Программа подготовки 010100. 68. 02 Алгебра, логика и дискретная математика

Вид материала

Содержание

Подобный материал:

Направление подготовки
010100.68 Математика

Программа подготовки 010100.68.02 Алгебра, логика и дискретная математика

Аннотации дисциплин

Философия и методология научного знания

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 5 зачетных единицы (180 часов).

Цели и задачи дисциплины

Целями изучения дисциплины является углубленное изучение основных онтолого-гносеологических и философско-методологических идей и принципов как основы научного исследования; формирование представления о единстве философской и научной картин мира.

Задачами изучения дисциплины является овладение системой основных категорий и современных основ онтологии, гносеологии, эпистемологии; формирование разностороннего и адекватного современному уровню развития науки представления о науке, ее структуре, динамике и научной методологии, а также о роли философского знания в математическом поиске.

Структура дисциплины: лекции – 36 часов; семинары – 36 часов; самостоятельная работа студента-магистра – 72 часа; экзамен – 36 часов;

Основные дидактические единицы (разделы):

Онтология как сетка категорий, служащих матрицей понимания и познания исследуемых объектов.
Гносеология как категориальная схема, характеризующая познавательные процедуры и их результат (понимание истины, метода, знания, объяснения, доказательства, теории, факта и т.п.).
Многоаспектность феномена науки (деятельность, система знания, социальный институт). Специфика научного знания.
Эмпирический и теоретический уровни научного познания. Динамика науки как процесс порождения нового знания.
Основы философии математики (существование математических объектов, основания математики, истинность математического знания и ее критерии).
Специфика и методология социального познания.

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать: место науки в культуре и основные моменты ее философского осмысления; о разных аспектах понимания науки (вид деятельности, социальный институт, система знаний); вопросы, связанные с обсуждением природы научного знания и проблемы идеалов и критериев научности знания

представить структуру научного знания и его основные элементы; методы научного познания и особенности их применения; современные концепции философии науки; основные онтолого-гносеологические и философско-методологические идеи и принципы.

уметь: самостоятельно формулировать цели, ставить конкретные задачи научных исследований и решать их с помощью современных исследовательских подходов; находить, анализировать и контекстно обрабатывать информацию, в том числе относящуюся к новым областям знаний; применять полученные знания в области философии и методологии науки в профессиональной и научной деятельности в целом и в математическом поиске в частности.

владеть: навыками анализа науки в рамках различных стратегий научного поиска; навыками самостоятельного формулирования цели, постановки конкретных задач научных исследований и видения путей их решения опираясь на общие философско-методологические принципы; навыками самостоятельного мышления, всесторонней и непредвзятой оценки философских принципов, искусством ведения дискуссии, анализом философских текстов, а также владеть философско-методологическими принципами научного исследования.

Виды учебной работы: проблемный метод изложения лекционного материала с элементами дискуссии; обсуждение докладов и организованные дискуссии; использование элементов проектного обучения; анализ философских текстов, самостоятельная работа.

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом.

Математическая типография

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 5 зачетных единиц (180 час).

Цели и задачи дисциплины

Современное научное и образовательное коммуникативное пространство богато нормами и формами представления результатов, классическое представление в форме печатной работы лишь одно из многих. Издательская система ТеХ позволяет эффективно решать задачу хранения и представления накопленной научно-технической информации в единообразном виде, причем это представление (и способ ее хранения) дают возможность как воспроизводить эту информацию в печатном виде с типографским качеством, так и представлять ее в электронной форме, в том числе в интернете. Это мощное инструментальное средство для всевозможных форм презентации деятельности.

Цель изучения дисциплины.
Настоящий курс посвящен изложению «продвинутых» возможностей TeX для работы с разными форматами представления информации. Его целью является формирование у студентов умения использовать возможности издательской системы TeX и ее современных расширений для того, чтобы профессионально оформлять и представлять результаты выполненной работы как для докладов, так и для электронных или печатных публикаций.

Задачи изучения дисциплины:

понимание специфики требований к научным публикациям и возможностей системы TeX/LaTeX.
освоение системы пакетов Latex и написания собственных стилевых файлов как рабочих инструментов для создания выходных документов высокого качества.
формирование умения применять готовые программные продукты для подготовки печатных изданий и писать макропакеты под наперед заданные требования.

