Оценка инвестиционной стоимости ликвидности актива

Вид материала

Документы

Содержание T - период времени, к которому привязаны ставки доходности i Примечание. Другим названием функции полезности здесь может послужить термин «относительная инвестиционная стоимость». T - период времени, к которому привязаны ставки доходности: например, если ставки доходности выражены в процентах годовых, то Т В свете выше сделанных определений дополним теперь выражения (2.44) – (2.48) следующими равенствами Примечание. Для условий примера полагается, что рыночная стоимость актива равна 1 млн. руб., i Определяемый вид и объект стоимости W, то есть при заданном одном из значений i

Подобный материал:

• Отчет об оценке нематериального актива гуп, 668.45kb.
• Примерные темы курсовых работ по дисциплине «оценка стоимости предприятия (бизнеса)», 18.57kb.
• Оценка ликвидности и платежеспособности предприятий розничной торговли, 748.78kb.
• Оценка бизнеса как способ определения стоимости собственного капитала предприятия, 189.21kb.
• Программа профессиональной переподготовки «Оценка стоимости производства (бизнеса)», 393.82kb.
• Оценка инвестиционной стоимости компании в сделках слияния и поглощения, 341.32kb.
• Методические основы оценки проектов и формирования эффективной инвестиционной политики, 229.31kb.
• Бизнес-планирование в инвестиционной деятельности. Инвестиционная деятельность банков, 8.35kb.
• Учебно-методический комплекс по дисциплине экономический анализ специальность «Оценка, 1337.05kb.
• Программа дисциплины «Оценка и мониторинг инвестиционной привлекательности нефтегазовых, 109.1kb.

ОЦЕНКА ИНВЕСТИЦИОННОЙ СТОИМОСТИ ЛИКВИДНОСТИ АКТИВА

Ю.В. Козырь

Ниже рассматривается проблема инвестиционного выбора между денежными средствами и приносящими доход активами (в качестве последних рассматриваются облигации), а также описывается возможный в такой ситуации подход к оценке относительной и абсолютной стоимости ликвидности¹.


В книге “Принципы корпоративных финансов” авторы Ричард Брейли и Стюарт Майерс среди десяти нерешенных и наиболее перспективных для дальнейших исследований проблем в теории финансов называют проблему оценки стоимости ликвидности. Авторы, в частности, пишут: “...вопрос в следующем: как, при прочих равных условиях, фирма должна распределить свои вложения между более ликвидными и менее ликвидными активами. На этот вопрос очень сложно дать ответ. Естественно, каждая фирма должна быть в состоянии быстро раздобыть деньги, но нет хорошей теории, объясняющей, каков достаточный уровень денежных средств и как быстро фирма должна их получить...”².

Таким образом, авторы подчеркивают тот факт, что как минимум к моменту написания вышеуказанной книги (1993 г.) в научном сообществе отсутствовали подходы к оценке стоимости ликвидности как таковой. Из существующих «родственных» данной тематике моделей существуют лишь модели управления остатками денежных средств, например, модель Миллера-Орра³, позволяющая принимать решения об изменении пропорций в портфеле, состоящем из денежных средств и акций. Однако, повторим, эти модели не позволяют оценивать стоимость самой ликвидности. Учитывая вышеизложенное, автор настоящей статьи сделал попытку снизить на пять процентов количество нерешенных финансово-теоретических проблем⁴, и вот что из этого у него получилось.


Отправной точкой рассуждений автора явился следующий набор переменных гипотетической (т.е. пока не найденной) функции ликвидности: спрэд рыночных котировок активов, постоянные издержки конвертации, ставка процента по ценным бумагам, альтернативная ставка процента и необходимое время конвертации из одного актива в другой. В некоторых случаях делались допущения о предполагаемой (ожидаемой) действительности, например, вводились в рассмотрение такие параметры, как ожидаемое время хранения активов в наличности до конвертации в другой актив, вероятность возникновения необходимости конвертации за фиксированное время, вероятность продажи актива (т.е. вероятность конвертации менее ликвидного актива в более ликвидный) за фиксированное время без изменения сложившихся ранее котировок.

На основании полученных результатов стало возможным в каждом конкретном случае определять (с учетом известного набора данных) что выгоднее - хранить активы в денежной или неденежной форме. К сожалению, пока не удалось решить проблему оптимального распределения активов между денежной и неденежной формами - в этом вопросе по-прежнему можно опираться на модель Миллера-Орра.

