов не испытывают вековых возмущений. Эта теорема доказана Лапласом для первых членов ряда возмущений. Взаимные возмущения Юпитера и Сатурна существуют, и их значения колеблются с периодом в 900 лет. За 450 лет накопления возмущений эта величина составляет меньше одного градуса.

Самым убедительным подтверждением ньютонова закона тяготения в Солнечной системе явилось открытие «на кончике пера» еще одной планеты, названной Нептуном. Открытие этой плане-

100

ты — триумф науки и, конечно, закона всемирного тяготения. Границы Солнечной системы расширились почти вдвое.

В 1781 г. У. Гершель открыл новую планету Уран. Для нее были вычислены элементы орбиты и составлены таблицы движения. Но заметили, что Уран в своем движении отклоняется от рассчитанного по закону Ньютона: за три года — на 2' при погрешности измерений в доли секунд. Французский астроном У. Леверье предположил, что это отклонение вызвано влиянием неизвестной планеты, находящейся дальше Урана, и сделал расчет ее орбиты. Леверье сообщил результаты в письме от 18 сентября 1846 г. берлинскому астроному Галле, который имел звездные карты, содержавшие слабые звезды. Галле обнаружил в указанном месте слабую звездочку 8-й величины, которой на картах не было. Через день она переместилась относительно ближайших звезд, а в более сильный телескоп удалось разглядеть маленький диск. Это была предвычисленная по закону всемирного тяготения новая планета Солнечной системы. Ее положение на небе отличалось от предсказанного расчетом Леверье всего на 52". В это же время английский студент Дж.Адамс, впоследствии известный астроном, независимо от Леверье проделал нужные расчеты, поэтому у этого предсказания два автора, хотя официально признан первый. Позже было обнаружено, что в зарисовках Галилеем видимого в его телескоп участка неба есть слабенькая звездочка, которую он не догадался принять за новую неизвестную планету.

Планета Плутон была открыта 21 января 1930 г. Ее орбита вытянута столь сильно, что заходит даже внутрь орбиты Нептуна, как было в течение 20 лет (1979 — 1999).

Смещение перигелия Меркурия, обнаруженное около века назад, не удавалось объяснить по закону Ньютона. Ведь эллиптические орбиты планет не должны меняться со временем, и ближайшая к Солнцу точка орбиты — перигелий — не должна смещаться по отношению к неподвижным звездам. Но перигелий пре-цессировал с малой скоростью, и орбита напоминала поворачивающийся эллипс — не учитываемый эффект — 43" в 100 лет. Само измерение столь малой величины с такой погрешностью — тоже большое достижение (погрешность менее 1 %).

Подозревали, что есть еще одна планета, возмущающая орбиту Меркурия, ее даже условно назвали Вулканом, но не нашли. Появилось мнение, что закон тяготения Ньютона неточен. «Подправил» его в 1915 г. А. Эйнштейн: смещение перигелия планеты Меркурий удалось объяснить только в рамках ОТО (общей теории относительности). Эти поправки играют роль только вблизи больших тяготеющих масс.

По ОТО, перигелии орбит при каждом обороте планеты вокруг Солнца должны перемещаться на долю оборота, равную 3 (v/c)². Для перигелия Меркурия получается 43", угол поворота перигелия за сто лет составляет 42,91". Эта величина соответствует обработке на-

101

блюдений за Меркурием с 1765 по 1937 г. Так была объяснена прецессия перигелия орбиты Меркурия. Было показано, что для практических задач закон Ньютона дает хорошие результаты, но для больших скоростей и вблизи больших масс нужны иные законы.