Структура дисциплины (распределение трудоемкости по отдельным видам аудиторных учебных занятий и самостоятельной работы): аудиторные занятия 2 з.е. (72 часа); самостоятельная работа 2 з.е. (72 часа); экзамен 1 з.е.

Основные дидактические единицы (разделы):

Раздел 1. LaTeX – технология подготовки научного текста для публикации.

Раздел 2. Основы программирования в TeX и LaTeX.

Раздел 3. Программирование презентационных эффектов.

Раздел 4. Графический язык «Meta».

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины: ПК 17 – умение извлекать полезную научно-техническую информацию из электронных библиотек, реферативных журналов, сети Internet и т.п.; ПК 18 – умение публично представить собственные и известные научные результаты; ПК 6 – способность различным образом представлять и адаптировать математические знания с учетом уровня аудитории; ИК 3 – навыки работы с компьютером.

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать:

историю создания TeX и LaTeX, назначение и структуру сети архивов TeX – CTAN; основные форматы представления научной публикации, структуру исходного файла в LaTeX, команды секционирования, базовые классы и пакеты. Знать, как осуществляется поддержка многоязычной среды, как происходит управление шрифтами, как работают программы BibTeX и MakeIndex;
виды и принципы работы пакетов LaTeX, управляющих дизайном документа;
основные возможности, пакеты и команды PdfLaTeX, в т.ч. для создания тестов, анкет и презентаций.
команды языка Д.Кнута «Мета», особенности и команды METAPOST и METAFONT, возможности пакета mfpic3d, его основные команды; возможности поддержки мультипликации средствами pdfLateX.

уметь: пользоваться существующими пакетами Latex для подготовки печатных и электронных изданий; писать собственные стилевые файлы и макропакеты под наперед заданные требования.

владеть: издательской системой TeX и ее современными расширениями на уровне, достаточном для профессионального представления учебных и научных результатов в электронной и печатной формах.

Виды учебной работы: лекции, практические и лабораторные занятия.

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом.

Нелинейный функциональный анализ и его приложения

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единиц.

Цель преподавания дисциплины. Данная дисциплина является основной для курсов специализации магистрантов по направлениям: «010200.62 Математика и компьютерные науки» и «010400.62 Прикладная математика». Она поможет поднять подготовку студентов магистратуры до уровня, сравнимого с аспирантами и соискателями степени PhD зарубежных вузов, тем самым заложить основы для подготовки элитных специалистов в области математики и механики.

Задачи изучения дисциплины. В процессе изучения дисциплины магистранты должны усвоить материал теории нелинейных операторов. Сюда включаются методы неподвижной точки, принцип Шаудера, метод Ньютона-Канторовича, глубокая теория Лере-Шаудера и ее приложения к теории бифуркации. Эти общие понятия и методы находят широкое применение при решении практических задач физики, механики, биологии, экологии и экономики.

Основные дидактические единицы (разделы):

1. Теоремы о неподвижных точках.

2. Дифференцирование в нормированных пространствах.

3. Метод Ньютона для нелинейных операторов.

4. Принцип Шаудера.

5. Теорема Какутани и ее приложения.

6. Монотонные операторы.

7. Ветвление решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

8. Теория степени в конечномерном случае.

9. Степень Лере-Шаудера.

10. Теория бифуркаций в бесконечномерном пространстве.

В результате изучения дисциплины студенты магистратуры должны

знать: основные отличия свойств линейных и нелинейных операторов; примеры из практики, приводящие к нелинейным операторным уравнениям; различные варианты методов неподвижных точек; теорию дифференцирования операторов в банаховых пространствах; приближенные методы решения операторных уравнений; применение принципов монотонности и компактности; теорию бифуркаций и её приложения;

уметь: применять абстрактные методы нелинейного функционального анализа к конкретным практическим задачам; находить приближенные решения с заданной точностью;

владеть: приёмами сведения задач к операторным уравнениям; выбрать подходящее банахово пространство, где оператор задачи обладает подходящими свойствами.