Итак, перейдем к изложению предлагаемых инноваций.


1. Критерии альтернативной ликвидности


Представим ситуацию, при которой руководство компании стоит перед выбором: направлять все временно свободные средства в альтернативные вложения (депозит, облигации, акции других компаний), оставлять их в качестве резерва на непредвиденные обстоятельства, либо каким-то образом распределять их между первым и вторым. Первая возможность (направление свободных средств в альтернативные вложения) хороша тем, что позволяет получить максимально высокий процент от использования этих средств. Слабой стороной такого подхода (и сильной стороной второго подхода – прим.) является, во-первых, опасность невозврата средств в запланированный срок, во-вторых, ненулевая вероятность возникновения потребности в средствах раньше запланированного срока (в силу непредвиденных обстоятельств, связанных с необходимостью нормального функционирования основного бизнеса компании) и, в-третьих, конвертация денежных средств в другие активы связана с временными и денежными издержками. Для того, чтобы можно было сравнивать между собой альтернативы содержания беспроцентного денежного резерва и неденежных активов, генерирующих проценты, представляется целесообразным скорректировать процентную ставку неденежного актива в меньшую сторону, отразив тем самым фактор его (неденежного актива) пониженной (по сравнению с денежными средствами) ликвидности. Механизмами такой корректировки и одновременно критериями принятия соответствующих решений являются нижеприведенные критерии.

Критерий 1. Если выполняется неравенство


< 1, (2.30)


то активы выгоднее хранить (держать) в наличности (денежных средствах), а не в облигациях, в противном случае - наоборот.


В неравенстве (2.30) приняты следующие обозначения:

Т_ож - ожидаемое время хранения активов в наличности до конвертации в проект X, доля года;

t_ANC – (administrative non cash) среднее минимально необходимое административное время конвертации облигаций (в данном случае) в наличность, доля года;

S_nc – спрэдовые транзакционные издержки при конвертации облигаций (в общем случае - неденежного актива) в наличность, % или доли единицы;

i_x - процентная ставка доходности по проекту X, % или доли единицы;

i_b - процентная ставка доходности по облигациям (в общем случае - неденежного актива), % или доли единицы,

T - период времени, к которому привязаны ставки доходности i_b и i_x: например, если ставки доходности выражены в процентах годовых, то Т равен одному году при выражении t_ANC и Т_ож в долях года или 365 (243) дням при выражении i_b, i_x, Т_ож и t_ANC в днях.

Под термином “проект X” подразумевается любая возможная альтернатива облигациям, например, расчеты с кредиторами и поставщиками для продолжения успешного функционирования основного бизнеса, рентабельность которого равна i_x%; при этом предполагается, что ставка процента по этой альтернативе выше ставки по облигациям.

Из критерия 1 можно получить условия целесообразности конвертации денежных средств в неденежный актив. Такая целесообразность наступает при соблюдении следующих эквивалентных условий:

, (2.31)


, (2.32)


где все обозначения соответствуют обозначениям в (2.30).


Критерий 2 (более сильный по сравнению с критерием 1). Если значение функции полезности⁵ денежных средств W_c больше значения функции полезности облигаций W_b, то (опять-таки) активы лучше держать в денежной форме, и наоборот.

Примечание. Другим названием функции полезности здесь может послужить термин «относительная инвестиционная стоимость».

Здесь:


(2.33)


(2.34)


(2.34а)


,

(2.35)


либо, более точно,


,


(2.36)


где

L_c - издержки ликвидности денежных средств, доли единицы,

L_b - издержки ликвидности облигаций, доли единицы,

S_b - спрэд котировок облигаций (в общем случае неденежного актива), доли единицы,

S_b0 - постоянные издержки при продаже облигаций (в общем случае неденежного актива), руб.,

S₀ - постоянные издержки при вложении денежных средств в проект X, руб.,

C - абсолютная величина размера активов, участвующих в конвертации, выраженная в рублях,

S₀/C - постоянная составляющая издержек инвестирования денежных средств С, выраженная в относительной форме, доли единицы,

