Учебная программа для специальности 1-31 80-03 Математика 2011 г
| Вид материала | Программа |
- Учебная программа для специальности: (рабочий вариант) 1-310301-02 Математика (научно-педагогическая, 120.64kb.
- Учебная программа курса для специальности 0800116 Математические методы в экономике, 185.1kb.
- Рабочая учебная программа дисциплины финансовая математика специальности 060400 «Финансы, 124.91kb.
- Базовая учебная программа дисциплины «основы математической кибернетики» для студентов, 80.1kb.
- Учебная программа курса для специальности 0321. 00 Математика с дополнительной специальностью, 376.54kb.
- Рабочая программа по курсу «методика преподавания математики» (наименование дисциплины), 172.91kb.
- Рабочая учебная программа предмета математика по специальности Химическая технология, 121.76kb.
- Учебная программа для специальности: 1-26 02 02 Менеджмент Факультет международных, 401.81kb.
- Рабочая учебная программа дисциплины акушерство для специальности 060201. 65 стоматология, 347.69kb.
- Учебная программа для специальности: 1- 25 01 04 Финансы и кредит 1- 25 01 07 Экономика, 544.2kb.
Белорусский государственный университет
УТВЕРЖДАЮ
Декан механико-математического факультета
_____________________ Д.Г.Медведев
(подпись)
__________________________________
(дата утверждения)
Регистрационный № УД-______/баз.
ВВЕДЕНИЕ В КОММУТАТИВНУЮ АЛГЕБРУ И
АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
Учебная программа для специальности
1-31 80-03 Математика
| | |
| | |
2011 г.
Составители:
Беняш-Кривец Валерий Вацлавович – заведующий кафедрой высшей алгебры и защиты информации механико-математического факультета, доктор физико-математических наук, профессор
Рецензенты:
Баркович Оксана Аркадьевна – заместитель декана математического факультета Учреждения образования «Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка», кандидат физико-математических наук, доцент
Прокопчук Александр Васильевич – научный сотрудник отдела алгебры Института математики НАН Беларуси, кандидат физико-математических наук
РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ:
Кафедрой высшей алгебры и защиты информации механико-математического факультета Белорусского государственного университета
(протокол №10 от 24.04.2011г.)
Учебно-методической комиссией механико-математического факультета Белорусского государственного университета
(протокол №8 от 16.05.2011г.)
Ответственный за выпуск: Беняш-Кривец Валерий Вацлавович
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Предлагаемый курс посвящен основам коммутативной алгебры и алгебраической геометрии. Планируется рассмотреть естественные вопросы, которые сразу возникают при изучении предмета: связь идеалов в кольцах полиномов с системами алгебраических уравнений и множеством их решений (т.е. с соответствующими алгебраическими многообразиями), методы решения систем алгебраических уравнений и возможность применения для этого базисов Гребнера. Ответы на такие вопросы удается получить как с помощью классических методов, так и с помощью современных идей, основанных на теории базисов Гребнера. Наличие в настоящее время мощных пакетов компьютерной алгебры делает предлагаемый курс полезным и чисто практически: с его помощью можно получить явные ответы в конкретных ситуациях.
Цель курса «Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию»: .
При преподавании учебной дисциплины «Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию» ставятся следующие задачи:
- ознакомить студентов с важными понятиями и методами коммутативной алгебры, такими, как теория базисов Гребнера и ее применение к решению различных задач, связанных с идеалами;
- ознакомить студентов с важнейшими понятиями алгебраической геометрии: аффиное и проективное многообразие, размерность многообразия, разложение на неприводимые компоненты, касательное пространство и установить связь этих понятий с объектами коммутативной алгебры.
- развить у магистрантов аналитическое мышление и общую математическую культуру;
- привить студентам умение самостоятельно изучать учебную и научную литературу в области математики и ее приложений.
Курс лекций рассчитан на 52 ч. (из них 34 ч. лекций и 18 ч. практических занятий).
Примерный тематический план
| Номер раздела, темы, занятия | Название раздела, темы, занятия; перечень изучаемых вопросов | Количество аудиторных часов | |||
| лекции | Практические (семинарские) занятия | Лабораторные занятия | управляемая самостоятельная работа студента | ||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1. | Идеалы и аффинные многообразия | 4 | 2 | | |
| 2. | Базисы Гребнера | 8 | 4 | | 2 |
| 3. | Теория исключения | 6 | 3 | 2 | |
| 4. | Введение в алгебраическую геометрию | 6 | 3 | | |
| 5. | Полиномиальные и рациональные функции на многообразии | 4 | 2 | | |
| 6. | Размерность многообразия | 4 | 2 | | |
| 7. | Проективное пространство | 2 | 2 | | |
| | Итого | 34 | 18 | | |
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
Тема 1. Идеалы и аффинные многообразия.
Полиномы и аффинное пространство. Аффинные многообразия. Идеалы и их связь с аффинными многообразиями.
Тема 2. Базисы Гребнера.
Мономиальные порядки. Алгоритм деления с остатком в кольце многочленов от нескольких переменных. Мономиальные идеалы и лемма Диксона. Теорема Гильберта о базисе и базисы Гребнера. Свойства базисов Гребнера. S-полиномы. Построение базисов Гребнера – алгоритм Бухбергера. Редуцированный базис Гребнера и его единственность.
Тема 3. Теория исключения.
Теоремы об исключении и продолжении. Исключающие идеалы. Результант и его свойства. Применение результанта. Доказательство теоремы о продолжении.
Тема 4. Введение в алгебраическую геометрию.
Теорема Гильберта о нулях. Радикал идеала. Радикальные идеалы и соответствие идеал – многообразие. Суммы, произведения и пересечения идеалов. Замыкание Зарисского и частные идеалов. Неприводимые многообразия и простые идеалы. Разложение многообразия на неприводимые компоненты.
Тема 5. Полиномиальные и рациональные функции на многообразии.
Полиномиальные отображения. Координатное кольцо аффинного многообразия. Регулярные и рациональные функции. Поле рациональных функций. Рациональные отображения аффинных многообразий.
Тема 6. Размерность многообразия.
Понятие степени трансцендентности расширения полей. Размерность аффинного многообразия. Свойства размерности. Касательное пространство и его размерность.
Тема 7. Проективное пространство.
Проективное пространство и проективные многообразия. Проективное замыкание аффинного многообразия. Рациональные функции и рациональные отображения.
ЛИТЕРАТУРА
ПО КУРСУ «ВВЕДЕНИЕ В КОММУТАТИВНУЮ АЛГЕБРУ И АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ»
ОСНОВНАЯ:
- Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. М.: Мир, 2000.
- Аржанцев И. Лекции о базисах Гребнера. М., 2002.
- Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2000.Берлекэмп. Алгебраическая теория кодирования. Пер. с англ. – М.: Мир. 1971. – 477 с.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ:
- Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. Т. 1. Алгебраические многообразия в проективном пространстве. М.: Наука, 1988.