Виды учебной работы: В течение года студент должен прослушать лекции, выполнить задания для самостоятельной работы, успешно выдержать промежуточные тестовые испытания и итоговый экзамен.

Изучение дисциплины заканчивается устным экзаменом.

Элементы общей алгебры и дискретной математики

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 час).

Цели и задачи дисциплины

Целью изучения дисциплины является познакомить студентов с некоторыми нетрадиционными разделами общей алгебры и дискретной математики, имеющими приложения как в других областях самой математики, так и за её пределами (биологии, социологии, химии).

Задачей изучения дисциплины является: ознакомить студентов с проблематикой и приложениями теории решёток и конечных полей в описании переключательных схем и кодировании, рекуррентных последовательностей - в теории связи, полугрупп – в биологии и социологии, групп – в кристаллографии и химии.

Основные дидактические единицы (разделы): решётки, конечные поля, группы подстановок, абелевы группы, полугруппы, автоматы, грамматики, рекуррентные последовательности.

В результате изучения дисциплины студент магистратуры должен:

знать: основные факты изучаемых теорий и содержательные примеры.

уметь: доказывать основные теоремы.

владеть: основными понятиями и методами интерпретации перечисленных теорий.

Виды учебной работы: лекции, самостоятельная работа.

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом.

История и методология математики

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 2 зачетных единиц (72 час).

Цели и задачи дисциплины

Целью изучения дисциплины является: краткое изложение основных фактов, событий и идей в ходе многовековой истории развития математики в целом и одного из её важнейших направлений – «прикладной» (вычислительной) математики, зарождения и развития вычислительной техники и программирования. В курсе делается попытка представить математику как единое целое, где тесно перемежаются проблемы так называемой «чистой» и «прикладной» математики, граница между которыми зачастую весьма условная. Показывается роль математики в истории развития цивилизации. Особое внимание уделяется философским и методологическим проблемам математики на разных этапах ее развития.

Задачей изучения дисциплины является: подвести итог развития научного знания и оттенить взаимосвязи математики с другими науками, информатикой и, прежде всего, философией, сложившиеся за последние несколько тысяч лет. Создать целостное представление о математике, как сложной комплексной, развивающейся науке.

Структура дисциплины (распределение трудоемкости по отдельным видам аудиторных учебных занятий и самостоятельной работы): аудиторные занятия: лекции – 1 з.е., (36 часов); самостоятельная работа (изучение теоретического курса и реферат) – 1 з.е. (36 часов).

Основные дидактические единицы (разделы):

1. Основные этапы развития математики вплоть до XVII века.

2. Философские и методологические проблемы прикладной математики.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины: способностью понимать философские концепции естествознания, владеть основами методологии научного познания при изучении различных уровней организации материи, пространства и времени (ОК-1), способностью самостоятельно приобретать с помощью информационных технологий и использовать в практической деятельности новые знания и умения, в том числе, в новых областях знаний, непосредственно не связанных со сферой деятельности, расширять и углублять своё научное мировоззрение (ОК-4); способностью разрабатывать аналитические обзоры состояния области прикладной математики и информационных технологий по направлениям профильной подготовки (ПК-10).

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать: основные этапы развития математики 5 тыс. до н.э вплоть до настоящего времени.

уметь: грамотно пользоваться языком предметной области, извлекать полезную научно-техническую информацию из электронных библиотек, реферативных журналов, сети Internet и т.п.).

владеть: современной математической методологией.

Виды учебной работы: лекции, изучение теоретического курса, реферат.

Изучение дисциплины заканчивается зачетом.

Иностранный язык

в профессиональной сфере деятельности

Цели и задачи дисциплины

Целью изучения дисциплины является: формирование и развитие коммуникативной иноязычной компетенции, необходимой и достаточной, для решения обучаемыми коммуникативно-практических задач в изучаемых ситуациях бытового, научного, делового общения, а так же развитие способностей и качеств, необходимых для коммуникативного и социокультурного саморазвития личности обучаемого.

Задачей изучения дисциплины является: сформировать коммуникативную компетенцию говорения, письма, чтения, аудирования.