S_b0/C - постоянная составляющая издержек продажи ценных бумаг (в общем случае неденежного актива) на сумму С, выраженная в относительной форме, доли единицы

t₀ - необходимое административное время конвертации денежных средств в проект X,

t - среднее время продажи облигации (в общем случае неденежного актива) с момента выставления котировки или предложения на продажу до момента поступления предложения на покупку (или фактической сделки),

T - период времени, к которому привязаны ставки доходности: например, если ставки доходности выражены в процентах годовых, то Т равен одному году при выражении t и t₀ в долях года или 365 дням при выражении i_b, i_x, t и t₀ в днях,

M – фактор масштаба, отражающий степень нарастания потерь за время реализации неденежного актива (t или (t + t₀)), т.е. если не конвертировать своевременно (конвертировать с задержкой) неденежный актив стоимостью С, генерирующий доходность i_b, то потери в основном бизнесе с рентабельностью i_x составят М´С.

Р₁ - вероятность возникновения необходимости конвертации за расчетный интервал времени, равный ожидаемому времени хранения актива Т_ож в соответствующей форме, 0 £ Р₁ £ 1,

P₂(t) - вероятность продажи облигаций (в общем случае неденежного актива) за время t без снижения существующих котировок, t ³ t_ANC, 0 < Р₂ £ 1.

Поскольку при оценке значений Р₁ и Р₂ невозможно избежать субъективизма, сначала можно подставлять их предельные значения {0, 1} (при этом в качестве минимально допустимого значения для Р₂ следует выбирать значение, отличное от нуля), получив в качестве ориентира три возможных краевых значения для W_b⁶ и два для W_c, после чего подставлять какие-либо промежуточные значения, скорректированные с учетом объективно-субъективных (статистических или экспертных) оценок.

Примечание. Отличие выражений (2.34) и (2.34а) друг от друга обусловлено тем, что (2.34) представляет собой общий вид, а (2.34а) – расчетную формулу.

Следует отметить, что при Р₁ = 1 знаменатель в (2.35) и (2.36) по сути представляет собой меру ликвидности (или наоборот - неликвидности), а при Р₁ = 0 знаменатель всегда равен единице; при этом, понятно, актив не становится сам по себе более ликвидным, но полезность обладания таким активом будет равна полезности обладания денежными средствами (разумеется, при условии равенства числителя, т.е. при отсутствии процентов, генерируемых данным активом), что и отражает функция полезности.

Также следует указать на взаимосвязь S_nc в (1) с S_b и S_b0/C в (2.35) и (2.36):



Отдельно стоит заметить, что в выражениях (2.35)-(2.36) в качестве С подразумеваются размеры активов (денежных средств или ценных бумаг), несоизмеримо меньшие ёмкости рынка соответствующего актива, что приводит к уменьшению доли постоянных трансакционных издержек при увеличении С и, следовательно, увеличению ликвидности. Если это условие не выполняется, то вышеуказанная модель перестает работать, поскольку при размерах С, соизмеримых с емкостью всего рынка, происходит давление оператора на рынок, что приводит к снижению ликвидности данного актива. В таких случаях для оценки ликвидности следует применять отличные от описанной выше модели, учитывающие фактор давления актива на рынок.

Теперь определим значения вероятностей Р₁ и Р₂, при которых полезность обладания денежными и неденежными активами при заданных остальных параметрах будет одинаковой:


(2.37)


(2.38)


где

,

,

,

,

остальные символы соответствуют ранее принятым обозначениям.

Таким образом, при выполнении условия (2.37) или (2.38) в случае, если значения P₁ или P₂ не выходят за область допустимых значений (0; 1), полезность обладания денежными активами равна полезности обладания неденежными активами.


2. Стоимость ликвидности


Использование второго критерия дает возможность оценивать стоимость ликвидности, неликвидности или неликвидного актива. Это можно осуществить с помощью метода, аналогичного методу надежного эквивалента, используемого в модели оценки долгосрочных активов. Посмотрим, как это делается на примере.