Достижения космонавтики — величайшее подтверждение закона всемирного тяготения. Скорость, с которой должно двигаться тело у поверхности Земли, не падая на нее, называется первой космической. Она определяется из равенства ускорения свободного падения и центростремительного ускорения при условии, что тело движется по круговой орбите с радиусом, равным радиусу Земли, и равна 7,9 км/с. Впервые эта скорость была достигнута 4 октября 1957 г., когда советская ракета вывела на орбиту вокруг Земли первый искусственный спутник массой всего 83,6 кг. Он просуществовал как космическое тело 92 сут, совершив 1400 оборотов вокруг Земли. Искусственные спутники Земли несут трудовую вахту, решая многие задачи (дальняя радиосвязь, телевидение, метеорология, навигация, разведка, сейсмология и др.). Первый спутник был выведен на орбиту советской двухступенчатой ракетой-носителем «Спутник», ставшей основой для семейства ракет «Восток» и «Союз». Принцип действия ракеты можно объяснить с помощью второго и третьего законов Ньютона. Равенство кинетической и потенциальной энергии гравитации служит условием отрыва ракеты от Земли и выхода на параболическую (незамкнутую) траекторию и определяет вторую космическую скорость, равную 11,2 км/с. Старт первой автоматической станции «Луна-1» 2 января 1959 г. позволил впервые преодолеть рубеж второй космической скорости и выйти за пределы околоземного пространства. 12 апреля 1961 г. в космос был выведен космический корабль «Восток» с первым летчиком-космонавтом Ю. А. Гагариным. Так началась новая эра в истории освоения космоса людьми.

У. Гершель, открывший планету Уран и два ее спутника и измеривший звездный параллакс, хотел доказать, что «острова» во Вселенной существуют, каждый из них состоит из миллионов звезд, удерживаемых вместе за счет взаимного притяжения. Как Гюйгенс и Ньютон, он считал, что все звезды имеют одинаковую светимость, и тогда яркая звезда в паре со слабой должна быть ближе, чем слабая, и ее смещение за год будет больше. За 1782—1784 гг. Гершель измерил угловые расстояния почти 700 звезд, но смещения были не те, что он ожидал. Только в 1803 г. он понял, что открыл орбитальные движения звезд, образующих физические пары, компоненты которых движутся вокруг общего центра масс по закону Ньютона (они были названы визуально-двойными). Значит закон тяготения Ньютона всемирен. На его основе Гершель, Кант и Ламберт стали объяснять видимые явления во Вселенной. Гершель открыл двойные звезды, составил каталог двойных и кратных звезд (1784).

102

Кроме того, Гершель установил, что звезды в некоторых парах имеют разную светимость, а таких пар с отличающимися яркостями в сотни раз оказалось множество. Это не объясняется разной удаленностью звезд в паре. Все наблюдаемые в телескоп звезды образуют вместе с Млечным Путем тот «остров», к которому принадлежит и наше Солнце, а далекие «мировые острова» представляются нам туманностями, как считал и Кант. Гершель решил, что планетарные туманности — звездные системы в последней стадии гравитационного коллапса, а «звезды, их образующие в результате некоторых нарушений или утраты энергии, уже не могут больше поддерживать своего первоначального положения... и, наконец, собираются вместе и вследствие соударений объединяются в новое тело». Это объясняло природу «новой» звезды, которую видел Тихо Браге в 1572 г. в созвездии Кассиопеи, а И. Кеплер в созвездии Змееносца. Гершель обнаружил в 1790 г. новое явление — «звезду примерно 8-й величины со слабосветящейся атмосферой!» Это была планетарная туманность NGC 1514. И он нашел объяснение — это звезда, конденсирующаяся из облака светящегося вещества под действием гравитации. Так У. Гершель еще раз подчеркнул единство Вселенной и роль в этом закона всемирного тяготения.

Итак, подтверждением закона всемирного тяготения являются: в Солнечной системе — предсказание возвращения кометы Галлея, объяснение движений Луны, оценки планетных возмущений, обнаружение планеты Нептун по возмущениям планеты Уран, а затем планеты Плутон, сплюснутость Земли у полюсов, траектории астероидов, полеты космических аппаратов и т. п.; вне Солнечной системы — движение звезд в системе двойных звезд и звездных систем. Но и вне Солнечной системы использование закона тяготения привело к появлению ряда парадоксов (фотометрическому, космологическому и др.), которые были разрешены только в ОТО.