В результате изучения дисциплины студент должен

знать:

базовую лексику общего языка;
лексику, представляющую общенаучный стиль, а также основную терминологию в области узкой специализации;
особенности международного речевого/делового этикета в различных ситуациях общения;

уметь:

понимать устную (монологическую и диалогическую) речь на темы общенаучного и профессионального характера;
читать и понимать со словарем литературу по широкому и узкому профилю изучаемой специальности;
оформлять извлеченную информацию в удобную для пользования форму в виде аннотаций, переводов, рефератов и т.п.;
делать научное сообщение, доклад, презентацию;

владеть:

навыками устной коммуникации и применять их для общения на темы учебного, общенаучного и профессионального общения;
навыками публичной речи - делать подготовленные сообщения, доклады, выступать на научных конференциях, аргументацией, ведения дискуссии и полемики, практического анализа логики различного вида рассуждений;
базовой грамматикой и основными грамматическими явлениями, характерными для общенаучной и профессиональной речи;
основными навыками письменной коммуникации, необходимыми для ведения переписки в профессиональных и научных целях;
навыками практического восприятия информации.

Основные дидактические единицы (разделы):

Общая тематика
Общенаучная тематика
Профессиональная тематика

Изучение дисциплины заканчивается сдачей экзамена в конце обучения.

Современные проблемы математики и анализа

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 5 зачетных единиц (180 час).

Цели и задачи дисциплины

Целью изучения дисциплины является: изучение современных проблем теории функций многих комплексных переменных.

Задачей изучения дисциплины является: рассмотрение аналитического продолжения функций с границы области или части границы области, теории CR-функций, псевдовыпуклых и строго псевдовыпуклых областей, инвариантных метрик.

Структура дисциплины (распределение трудоемкости по отдельным видам аудиторных учебных занятий и самостоятельной работы): лекции – 1 з.е., практические занятия – 1 з.е., самостоятельная работа – 2 з.е., экзамен – 1 з.е.

Основные дидактические единицы (разделы): аналитическое продолжение, области голоморфности, полиномиальные оболочки, рациональные оболочки, CR-функции.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины: ОНК3, ИК5, ИК6, ОПК3, ОПК4, ОПК7, ОПК9, ОПК10, ОПК16, ПСК4, ПСК11.

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать: определения и основные теоремы из теории аналитического продолжения функций, теории CR-функций, голоморфных оболочек.

уметь: применять данные понятия к исследованию конкретных классов функций и классов областей.

владеть: методами теории аналитического продолжения и CR-функций, инвариантных метрик.

Виды учебной работы: лекции и практические занятия.

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом.

Современные проблемы математики и теории алгебраических систем

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 5 зачетных единиц (180 час).

Цели и задачи дисциплины

Целью изучения дисциплины является познакомить студентов с нерешёнными вопросами теории конечных простых групп: обратная задача теории Галуа, распознавания конечных простых групп по спектру, гипотезами Уайголда и Хигмена. Доказать структурные теоремы о строении рациональных групп (теоремы Гоу о разрешимых рациональных группах и теорему Фейта-Зейтца об описании композиционных факторов рациональных групп). Доказать теоремы об описании автоморфизмов и дифференцирований матричных колец над полями и различными кольцами.

Задачей изучения дисциплины является: ввести студентов в круг современных вопросов теории конечных простых групп, рациональных групп. Познакомиться с методами описания автоморфизмов и дифференцирований матричных колец и алгебр.

Основные дидактические единицы (разделы): обратная задача теории Галуа, вопросы строения конечных простых групп и их подгрупп, рациональные группы, автоморфизмы и дифференцирования колец и алгебр.

В результате изучения дисциплины студент магистратуры должен:

знать: основные факты изучаемых теорий и содержательные примеры.

уметь: доказывать основные теоремы.

владеть: основными понятиями и методами перечисленных разделов.

Виды учебной работы: лекции, самостоятельная работа.

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом.

Общая алгебра

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 час).