Предположим, расчеты по второму критерию (итог расчетов по формулам (2.33) – (2.36)) дали следующие результаты для функций полезности денежных средств и облигаций: W_c = 0.95, W_b = 0.9. Пусть также известно, что процентная ставка i_b по облигациям равна 20%. Обозначим издержки ликвидности облигаций через L_b, а издержки ликвидности денежных средств⁷ через L_c. Тогда подстановка исходных данных в формулы (2.33)-(2.34) приведет к следующим выражениям:


(2.39)

(2.40)


Поскольку W_c > W_b, в то время как числитель W_b на 20% превосходит числитель W_c , то здесь уместны два вопроса: 1) при какой процентной ставке по облигациям функция полезности облигаций будет равна функции полезности денежных средств? 2) при каких издержках ликвидности облигаций функция полезности облигаций будет равна функции полезности денежных средств? Последний вопрос представляет лишь теоретический интерес, но отнюдь не практический, поскольку, во-первых, ясно, что ликвидность облигаций никогда не может превзойти ликвидность денежных средств, во-вторых, в цели нашей задачи не входит рассмотрение издержек ликвидности в качестве переменных параметров. Поэтому сосредоточимся на решении первого вопроса. Для выполнения условия, сформулированного в первом вопросе, необходимо выполнение следующего равенства:


(2.41)


где CEQ - надежный эквивалент денежных средств – процентная ставка, нивелирующая разрыв в полезности обладания денежными средствами и неденежным активом эквивалентной рыночной стоимости с ненулевой доходностью (i_b),

(i_b + CEQ) - ставка процента, уравнивающая полезность обладания неденежным активом (облигациями) с денежными средствами.

При i_b = 0 уравнивающая ставка процента равна надежному эквиваленту (CEQ).

Из (2.41) находим значения уравнивающей ставки и надежного эквивалента:


(2.42)

(2.43)


Таким образом, для условий нашего примера определяем из (2.43) величину надежного эквивалента, равную 6.6% (в данном случае - при расчете на годовой интервал). Это означает, что (подобно внутренней ставке доходности IRR) до тех пор, пока процентная ставка по облигациям будет ниже уравнивающей ставки (i_b + CEQ) = 26.6%, конвертировать денежные средства в облигации на существующих условиях не представляется эффективным.

Рассмотрим теперь другой пример. Пусть W_c = 0.95, W_b = 1.05, i_b = 20%. Здесь, очевидно, выгоды процентной ставки облигации перевешивают их дополнительные потери ликвидности по сравнению с денежными средствами. Поэтому в этом случае уместен иной вопрос: до какого уровня может снизиться ставка i_b чтобы выполнялось равенство W_c = W_b ?

Решение уравнения (2.42) для данных нашего примера позволяет получить ответ на этот вопрос, определив уравнивающую ставку процента, равную: W_c  (1 + i_b )/ W_b - 1 = 8.57%. Следовательно, значение надежного эквивалента денежных средств: CEQ = 8.57% -20% = -11.43%, что и определяет уровень перевеса полезности облигаций, обусловленной их процентной ставкой, над полезностью денежных средств, обусловленной их повышенной ликвидностью. В данном случае CEQ представляет собой запас прочности облигации. Отрицательное значение запаса прочности показывает: 1) отрицательный знак свидетельствует о большей полезности неденежного актива по сравнению с денежными средствами; 2) модуль значения CEQ (запаса прочности) показывает, насколько может снизиться от текущего уровня процентная ставка облигации, чтобы выполнялась эквивалентность инвестиций (выраженных их функциями полезности) в денежные средства и облигации. Для условий предыдущего примера запас прочности имел положительное значение (6.6%), что говорит об обратном - для достижения эффективности облигаций, равной эффективности денежных средств, процентная ставка по первым должна возрасти на 6.6%.

Теперь рассмотрим взаимосвязи между инвестиционными стоимостями ликвидного и неликвидного активов с учетом влияния инвестиционной стоимости ликвидности:


Инвестиционная стоимость неликвидного актива = инвестиционная стоимость ликвидного актива – стоимость ликвидности (ликвидного актива); (2.44)


Инвестиционная стоимость неликвидности неликвидного актива = инвестиционная стоимость неликвидного актива – инвестиционная стоимость ликвидного актива; (2.45)


Стоимость ликвидности ликвидного актива = инвестиционная стоимость ликвидного актива – инвестиционная стоимость неликвидного актива; (2.46)


Инвестиционная стоимость ликвидного актива = инвестиционная стоимость неликвидного актива + стоимость ликвидности ликвидного актива. (2.47)

Из (2.45) и (2.46) следует, что


(стоимость неликвидности) = - (стоимость ликвидности). (2.48)


Принимая во внимание сущность понятий надежный эквивалент денежных средств (CEQ) и уравнивающая ставка процента, а также формулы для их определения ((2.42), (2.43)), мы можем определить относительную стоимость ликвидности денежных средств⁸:

Относительная инвестиционная стоимость дополнительной ликвидности денежных средств – это процент, в получении которого инвестор готов отказаться ради получения взамен большей ликвидности, которую предоставляют денежные средства.

