Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 080300 «Механіка» Затверджено

Вид материала

Содержание

Мета і завдання навчальної дисципліни
Предмет навчальної дисципліни
Вимоги до знань та вмінь.
Студент повинен вміти
Місце в структурно-логічній схемі спеціальності.
Система контролю знань та умови складання іспиту.
Навчально-тематичний план лекцій
Змістовий модуль 1 Комплексні числа, системи лінійних рівнянь
Змістовий модуль 2 Визначники, матриці, многочлени
Змістовий модуль 3 Векторні простори і лінійні відображення
Змістовий модуль 4 Білінійні функції на векторних просторах
Теми лекцій, практичних занять та завдання для самостійної роботи
Завдання для самостійної роботи
Завдання для самостійної роботи
Завдання для самостійної роботи
Завдання для самостійної роботи

Подобный материал:

Київський національний університет

Імені Тараса Шевченка

Механіко-математичний факультет

Кафедра алгебри та математичної логіки

Укладач: проф. Петравчук А.П.

Вища алгебра

РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА

Для студентів спеціальності 6.080300 «Механіка»

Затверджено

на засіданні кафедри

Протокол №___ від ____________

Зав. кафедрою

_______________________

Погоджено

з науково-методичною комісією

„_____”_____________

____________________

Підпис голови НМК факультету

Декан факультету

__________ _____________

ВСТУП

Дисципліна "Вища алгебра" є базовою нормативною дисципліною для спеціальності "механіка", що читається в I та II семестрах в обсязі 4 кредитів (за Європейською Кредитно-Трансферною Системою ECTS), в тому числі 232 годин аудиторних занять з них 70 годин лекцій, 70 годин практичних занять і 92 години самостійної роботи (І семестр: лекції – 36, практичні - 36, самостійна робота - 46; ІІ семестр: лекції – 34, практичні - 34, самостійна робота - 46) і закінчується іспитами в I та II семестрах.

Мета і завдання навчальної дисципліни "Вища алгебра": ознайомлення та оволодіння сучасними алгебраїчними методами, теоретичними положеннями та основними застосуваннями вищої алгебри в різних задачах математики, механіки, фізики, їх використання в подальших курсах з механіки, математики, сприяння розвитку логічного та аналітичного мислення студентів.

Предмет навчальної дисципліни "Вища алгебра": комплексні числа, системи лінійних рівнянь, матриці та визначники, многочлени, векторні простори, лінійні оператори у векторних просторах, білінійні та квадратичні функції, евклідові та унітарні простори.

Вимоги до знань та вмінь.

Студент повинен знати: основні поняття вищої алгебри, зокрема такі як комплексне число, матриця, ранг матриці, визначник, многочлен, векторний простір, лінійний оператор, білінійна функція, квадратична функція, лінійний оператор, скалярний добуток, евклідів та унітарний простір.

Студент повинен вміти: Виконувати арифметичні дії над комплексними числами, розв’язувати системи лінійних рівнянь, знаходити обернену матрицю, знаходити найбільший спільний дільник многочленів, знаходити власні числа та власні вектори лінійних операторів, зводити до канонічного вигляду квадратичні форми, ортогоналізовувати системи векторів, зводити до канонічного вигляду квадратичні форми за допомогою ортогонального перетворення.

Місце в структурно-логічній схемі спеціальності. Нормативна навчальна дисципліна "Вища алгебра" є складовою циклу професійної підготовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня „бакалавр”, є базовою для вивчення таких спеціальних дисциплін як „Диференціальні рівняння”, „Теоретична механіка”, «Теорія функцій комплексної змінної».

Система контролю знань та умови складання іспиту.

Навчальна дисципліна "Вища алгебра" оцінюється за модульно-рейтинговою системою. Вона складається з 4 модулів.В першому семестрі дисципліна складається з двох змістових модулів : до першого входять 1-3 теми, до другого 4-5 теми.

В другому семестрі дисципліна складається з двох змістових модулів : до третього входять 6-7 теми, до четвертого 8-9 теми

Результати навчальної діяльності студентів в кожному семестрі оцінюються за 100–бальною шкалою.

Модульний контроль за 1 семестр:

1-й змістовний модуль: 0-30 балів

модульна контрольна робота – 0-20 балів
виконання домашніх робіт і робота на практичних заняттях - 0- 10 балів

2-й змістовний модуль: 0-30 балів

модульна контрольна робота – 0-20 балів
виконання домашніх робіт і робота на практичних заняттях - 0-10 балів

Модульний контроль за 2 семестр:

1-й змістовний модуль: 0-30 балів

модульна контрольна робота – 0-20 балів
виконання домашніх робіт і робота на практичних заняттях - 0- 10 балів

2-й змістовний модуль: 0-30 бали

модульна контрольна робота – 0-20 балів
виконання домашніх робіт і робота на практичних заняттях - 0-10 балів

Якщо контрольна робота або колоквіум пропущені з поважної причини, то вони можуть бути написані без зменшення кількості балів за них.

Підсумковий контроль за семестр складається з суми балів, які отримав студент за роботу протягом семестру. Максимально студент може отримати 60 балів протягом кожного семестру. Студент не допускається до іспиту, якщо за результатами роботи в семестрі він отримав менше 20 балів.

При складанні іспиту студент може отримати до 40 балів. За сумою S балів за роботу в семестрі і за відповідь на іспиті виставляється оцінка студенту:

S<60 відповідає оцінці «незадовільно»;
60 ≤S<75 відповідає оцінці «задовільно»;
75≤S<90 відповідає оцінці «добре»;
90≤S відповідає оцінці «відмінно».