В закон Ньютона входит универсальная гравитационная постоянная G, определенная в опытах Кавендиша. Знание G позволило «взвесить» Землю, определить ее среднюю плотность, которая оказалась больше, чем вблизи поверхности. Значит, плотность растет с глубиной, Земля неоднородна. Это подтверждают и другие исследования, в частности сейсмические. На земной поверхности ускорение свободного падения почти постоянно, отличаясь из-за сплюснутости у полюсов на 0,18 % и из-за центробежных сил при перемещении от экватора к полюсу — на 0,34 %.

Уровень земных морей и океанов, испытывающий периодические изменения, связанные с лунными сутками, зависит от приливного (или дифференциального) гравитационного притяжения. С ним же связаны и другие эффекты. Например, лунные сутки примерно на час длиннее, ось вращения Земли испытывает прецессию с периодом примерно 26 000 лет, большая ось лунной орбиты вращается в прямом направлении (в направлении ее орбитального движения) с периодом почти 9 лет, точки пересе-

103

чения лунной орбиты с земной (узлы лунной орбиты) движутся несколько назад вдоль орбиты с периодом 18,6 лет и т.д. При этом приливообразующая сила Луны более чем в 2 раза превышает силу Солнца, поскольку эта сила пропорциональна кубу расстояний (что следует из расчета с использованием закона тяготения Ньютона).

Точное и устойчивое решение задачи трех тел, как было показано позднее Лагранжем, возможно только в том случае, когда три тела лежат в вершинах равностороннего треугольника, вращающегося вокруг центра масс данной системы с постоянной угловой скоростью 2π/Т. Эти точки устойчивости определяют оптимальные условия работы космических станций.

3.5. Связь законов сохранения со свойствами пространства и времени

Закон тяготения Ньютона определяет притяжение двух точечных масс. Для двух точечных неподвижных зарядов сила электростатического взаимодействия (закон Кулона) имеет такой же вид, как и в поле гравитации, только вместо масс будут стоять заряды q и Q. Знак зарядов может быть разным в отличие от масс, которые всегда положительны, и сила может быть притягивающей (-) или отталкивающей (+). Если тело не подвергается внешнему воздействию, его состояние движения остается постоянным. При взаимодействии двух тел, изолированных от других тел, сохраняется импульс Р = Мv. Инертная масса М определяется так, чтобы импульс при столкновении двух тел оставался неизменным. В такой системе сохраняется сумма кинетической и потенциальной энергий, или полная энергия системы Е. В изолированной системе сохраняется и момент импульса L, который часто называют кинетическим моментом (см. стр. 93).

Реакция вращающейся системы на внешнее воздействие проявляется в гироскопических эффектах. Земля — большой волчок, и ось ее вращения сохраняет свой наклон по отношению к горизонтали (плоскости эклиптики) практически неизменным, но испытывает прецессию относительно вертикальной оси.

Потенциальную энергию считали равной «ушедшей на время» кинетической энергии ради сохранения энергии при взаимодействиях. Выделим три случая:

а) в поле гравитации потенциальная энергия пропорциональна вертикальному смещению тела и его инертной массе E_п.гр = Mgh. Более точным является выражение GmM/r, в которое входят расстояние до центра Земли r и универсальная постоянная G. По мере удаления от центра Земли потенциальная энергия начинает убывать скорее, и в знаменателе этой формулы будет стоять r². При малых перемещениях вблизи поверхности сохраняется Mgh;

104

б) потенциальная энергия пружины пропорциональна квадрату ее де
формации

в) магнитная потенциальная энергия в грубом приближении об
ратно пропорциональна первой степени расстояния между магнита
ми:

Наклон графика зависимости потенциальных энергий от расстояния дЕ/дх отражает тенденции изменения.

Сила, которую развивает система при убывании ее потенциальной энергии, равна:Сила измеряется в ньютонах: 1 Дж/м = 1 Н.

Для указанных выше значений потенциальных энергий получим значения силы по записанной выше формуле. Поскольку для потенциальной энергии гравитации, равной Mgh, график — прямая с постоянным наклоном, сила гравитации равна Mg, т. е. силе тяжести тела, и направлена вертикально вниз. Для сжатой пружины потенциальная энергия пропорциональна х², поэтому сила пропорциональна упругости пружины и величине сжатия и направлена в противоположную сторону: F= -kx. Для отталкивания цилиндрических магнитов потенциальная энергия пропорциональна обратной величине расстояния между полюсами магнитов, поэтому сила пропорциональна обратной величине квадрата расстояния, т. е. 1/х².