Относительная инвестиционная стоимость общей ликвидности денежных средств – это ставка процента, уравнивающая с учетом различий в издержках ликвидности полезность обладания (для конкретного индивидуума) денежными средствами и неденежным активом эквивалентной рыночной стоимости с нулевой доходностью.


Относительная инвестиционная стоимость дополнительной ликвидности денежных средств, обладающих издержками ликвидности L_c, определяется в сравнении с активом, обладающим одинаковой (с денежными средствами) рыночной стоимостью, издержками ликвидности L_b и доходностью i_b, и равна разнице их⁹ относительных инвестиционных стоимостей (или численно равна надежному эквиваленту денежных средств (CEQ ) деленному на издержки ликвидности неденежного актива (L_b)).


Абсолютная инвестиционная стоимость дополнительной ликвидности денежных средств, обладающих издержками ликвидности L_c, определяется в сравнении с активом, обладающим одинаковой (с денежными средствами) рыночной стоимостью, издержками ликвидности L_b и доходностью i_b, и равна произведению ее относительной стоимости на рыночную стоимость сравниваемых величин (то есть на размер денежных средств или на рыночную стоимость неденежного актива, которая по определению равна величине денежных средств).

Теперь сформулируем правило определения стоимости общей ликвидности денежных средств (а не дополнительной ликвидности, как это было сделано выше).

Относительная инвестиционная стоимость общей ликвидности денежных средств, обладающих одинаковой (с неденежным активом) рыночной стоимостью, издержками ликвидности L_c, определяется в сравнении с активом, обладающим издержками ликвидности L_b и нулевой доходностью (i_b = 0), и равна разнице между относительной инвестиционной стоимостью денежных средств (1/L_c) и относительной инвестиционной стоимостью неденежного актива (1/ L_b).


Для получения стоимости общей ликвидности, выраженной в абсолютной форме, необходимо умножить ее относительную стоимость на сумму денежных средств (или, что эквивалентно, на рыночную стоимость неденежного актива).


В свете выше сделанных определений дополним теперь выражения (2.44) – (2.48) следующими равенствами:


Инвестиционная стоимость неликвидного актива с доходностью i_b = (инвестиционная стоимость денежных средств эквивалентной рыночной стоимости) – (инвестиционная стоимость дополнительной ликвидности денежных средств), (2.49)


Инвестиционная стоимость неликвидного актива с нулевой доходностью = (инвестиционная стоимость ликвидного актива [денежных средств эквивалентной рыночной стоимости]) – (стоимость общей ликвидности ликвидного актива), (2.50)


Инвестиционная стоимость общей неликвидности неликвидного актива = -(инвестиционная стоимость общей ликвидности ликвидного актива эквивалентной рыночной стоимости), (2.51)


Инвестиционная стоимость дополнительной неликвидности неликвидного актива = - (инвестиционная стоимость дополнительной ликвидности ликвидного актива), (2.52)


Инвестиционная стоимость дополнительной ликвидности = инвестиционная стоимость ликвидного актива – инвестиционная стоимость неликвидного актива с доходностью i_b, (2.53)


Инвестиционная стоимость общей ликвидности = инвестиционная стоимость ликвидного актива – инвестиционная стоимость неликвидного актива с нулевой доходностью. (2.54)


Критерий 3. Активы следует размещать в денежной форме, если надежный эквивалент денежных средств (CEQ) имеет положительное значение (поскольку в этом случае денежные средства обладают дополнительной стоимостью – инвестиционной стоимостью ликвидности). Если же CEQ имеет отрицательное значение, средства следует размещать в неденежном активе (поскольку в этом случае денежные средства обладают отрицательной инвестиционной стоимостью – их дополнительная ликвидность не полностью компенсирует упущенную выгоду размещения средств в неденежном активе, генерирующего доходность i_b).


