Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел 1»  для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра Автор программы

Вид материала

Программа дисциплины

Содержание 1Область применения и нормативные ссылки 2Цели освоения дисциплины 3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины 4Место дисциплины в структуре образовательной программы 5Тематический план учебной дисциплины 6Формы контроля знаний студентов 6.1Критерии оценки знаний, навыков 7Содержание дисциплины 8Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента 8.1Тематика заданий текущего контроля 8.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины 9Порядок формирования оценок по дисциплине 10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины 10.1Базовый учебник

Подобный материал:

• Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел 2»  для направления, 149.76kb.
• Программа дисциплины Спецкурс «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия,, 94.05kb.
• Программа дисциплины Спецкурс «Теория Галуа 1»  для направления 010100. 62 «Математика», 100.92kb.
• Программа дисциплины Спецкурс «Многообразия флагов»  для направления 010100. 62 «Математика», 96.12kb.
• Программа дисциплины Спецкурс «Избранные главы дискретной математики»  для направления, 79.63kb.
• Программа дисциплины Спецкурс «Алгебраические кривые: по направлению к пространствам, 109.55kb.
• Программа дисциплины Дифференциальная геометрия и общая теория относительности  для, 218.93kb.
• Программа дисциплины Математические методы естествознания  для направления 010100., 199.02kb.
• Программа дисциплины Квантовая механика  для направления 010100. 62 "Математика", 286.28kb.
• Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение, 94.97kb.

Правительство Российской Федерации


Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"


Факультет Математики


Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел 1»




для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра


Автор программы:

Зыкин А. И., к.ф.м.н., PhD, alzykin@gmail.com


Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.

Председатель С.К.Ландо


Утверждена УС факультета математики «___»_____________2011 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________


Москва, 2011

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Программа разработана в соответствии с:

• ГОС ВПО;
  
• Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
  
• Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.
  

2Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» являются создание у учащихся целостного представления об идеях и методах теории чисел, обучение использованию для решения теоретико-числовых задач алгебраических, геометрических и аналитических методов.

3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

• Знать об основных понятиях теории чисел.
  
• Уметь решать  различные конкретные теоретико-числовые задачи, с использованием теории Галуа, локальных полей, теории Дедекиндовых колец, теории эллиптических кривых.
  
• Иметь навыки (приобрести опыт) применения алгебраической и аналитической техники в различных разделах теории чисел.
  

4Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.

5Тематический план учебной дисциплины

1 курс магистратуры

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы			Самостоя­тельная работа
			Лекции	Семинары	Практические занятия
1	Кривые над алгебраически незамкнутыми полями	20	8			12
2	Эллиптические кривые – геометрия	23	10			13
3	Эллиптические кривые – арифметика	29	14			15
		72	32			40

2 курс магистратуры

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы			Самостоя­тельная работа
			Лекции	Семинары	Практические занятия
1	Кривые над алгебраически незамкнутыми полями	40	8			32
2	Эллиптические кривые – геометрия	41	10			31
3	Эллиптические кривые – арифметика	45	14			31
		126	32			94

6Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год				2 год				Параметры **
		1	2	3	4	1	2	3	4
Текущий (неделя)	Контрольная работа	*	8							письменная работа, 80 мин.
Итоговый	Зачет		v							письменная работа, 240 мин

6.1Критерии оценки знаний, навыков

На зачете студент должен продемонстрировать хорошее умение применять знания, полученные в курсе, к конкретным задачам из теории алгебраических кривых, геометрии и арифметики эллиптических кривых и связанным с этими разделами задачам из теории чисел.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

7Содержание дисциплины

1. Раздел 1. Кривые над алгебраически незамкнутыми полями
   
   
   

   №	Тема	Всего часов	Лекции	семинары	Самостоятельная работа
   	Аффинные и проективные многообразия: кольцо и поле функций, гладкость, размерность. Отображения многообразий.	7	3		4
   	Кривые и отображения между ними. Дивизоры на кривых. Дифференциалы на кривых. Теорема Римана-Роха	13	5		8
   	Итого:	120	18	3	212

   
   
   
   Литература по разделу:
   

Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.

Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. - М.: Мир, 1970.

Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.