Работа — скалярное произведение силы на перемещение, на протяжении которого она действует; можно записать: А = Fx. Но работа равна изменению потенциальной энергии той системы, на которую сила воздействует. А сила может увеличить и скорость тела (кинетическую энергию), и его потенциальную энергию, связанную с его положением.

Отсюда иное определение силы: это изменение потенциальной энергии системы, отнесенное к тому расстоянию, на котором оно произошло, и равное изменению импульса системы, отнесенному к тому времени, за которое оно произошло. Это понятие наглядно, оно сохранилось с древних времен, а в современной науке является производным от энергии, сохраняющейся в замкнутых системах.

Итак, в изолированных системах при движении сохраняется полная энергия системы. Кроме того, для поступательного движения сохраняется импульс, а для вращательного — момент импульса. Поскольку последние две величины — векторные, каждой из них соответствует по три сохраняющихся компоненты импульса и момента импульса. Таким образом, при взаимодействиях в изолированных системах имеют место семь сохраняющихся величин.

Установленные связи между свойствами пространства и времени и законами сохранения содержались в скрытой форме в принципах классической механики Галилея— Ньютона. Галилей рассматривал пространство и время как реальности, существующие вне нашего сознания. Его

105

принцип относительности отражал однородность и изотропность пространства. У Ньютона пространство и время абсолютны в том смысле, что свойства пространства не зависят от движущихся в нем тел и протекающих механических явлений, а свойства времени — от движущейся материи. Пространство и время не связаны между собой, они как бы арена, где происходят события. Однородность и изотропность пространства и времени необходимо следуют из законов Ньютона.

Впоследствии оказалось, что законы Ньютона можно заменить единым постулатом — вариационным принципом, который был удобнее во многих отношениях, его можно использовать при формулировке сложных задач. В механике материальной точки этот постулат равноценен законам Ньютона. Схему, основанную на законах Ньютона, иногда называют векторной механикой, поскольку она имеет дело с векторными величинами, например скоростью, силой, ускорением.

Аналитическая механика построена по схеме, введенной Лейбницем и развитой Эйлером, Лагранжем, Гамильтоном. Ее величины — скаляры, и динамические соотношения получаются через операции дифференцирования. Методы аналитической механики позволили решать более сложные задачи. Оказалось, что их можно распространить на теорию поля или квантовую механику, где механика Ньютона теряет свою применимость. Вместо понятия массы в аксоматической роли появляется импульс р, определяемый как произведение массы на скорость — производную по времени от координаты. Как и в обычной механике, частицу описывают с помощью координат q в пространстве, причем для системы из N частиц пространство имеет 3N измерений. К пространственным координатам q_j добавляются импульсные координаты q_j - 3N, а материальная точка описывается шестью обобщенными координатами в так называемом фазовом пространстве.

В аналитической механике для замкнутых систем существуют такие функции координат и скоростей материальных точек, которые при движении системы не меняются. Их называют интегралами движения. Если в системе N материальных точек, то сохраняющихся величин будет N- 1. Среди них есть такие, которые обладают свойством аддитивности, т.е. значение интеграла движения для системы, состоящей из невзаимодействующих частей, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности. Все эти три сохраняющиеся величины (или семь скалярных) — интегралы движения.

Эстетически вернее было бы постулировать законы механики в аналитической форме, а потом показать, что в некоторых ограниченных простейших случаях можно получить законы Ньютона. Но векторная форма проще и нагляднее, поэтому решение — какой путь избрать при обучении — неоднозначно. В аналитической механике показывается, что со-

106

стояние любой системы можно описать введением функции Лагранжа, зависящей от координат и скоростей. И, если известно, что в моменты времени t₁ и t₂ система занимает определенные положения, характеризуемые наборами координат, то среди возможных движений между этими положениями реальным будет то, вдоль которого действие будет иметь минимум (вернее, экстремум).