Понятие «стоимость дополнительной ликвидности» (денежных средств) позволяет определить выгодность (или невыгодность) размещения денежных средств с издержками ликвидности L_c в неденежном активе с уже известной доходностью i_b и издержками ликвидности L_b.

Понятие «стоимость общей ликвидности» (денежных средств) позволяет определить ту минимальную цену (уравновешивающую ставку процента), при которой размещение денежных средств с издержками ликвидности L_c в неденежный актив с издержками ликвидности L_b и нулевой доходностью становится выгодным.


На основе полученной модели автор статьи разработал алгоритм использования модели оценки стоимости ликвидности при выборе между инвестированием в актив и оставлением запаса денежных средств:

1. Определяется размер временно свободных денежных средств М.
   
2. Осуществляется поиск (выбор) неденежного актива, рыночная стоимость которого равна М.
   
3. С учетом параметров бизнеса инвестора (i_b и др.), оцениваемой им текущей ситуации (P1, P2, t) и характеристик рассматриваемого неденежного актива (Lnc, i) осуществляется трансформация рыночной стоимости неденежного актива М в инвестиционную стоимость P_bi = М  W_b и рыночной стоимости денежных средств М в инвестиционную стоимость P_ci = М  W_c.
   
4. В зависимости от соотношения полученных значений инвестиционных стоимостей неденежного актива и денежных средств принимается или отклоняется решение об инвестировании денежных средств в неденежный актив: решение об инвестировании денежных средств в неденежный актив принимается, если P_bi  P_ci, и отклоняется, если P_bi  P_ci.
   

Примечания.

1. Следует отметить, что в зависимости от исходной интерпретации надежного эквивалента¹⁰ смысл положительного и отрицательного значения запаса прочности может изменяться с точностью до «наоборот», равно как и смысл понятий “надежный эквивалент” и “уравнивающая ставка процента”.
   
2. Конструкция издержек ликвидности денежных средств L_c может отличаться от форм (6) и (7): это отражает возможные ситуации, при которых реальные издержки денежных средств будут выше, чем издержки неденежных активов. Такие ситуации связаны с большей востребованностью неденежных активов по сравнению с денежными средствами.
   

Например, у предприятия имеется партия кирпичей, не слишком ему [предприятию] нужная в данный момент. В то же время другому предприятию срочно необходим кирпич, и оно готово поставить взамен партию угля на более выгодных условиях по сравнению с закупкой кирпича на рынке за деньги. При этих обстоятельствах для указанных предприятий издержки ликвидности неденежных активов – кирпича и угля – будут ниже издержек ликвидности денежных средств.

В заключение систематизируем полученный в этом разделе материал в форме классификационной таблицы:

Инвестиционная стоимость ликвидности и ее видовая классификация

Примечание. Для условий примера полагается, что рыночная стоимость актива равна 1 млн. руб., i_b = 0,2, L_b = 1,33, L_c = 1,052.

Определяемый вид и объект стоимости	Форма выражения	Расчетная формула	Расчет сквозного примера раздела
Инвестиционная стоимость дополнительной ликвидности	относительная	(относительная инвестиционная стоимость ликвидного актива – относительная инвестиционная стоимость неликвидного актива с доходностью ib) =1/ Lc - (1 + ib )/ Lb = CEQ/ Lb	1/1,052 –1,2/1,33= 0,048
	абсолютная	(Абсолютная инвестиционная стоимость денежных средств – абсолютная инвестиционная стоимость неденежного актива с доходностью ib) = Относительная инвестиционная стоимость дополнительной ликвидности  Рыночная стоимость актива = CEQ/ Lb  Рыночная стоимость актива	0,048  1 млн. = 48000 руб.
Инвестиционная стоимость общей ликвидности денежных средств	относительная	относительная инвестиционная стоимость ликвидного актива – относительная инвестиционная стоимость неликвидного актива с нулевой доходностью = (1/Lc – 1/ Lb)	1/1,052 – 1/1,33 = 0,199
	абсолютная	Абсолютная инвестиционная стоимость денежных средств – абсолютная инвестиционная стоимость неденежного актива с нулевой доходностью = (1/Lc – 1/ Lb) Рыночная стоимость актива	0,199  1 млн. = 199000 руб.
Инвестиционная стоимость ликвидного актива	относительная	относительная инвестиционная стоимость неликвидного актива с доходностью ib + относительная стоимость дополнительной ликвидности = относительная инвестиционная стоимость неликвидного актива с нулевой доходностью + относительная стоимость общей ликвидности = 1/ Lc	0,902 + 0,048 = 0,752 + 0,199 = 1/1,052 = 0,951
	абсолютная	(Сумма денежных средств) / Lc или (Рыночная стоимость актива)/ Lc	0,951  1 млн. = 951000 руб.
Инвестиционная стоимость неликвидного актива генерирующего доходность ib	относительная	относительная инвестиционная стоимость ликвидного актива – относительная стоимость дополнительной ликвидности = (1/ Lc – CEQ/ Lb) = (1 + ib )/ Lb	0,951 – 0,048 = (1 + 0,2)/1,33 = 0,902
	абсолютная	(1 + ib )/ Lb  (Рыночная стоимость актива)	0,902  1 млн. = 902000 руб.
Инвестиционная стоимость неликвидного актива с нулевой доходностью	относительная	относительная инвестиционная стоимость ликвидного актива – относительная стоимость общей ликвидности = 1/ Lb	0,951 – 0,199 = 1/1,33 = 0,752
	абсолютная	(Рыночная стоимость актива)/ Lb	0,752  1 млн. = 752000 руб.