2. Раздел 2. Эллиптические кривые – геометрия
   
   
   

   №	Тема	Всего часов	Лекции	семинары	Самостоятельная работа
   	Определение эллиптических кривых. Уравнение в форме Вейерштрасса.	4	1		3
   	Групповой закон на эллиптической кривой: касательные, секущие и дивизоры. Автоморфизмы эллиптических кривых.	4	1		3
   	Изогении, двойственные изогении. Кольцо эндоморфизмов эллиптической кривой.	6	4		2
   	Модуль Тейта. Действие изогений на модуле Тейта. Спаривание Вейля.	4	2		2
   	Эллиптические кривые над C как римановы поверхности. P-функция Вейерштрасса и эллиптические интегралы.	5	2		3
   	Итого:	123	110	3	213

   
   
   
   Литература по разделу:
   

Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.

Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО, 2009.

Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. - М.: Мир, 1970.

Cox D., Primes of the form x2 + ny2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.

Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.

2. Раздел 3. Эллиптические кривые – арифметика
   
   
   

   №	Тема	Всего часов	Лекции	семинары	Самостоятельная работа
   	Эллиптические кривые над конечными полями: гипотезы Вейля, суперсингулярность, инвариант Хассе и кольцо эндоморфизмов.	8	4		4
   	Когомологии конечных групп. Когомологии Галуа.	4	1		3
   	Слабая теорема Морделла-Вейля. Группы Сельмера.	7	4		3
   	Теорема Морделла-Вейля: высоты и метод бесконечного спуска.	6	3		3
   	Теорема Зигеля о конечности числа целых точек на эллиптических кривых. Теорема Рота о диофантовых приближениях.	4	2		2
   	Итого:	129	114	3	215

   
   
   
   Литература по разделу:
   

Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.

Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.

Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО, 2009.

Cox D., Primes of the form x2 + ny2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.

Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.

Silverman J. «Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 151, 1995.

8Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

8.1Тематика заданий текущего контроля

Примерные вопросы для контрольной работы

1. Вычислите j-инвариант кривой C/Z[i].
   
2. Классифицируйте с точностью до изоморфизма эллиптические кривые над F_2 и посчитайте их группы автоморфизмов.
   
3. Опишите точки кручения на кривой y2=x3+5x+11 над полем рациональных чисел.
   

8.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

1. Что такое аффинные и проективные многообразия? Опишите процедуру проективизации аффинного многообразия и её свойства.

2. Что такое дивизоры на кривой? Как они ведут себя при отображениях?

3. Дайте определение дифференциалов на кривой. Как они связаны с морфизмами? Что такое сепарабельность морфизма?

4. Сформулируйте теорему Римана-Роха. Почему у любой эллиптической кривой есть плоская модель?

5. Что такое изогении и двойственные изогении? Классифицируйте кольца эндоморфизмов эллиптических кривых.

6. Опишите связь между решетками и эллиптическими кривыми над полем комплексных чисел.

7. Что такое инвариант Хассе эллиптической кривой? Докажите критерий суперсингулярности в терминах кольца эндоморфизмов.

7. Дайте определение когомологий групп. Что такое когомологии Галуа? Дайте определение групп Сельмера.

8. Сформулируйте и докажите слабую теорему Морделла-Вейля.

9. Что такое высота на проективном пространстве? Как меняются высоты на эллиптических кривых при изогениях? Докажите теорему о существовании канонической высоты.

10. Сформулируйте теорему Зигеля о целых точках на эллиптических кривых и выведите её из теоремы Рота.

9Порядок формирования оценок по дисциплине

Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется

по 10-балльной системе.


Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

О_{текущий} = n_1* О_к/р + n_3* О_{сам. работа}

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - О_{сам. работа} определяется перед промежуточным (итоговым) контролем.

Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑n_i = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.


Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k₁ = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k₂ = 0,5.

О_{промежуточный/итоговый} = 0,5 * О_{текущий} + 0,5 * О_{зачет/экзамен}

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.


Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.


В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1Базовый учебник

Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.

10.2Основная литература

Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.

Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.

Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. - М.: Мир, 1970.

Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.

Silverman J. «Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 151, 1995.

10.3Дополнительная литература

Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО, 2009.

Cox D., Primes of the form x2 + ny2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.