Цели и задачи дисциплины

Целью изучения дисциплины является познакомить студентов с основами теорий некоммутативных и полупростых колец. Доказать теорему Фробениуса об описании центральных тел конечного ранга над полем действительных чисел и её аналоги для других полей (теоремы Веддерберна и Хассе). Доказать основную теорему теории Галуа. Установить связь между разрешимостью уравнения в радикалах и разрешимостью его группы Галуа, доказать неразрешимость общего уравнения степени

Задачей изучения дисциплины является: пополнить запас примеров алгебраических систем и методов их исследований.

Основные дидактические единицы (разделы): некоммутативные кольца, полупростые кольца, тела конечного ранга, теория Галуа.

В результате изучения дисциплины студент магистратуры должен:

знать: основные факты изучаемых теорий и содержательные примеры.

уметь: доказывать основные теоремы.

владеть: основными понятиями и методами перечисленных теорий.

Виды учебной работы: лекции, самостоятельная работа.

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом.

Нестандартные логики.

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 5 зачетных единиц (180 час).

Цели и задачи дисциплины

Целью изучения дисциплины является овладение основными идеями и методами нестандартных логик.

Задачей изучения дисциплины является: формирование у студентов знаний в области алгебраической и реляционной семантики нестандартных суперинтуиционистских и модальных логик, а также освоение важнейших алгоритмов и методов этой теории.

Основные дидактические единицы (разделы): логические матрицы, алгебраические логики, булевы, псевдобулевы и модальные алгебры, теорема о полноте, конгруэнции и i-фильтры, теорема о гомоморфизмах, подпрямо неразложимые алгебры и их свойства, фреймы, модели Крипке, открытые подмодели, p-морфизмы, представляющие множества Стоуна, теорема Стоуна.

В результате изучения дисциплины студент магистратуры должен:

знать: основные определения и утверждения указанных дидактических единиц.

уметь: применять основные теоремы этой дисциплины к конкретным задачам, совершать преобразования в булевых, псевдобулевых и модальных алгебрах, работать со шкалами и обёртывающими алгебрами, строить гомоморфизмы и р-морфизмы.

владеть: системой понятий, необходимых для понимания и решения задач, указанных в предыдущем пункте

Виды учебной работы: лекции

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом

Алгебры Ли и группы лиева типа

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 5 зачетных единиц (180 час).

Цели и задачи дисциплины

Целью изучения дисциплины является овладение методами алгебр Ли и групп лиева типа и их применение в исследовательской работе .

Задачей изучения дисциплины является усвоение основных понятий алгебр Ли и групп лиева типа.

Основные дидактические единицы (разделы): системы корней, алгебры Ли и их подалгебры, алгебры и группы Шевалле, группы с (B,N)-парой, группы лиева типа ранга 1.

В результате изучения дисциплины студент магистратуры должен:

знать: основные определения и утверждения указанных дидактических единиц

уметь: классифицировать системы корней ранга 1 и 2, вычислять коммутатор двух унипотентных элементов групп Шевалле, представлять элементы групп Шевалле в канонической форме, записывать элементы групп лиева типа ранга 1 в матричной форме.

владеть: системой понятий, необходимых для понимания и решения задач, указанных в предыдущем пункте.

Виды учебной работы: лекции и семинары

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом.

Прикладные вопросы алгебры

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 3 зачетные единицы (108 час).

Цели и задачи дисциплины

Целью изучения дисциплины является овладение перечислительными методами и методами теории булевых функций.

Задачей изучения дисциплины является усвоение основных понятий, связанных с действием группы на множестве и прикладными аспектами теории булевых функций.

Основные дидактические единицы (разделы): теорема Бернсайда и перечислительная теория Пойя, применение булевых функций в криптографии.

В результате изучения дисциплины студент магистратуры должен:

знать: основные определения и утверждения указанных дидактических единиц

уметь: решать различные перечислительные задачи с применением действия группы на множестве, применять теорию булевых функций в криптоанализе.

владеть: системой понятий, необходимых для понимания и решения задач, указанных в предыдущем пункте.

Виды учебной работы: лекции и семинары

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом.

Группы с условиями конечности

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 часов).