Если провести исследование и получить зависимости вида i = f(L), либо L = g(i), то можно оптимизировать функцию полезности W, то есть при заданном одном из значений i или L получить оптимальное значение соответственно L или i, при которых значение функции W будет экстремально. При известной зависимости i = f(L) оптимальное значение издержек ликвидности L_опт можно определить из уравнения:

L´df(L) + f(L) = 0, где df(L) - производная функции f(L) по L. При известной же зависимости L = g(i) оптимальное значение процентной ставки i_опт определяется из уравнения: i´dg(i) + g(i) = 0, где dg(i) - производная функции g(i) по i.

Резюмируя вышеизложенный материал, подчеркнем, что данный подход подводит к оценке стоимости ликвидности путем определения альтернативной ставки процента в ситуации, когда необходимо сделать выбор между возможностью инвестирования временно свободных денежных средств в неденежный актив (в нашем примере это облигации) и оставлением их в денежной форме (с потенциальной возможностью инвестирования в основной бизнес). Однако, можно легко найти другие ситуации, не вписывающиеся в данную схему. Пример можно привести в виде простого вопроса: каким образом можно сравнивать между собой по степени ликвидности такие разные активы как золото, акции и хлеб? Если для простоты сравнивать между собой лишь золото и хлеб, то при интуитивной ясности того, что в различные времена ликвидность хлеба и золота может изменяться по-разному, неясно, однако, какой из этих двух активов в конкретный момент времени является более ликвидным, а какой менее ликвидным: с одной стороны, - хлеб, поскольку его покупают все и всегда, с другой стороны, - золото, поскольку оно имеет неограниченный срок хранения. Тем не менее, автору представляется вполне оправданным, хотя и пока ограниченным, предложенный в данной статье подход. Конечно, невозможно гарантировать, что применение этой методики позволит всегда осуществлять оптимальный выбор в силу того, что: 1) не все возможные факторы учтены в модели; 2) всегда имеется неопределенность в отношении значений параметров модели Р₁ и Р₂; 3) не все участники рынка могут адекватно оценивать соизмеримость рассматриваемых альтернатив, в силу чего формируемые ими процентные ставки обычно искажены (фактор несовершенного понимания по Соросу). Однако, необходимо отметить, что даже при указанных слабостях модель все же позволяет сделать выбор альтернатив более определенной и формализованной процедурой. Если в дальнейшем кому-либо удастся синтезировать более общие и адекватные функции полезности, отражающие ликвидность не только с учетом конкретной ситуации потенциального инвестора, но и с учетом потребительских свойств (качеств) активов, а также восприятия (рефлексии) участников рынка, то построение общей теории ликвидности можно будет считать завершенным.

P. S. Данную методику можно применять не только в случае инвестиционного выбора между денежными средствами и облигациями, но и в случае выбора между денежными средствами и любыми другими активами, приносящими доход (например, недвижимостью), поскольку эти активы также имеют такие характеристики, как спрэд, постоянные издержки конвертации, минимально необходимое время конвертации и т.п.