Действием называется величина—

скалярная функция обобщенныхкоординат q_i (i — индекс координаты), скоростейи времени t. Системы с N степенями свободы имеют N сохраняющихся величин. Но не все они одинаково важны, некоторые имеют общее значение, связанное со свойствами симметрии пространства и времени. В 1918 г. немецкий математик Э.Нетер доказала теорему о том, что с симметри-ями связаны законы сохранения. С однородностью времени оказался связан закон сохранения энергии, с однородностью пространства — закон сохранения импульса, с изотропией — закон сохранения момента импульса. И эти законы сохранения потому и стали великими, что связаны и определяются свойствами симметрии пространства и времени. На фундаментальный характер свойств симметрии обратил внимание еще И. Кеплер в своем труде «О гармонии мира», опубликованном в 1619 г.

«Симметричное обозначает нечто, обладающее хорошим соотношением пропорций, а симметрия — тот вид согласованности отдельных частей, который объединяет их в целое. Красота тесно связана с симметрией», — писал Г. Вейль. При этом он ссылался не только на пространственные соотношения, но также синонимом симметрии считал гармонию, указывающую на акустические и музыкальные приложения идеи симметрии. Многим творениям человеческих рук симметричная форма придается как из эстетических, так и практических соображений. Свойствами симметрии занимались многие кристаллографы — Е. С. Федоров, Г. В. Вульф, А. В. Шубников и др. И каждый из них отмечал в различных проявлениях симметрии в кристаллах основополагающую роль строения материи и всеобщий характер влияния симметрии на окружающий мир.

Центральная симметрия (поворотная) широко распространена в природе (вспомним причудливую симметрию снежинок).

Трансляционная симметрия (пространственная) представлена в многочисленных орнаментах, дошедших до нас из древности. Временная трансляционная симметрия прослеживается во всех периодически повторяющихся процессах. Примерами их могут быть и монохроматическая волна, и песни, и стихи, и колебательные химические реакции, и художественные произведения.

Зеркальная симметрия в геометрии относится к операциям отражения или вращения. Она была особо почитаема в Древнем Во-

107

стоке, что отражено в орнаментах и скульптурах той эпохи. Западное искусство, напротив, смягчало и даже слегка нарушало строгую симметрию. Зеркальна симметрия углов падения и отражения светового луча от гладкой поверхности. Зеркально симметричен узор крыльев бабочек или птиц относительно своей продольной оси. Мелкие организмы, взвешенные в воде, имеют почти шарообразную форму. У организмов, живущих в морских глубинах и подверженных давлению силы тяжести, множество поворотов вокруг центра (т.е. вращательная способность) свелось к отдельным поворотам вокруг некоторой оси. Действие факторов филогенетической эволюции, стремившейся вызвать наследственное различие между правым и левым, тормозилось теми преимуществами, которые животное извлекало из зеркально-симметричного расположения своих органов. Этим можно объяснить, почему наши конечности более подчиняются симметрии, чем внутренние органы. Возможно, это связано и с онтогенезом левого и правого, с плоскостью первого деления клетки.

Наибольшей симметрией обладают кристаллы, но не у всех из них наблюдается зеркальная симметрия. Существование оптически активных кристаллов, т.е. поворачивающих плоскость поляризации падающего на них света, долгое время казалось удивительным. Расположение сердца и закручивание кишечника у человека почти всегда (99,98 %) левостороннее. В нашем теле у глюкозы правовращающая форма, у фруктозы — левовращающая. Было установлено, что большинство соединений углерода в природе встречается и в той, и в другой форме. В пространстве различие между правым и левым связано с ориентацией винта, т. е. структура пространства не позволяет отличить их иначе как с помощью договоренности или произвольного выбора, на что указывал еще Лейбниц. В физике правое и левое — эквивалентны, а в мифологических представлениях символизируют соответственно добро и зло. Люди при встрече пожимают друг другу правую руку, в живописи правое создает иное настроение, чем левое.

Понятия симметрии играют в жизни человека важную роль. Природа красива и требует для своего описания красивых уравнений. Возможность записать законы природы с помощью математических формул — величайшее открытие человечества.