Цели и задачи дисциплины

Целью преподавания дисциплины является ознакомление студентов с основными условиями конечности, используемыми в теории групп, а также формирование у них умений и навыков применения изученных условий конечности в доказательствах новых теорем и для построения примеров групп.

Задачей изучения дисциплины является: приобретение знаний, умений и навыков, необходимые для профессиональной деятельности в качестве исследователя и преподавателя по специальности «Математика».

Основные дидактические единицы (разделы):

РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Тема 1. Свойства конечных и бесконечных групп

Тема 2. Свойства групп диэдра

Тема 3. Нильпотентность и разрешимость

РАЗДЕЛ 2. ПРИМАРНЫЕ ГРУППЫ

Тема 4. Группы Шмидта

Тема 5. Конечные p-группы

Тема 6. 2-группы

РАЗДЕЛ 3. ГРУППЫ С РЕГУЛЯРНОЙ ИНВОЛЮЦИЕЙ

Тема 7. Группы с заданным централизатором инволюции

Тема 8. Виды условий конечности в группах

РАЗДЕЛ 4. БЕСКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ФРОБЕНИУСА, ПРИЗНАКИ НЕПРОСТОТЫ ГРУПП

Тема 9. Свойства групп Фробениуса

Тема 10. Примеры групп, разделяющие классы групп с различными условиями конечности

РАЗДЕЛ 5. ГРУППЫ ШУНКОВА С УСЛОВИЕМ МИНИМАЛЬНОСТИ

Тема 11. Черниковские группы

Тема 12. Группы с условием минимальности

РАЗДЕЛ 6. ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ

Тема 13. Локально конечные группы. Группы с BN-парой.

В результате изучения дисциплины студент магистратуры должен:

знать: основные условия конечности в группах, классические примеры конечных и бесконечных групп, разделяющие классы групп, удовлетворяющие различным условиям конечности.

уметь: применять полученные знания при исследовании новых примеров групп. Использовать специальную литературу, справочники, математические энциклопедии. Приобрести практические навыки самостоятельной работы при изучении групповых конструкций.

владеть: методами работы с бесконечными группами

Виды учебной работы: Лекции, семинарские занятия.

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом.

Дополнительные главы логики и дискретной математики

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 час).

Цели и задачи дисциплины

Целью изучения дисциплины является изучение некоторых разделов нестандартных логик, формальных языков и грамматик, комбинаторного анализа.

Задачей изучения дисциплины является: изучение основных разделов теории формальных языков, их связи с теорией автоматов, формальных дедуктивных теорий, некоторых разделов комбинаторного анализа.

Основные дидактические единицы (разделы): контекстно-свободные языки (языки Хомского), нераспознаваемые свойства КС-грамматик, автоматы с магазинной памятью, автоматные языки и конечные автоматы, задание языков с помощью систем уравнений, грамматики непосредственно составляющих, автоматы с линейно ограниченной памятью, алгебраические языки, трансформационные грамматики, разрешимые теории классического исчисления предикатов и нестандартные разрешимые пропозициональные логики, комбинаторные и производящие функции.

В результате изучения дисциплины студент магистратуры должен:

знать: основные понятия и теоремы указанных дидактических единиц.

уметь: применять систему предложенных понятий для постановки задач неформальных математических теорий.

владеть: системой понятий, необходимых для понимания и решения задач, указанных в предыдущих пунктах.

Виды учебной работы: лекции.

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом.

Алгоритмы в дискретной математике и оценки их сложности

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 5 зачетных единиц (180 час).

Цели и задачи дисциплины

Целью изучения дисциплины является построение и анализ сложности алгоритмов дискретной математики.

Задачей изучения дисциплины является: ознакомление с классом NP-полных задач; анализ алгоритмов решения задач булевой алгебры и булевых функций, теории графов, теории автоматов и теории кодирования, теории формальных языков и грамматик с точки зрения их трудоёмкости.

Основные дидактические единицы (разделы): недетерминированные алгоритмы, алгоритмы алгебры множеств, теории булевых функции, теории графов и сетей, линейного кодирования, алгоритмы построения и анализа конечных автоматов, алгоритмы формальных грамматик.

