Geum.ru

Программа дисциплины Спецкурс «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра Автор программы

Вид материалаПрограмма дисциплины

Содержание


Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разр
Раздел 1 Комбинаторика конфигураций гиперплоскостей
Раздел 2. Алгебра и геометрия конфигураций.
Раздел 3. Топология дополнения к конфигурации.
Подобный материал:

Правительство Российской Федерации


Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"


Факультет Математики


Программа дисциплины Спецкурс «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология»


для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра


Автор программы:

Рыбников Г.Л., кандидат физико-матеметических наук, grybnikov@hse.ru


Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.

Председатель С.М. Хорошкин


Утверждена УС факультета математики «___»_____________2011 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________


Москва, 2011

^ Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Программа разработана в соответствии с:
  • ГОС ВПО;
  • Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
  • Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.



2Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология» являются
  • ознакомление студентов с основными комбинаторными, геометрическими и алгебраическими структурами, связанными с конфигурациями гиперплоскостей;
  • изучение связей этих структур с топологией дополнения к гиперплоскостям конфигурации;
  • представление о диапазоне применений методов и понятий теории конфигураций гиперплоскостей в других областях математики.



3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:
  • Знать основные определения и формулировки основных теорем теории конфигураций гиперплоскостей.
  • Уметь пользоваться индукцией удаления-факторизации, вычислять характеристический многочлен конфигурации и кольцо когомологий дополнения, задавать фундаментальную группу дополнения к конфигурации образующими и соотношениями, применять теорию конфигураций гиперплоскостей в задачах, приходящих из других областей математики, таких как геометрия, топология, математическая физика, теория особенностей и т.д.
  • Иметь навыки работы с комбинаторными и алгебраическими структурами (матроид, функция Мебиуса решетки пересечений, кольцо Орлика-Соломона, алгебра Варченко-Гельфанда и т.п.), связанными с теорией конфигураций гиперплоскостей.



4Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.

5Тематический план учебной дисциплины


1 курс магистратуры


№
Название раздела
Всего часов

Аудиторные часы
Самостоя­тельная работа

Лекции
Семинары
Практические занятия

1
Комбинаторика конфигураций гиперплоскостей
22
10






12

2
Алгебра и геометрия конфигураций
22
10






12

3
Топология дополнения к конфигурации
28
12






16




Итого:
72
32






40
2 курс магистратуры


№
Название раздела
Всего часов

Аудиторные часы
Самостоя­тельная работа

Лекции
Семинары
Практические занятия

1
Комбинаторика конфигураций гиперплоскостей
40
10






30

2
Алгебра и геометрия конфигураций
40
10






30

3
Топология дополнения к конфигурации
46
12






34




Итого:
126
32






94



6Формы контроля знаний студентов


Тип контроля
Форма контроля
1 год
Параметры **

1
2
3
4

Текущий

(неделя)
Контрольная работа
*
8






письменная работа 60 минут

Итоговый
Зачет




v






письменный экзамен 90 минут



1, 2 модули

6.1Критерии оценки знаний, навыков


Промежуточная письменная работа: знакомство с функцией Мебиуса решетки пересечений и с формулой обращения Мебиуса, вычисление характеристического многочлена конфигурации, его применение к решению комбинаторных задач (число областей, число раскрасок графа, число ациклических ориентаций и т.п.).

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

7Содержание дисциплины





    ^ Раздел 1 Комбинаторика конфигураций гиперплоскостей

Линейные, проективные и аффинные конфигурации гиперплоскостей — 1 лекция.
Специальные классы конфигураций; грани и камеры для вещественных
конфигураций — 1 лекция. Решетка пересечений; функция Мебиуса; характеристический многочлен — 2 лекции. Вычисления; подсчет числа камер; конфигурации над конечными полями — 1 лекция.

Литература: [OT]



    ^ Раздел 2. Алгебра и геометрия конфигураций.

Матроиды и их реализуемость над различными полями; пространства реализаций — 2 лекции. Построения фон Штаудта и теорема Мнева — 1 лекция. Вещественные конфигурации и ориентированные матроиды — 1 лекция. Кольцо Варченко-Гельфанда — 1 лекция.

Литература: [OT], [O], [BLSWZ]


    ^ Раздел 3. Топология дополнения к конфигурации.

    Кольцо Орлика-Соломона — 1 лекция. Дополнение к комплексной конфигурации; теорема
    Арнольда-Брискорна-Орлика-Соломона — 2 лекции. Комплексификация вещественной конфигурации; комплекс Сальветти — 1 лекция. Фундаментальная группа для произвольной комплексной конфигурации: образующие и соотношения — 1 лекция. Комбинаторно эквивалентные конфигурации с неизоморфными фундаментальными группами — 1 лекция.

    Литература: [OT], [BLSWZ], [Yuz], [Ryb]


8Образовательные технологии


В курсе возможны мастер-классы специалистов в различных областях математики, использующих теорию конфигураций гиперплоскостей. Возможны также презентации и математические эксперименты с использованием систем компьютерной алгебры и средств визуализации.

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Тематика заданий текущего контроля


Примерные вопросы/ задания для промежуточной контрольной работы:
  1. Вычислите функцию Мебиуса конфигурации гиперплоскостей, ассоциированной с заданным графом (небольшого размера).
  2. Найдите характеристический многочлен конфигурации, отвечающей системе корней типа A_n.
  3. Найдите наибольшее число ограниченных областей для конфигурации m аффинных гиперплоскостей в n-мерном вещественном пространстве.



9.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


Примеры задач экзамена по всему курсу:
    1. Приведите пример матроида ранга 3, пространство комплексных реализаций которого несвязно.
    2. Найдите число точек в дополнении к коксетеровской конфигурации гиперплоскостей типа B_3 над полем из q элементов.
    3. Найдите числа Бетти дополнения к коксетеровской конфигурации типа D_4 над полем комплексных чисел.
    4. Задайте образующими и соотношениями фундаментальную группу дополнения к комплексификации конфигурации, состоящей из сторон квадрата и его диагоналей.



10Порядок формирования оценок по дисциплине


Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10 балльной

шкале.


Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.

Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.


Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.


В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

11Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1Базовый учебник


[OT] Orlik, Peter; Terao, Hiroaki, Arrangements of Hyperplanes, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 300, Berlin: Springer-Verlag, 1992.

11.2Основная литература


[BLSWZ] A. Bjorner, M. Las Vergnas, B. Sturmfels, N. White, and G. Ziegler, Oriented Matroids, second ed., Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 46, Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

[O] Oxley, James, Matroid Theory, New York: Oxford University Press, 1992.

11.3Дополнительная литература


[Yuz] С. А. Юзвинский, “Алгебры Орлика–Соломона в алгебре и топологии”, УМН, 56:2(338) (2001), 87–166

[Ryb] Г. Л. Рыбников, “О фундаментальной группе дополнения к комплексной конфигурации гиперплоскостей”, Функциональный анализ и его приложения, 45:2 (2011), 71–85


11.4Справочники, словари, энциклопедии


ссылка скрытаHyperplane_arrangement

ссылка скрытаMatroid

ссылка скрытаOriented_matroid