В результате изучения дисциплины студент магистратуры должен:

знать: основные алгоритмы указанных дидактических единиц, оценки их сложности.

уметь: применять известные алгоритмы для решения задач булевых алгебр, теории графов, построения конечных структурных автоматов, оптимальных потоков в сетях, кодов с заданными характеристиками.

владеть: системой понятий, необходимых для понимания и решения задач, указанных в предыдущих пунктах; методами определения основных характеристик формальных теорий (разрешимость и сложность).

Виды учебной работы: лекции, семинары.

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом.

Теория моделей

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 3 зачетные единицы (110 час).

Цели и задачи дисциплины

Целью изучения дисциплины является усвоение основных понятий и методов теории моделей:

Задачей изучения дисциплины является: ознакомление с системой понятий современной теории моделей.

Основные дидактические единицы (разделы): элементарная эквивалентность, модельная полнота, сколемизация, элиминация кванторов, теория типов, насыщенные системы, опускание типа, стабильные теории.

В результате изучения дисциплины студент магистратуры должен:

знать: важнейшие теоремы теории моделей; теории, допускающие элиминацию кванторов, примеры модельно полных теорий, основы теории типов,

уметь: применять методы теории моделей к задачам теории колец, теории групп, теории универсальных алгебр,

владеть: важнейшими понятиями и методами теории моделей.

Виды учебной работы: лекции.

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом.

Алгебраические группы и алгебраическая геометрия

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 5 зачетных единиц (180 час).

Цели и задачи дисциплины

Целью является изучение основ интенсивно развивающейся области математики, имеющей многочисленные связи и приложения.

Задачи. Предметом являются нетеровы кольца, кольцо K[X] от n переменных над алгебраически замкнутым полем K. Аффинное пространство Kn, его аффинные многообразия и два основных соответствия аффинных многообразий в Kn и иделов в K[X]. Топология Зарисского на аффинном пространстве и на аффинном многообразии V. Степень трансцендентности поля рациональных функций K(V) над K и размерность V. Теоремы Гильберта о базисе и о корнях (нулях). Биективность соответствия между аффинными многообразиями в Kn и радикальными идеалами в K[X]. Координатное кольцо K[V] и его характеризация, неприводимые многообразия и неприводимые компоненты, связь неприводимости V и простоты идеала J(V), пучок K-значных функций на V. Проективное пространство Pn(K) и проективное многообразие, их топология Зарисского, однородные полиномы, однородные множества. Биекция проективных многообразий на однородные радикальные идеалы. Однородное координатное кольцо на V, его градуированность и конечное покрытие открытыми множествами, изоморфными аффинным многообразиям.

Произведение нетеровых топологических пространств и предмногообразий. Алгебраические многообразия, их морфизмы и изоморфизмы. Алгебраичность аффинных и проективных многообразий, замкнутых, открытых и локально замкнутых подмножеств алгебрического многообразия X, размерность неприводимого алгебраического многообразия X.

Алгебраические группы, их гомоморфизмы и изоморфизмы. Алгебраичность замкнутых подгрупп, прямых произведений и классических линейных групп над K. Замкнутые подгруппы в GL_n(K), аффинные и линейные алгебраические группы. Связная компонента

G0 линейной алгебраической группы G, ее замкнутость и нормальность, конечность индекса. Признак замкнутости произведения двух замкнутых подгрупп. Связность алгебраической группы, порожденной замкнутыми связными подгруппами. Гомоморфизмы в GL_n(K) и рациональные представления алгебраической группы, совпадение ее размерности с суммой размерностей ядра и образа гомоморфизма.

Основные дидактические единицы (разделы): идеалы кольца многочленов многих переменных, аффинные и проективные многообразия, алгебраические группы, разрешимые и нильпотентные группы, подгруппы Бореля, классификация полупростых групп.

В результате изучения дисциплины студент магистратуры должен:

знать: основные понятия и факты перечисленных разделов.

уметь: ориентироваться в современной литературе.

владеть: методами доказательств основных теорем.

Виды учебной работы: лекции, семинары, самостоятельная работа.

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом.

Blog

Программа подготовки 010100. 68. 02 Алгебра, логика и дискретная математика

Содержание