Шкала відповідності

За 100-бальною шкалою	Оцінка за національною шкалою
90-100	5	відмінно	зараховано
75-89	4	добре
60-74	3	задовільно
1-59	2	незадовільно	Не зараховано

НАВЧАЛЬНО-ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ЛЕКЦІЙ

І ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

1-й семестр

теми	Назва теми І семестр	Кількість годин
теми	Назва теми І семестр	лекції	практичні заняття	Самост. робота	Контр. Модульна робота	Інші форми контролю
Змістовий модуль 1 Комплексні числа, системи лінійних рівнянь
1	Комплексні числа, дії над ними	6	6	10
2	Системи лінійних рівнянь, Арифметичні простори	10	10	16	2

Змістовий модуль 2 Визначники, матриці, многочлени
3	Визначники, їх властивості, та застосування	6	6	12
4	Алгебра матриць, обернена матриця	6	6	12
5	Алгебра многочленів,	8	8	16	2
Всього годин за І семестр		36	36	66	4

2-й семестр

теми	Назва теми І семестр	Кількість годин
теми	Назва теми І семестр	лекції	практичні заняття	Самост. робота	Контр. Модульна робота	Інші форми контролю
Змістовий модуль 3 Векторні простори і лінійні відображення
1	Векторні простори	6	6	12
2	Лінійні відображення	8	8	16	2

Змістовий модуль 4 Білінійні функції на векторних просторах
3	Лінійні і білінійні функції	8	8	16
4	Евклідові і унітарні простори, оператори на них	12	12	24	2
Всього годин за І семестр		34	34	68	4

Теми лекцій, практичних занять та завдання для самостійної роботи

І СЕМЕСТР

Змістовий модуль 1. Комплексні числа, системи лінійних рівнянь

Тема 1. Комплексні числа

Лекція 1. Поняття комплексного числа. Алгебраїчна форма комплексних чисел, дії над ними -2 год.

Лекція 2. Тригонометрична форма комплексних чисел, їх геометрична інтерпретація. Формула Муавра – 2 год.

Лекція 3. Корені з комплексних чисел, Корені з одиниці. – 2 год.

Лабораторна робота 1. Дії з комплексними числами – 2год.

Лабораторна робота 2. Формула Муавра - 2 год.

Лабораторна робота 3. Корені з комплексних чисел - 2 год.

Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 1 і лабораторної роботи 1 (4 год)

а) Підполя і розширення полів

б) Дії з комплексними числами в алгебраїчній і тригонометричній формі

До лекції 2 і лабораторної роботи 2 (4 год)

а) Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

б) Формула Мавра

До лекції 3 і лабораторної роботи 3 (2 год.)

а) Корені з комплексних чисел

б) Корені з одиниці

Література [1, 3, 7, 9]

Контрольні питання і завдання:

Поняття поля. Приклади. Підполя і розширення полей.
Задача про побудову поля комплексних чисел.
Існування і єдиність поля комплексних чисел.
Геометрична інтерпретація комплексних чисел і тригонометричний спосіб їх запису.
Властивості модуля та аргумента. Корені з комплексних чисел.
Корені з одиниці, Їх властивості. Первісні корені з одиниці.

Тема 2. Системи лінійних рівнянь

Лекція 4. Системи лінійних рівнянь (СЛР) та їх класифікація. Поняття матриці, матриця СЛР – 2 год.

Лекція 5. Елементарні перетворення. Метод Гаусса розв’язування СЛР – 2 год.

Лекція 6. Арифметичні векторні простори. Лінійно залежні та незалежні системи векторів 2 год.

Лекція 7. Ранг системи векторів. Теорема про ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі – 2 год.

Лекція 8. Підпростори. Однорідні СЛР. Теорема про будову множини розв’язків СЛР – 2 год.

Лабораторна робота 4. Розвязання систем рівнянь – 2год.

Лабораторна робота 5. Застосування методу Гаусса розвязання СЛР - 2 год.

Лабораторна робота 6. Задачі на лінійну залежність і незалежність - 2 год.

Лабораторна робота 7. Знаходження рангу матриці – 2год.

Лабораторна робота 8. Знаходження розвязків СЛР - 2 год.

Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 4 і лабораторної роботи 4 (4 год)

а) Поняття матриці, матриця СЛР

б) Елементарні перетворення, метод Гаусса

До лекції 5 і лабораторної роботи 5 (4 год)

а) Лінійно незалежні системи векторів.

б) Знаходження рангу системи векторів

До лекції 6 і лабораторної роботи 6 (2 год.)

а) Теорема про ранг матриці

б) Теорема Кронекера- Капеллі

До лекцій 7-8 і лабораторних робіт 7-8 (6 год.)

а) Однорідні СЛР

б) Знаходження фундаментальної системи розв’язків однорідної СЛР.

Література [1, 2, 4, 7, 9]

Контрольні питання і завдання:

СЛР та їхні розв'язки. Матриця СЛР і розширена матриця.
Елементарні перетворення матриць і метод Гауса розв'язування СЛР.
Дії над матрицями. Їх властивості. Матричний запис СЛР.
Поняття векторного простору, приклади. Арифметичний простір.
Лінійна залежність, її властивості.
Бази і розмірність векторного простору.
Підпростори. Лінійна оболонка і ранг системи векторів.
Критерії сумісності та визначеності СЛР.
Підпростір розв'язків однорідної СЛР; фундаментальні системи розв'язків.
Будова розв'язків неоднорідної сумісної СЛР.

Типове завдання модульної контрольної роботи № 1

Розвязати рівняння z⁴+z²+1=0.
Обчислити
Знайти загальний розвязок неоднорідної системи лінійних рівнянь та фундаментальну систему розвязків відповідної однорідної СЛР.

Знайти ранг системи вектрів системи векторів, максимальну лінійно незалежну підсистему та подати решту векторів у вигляді лінійної комбінації векторів з цієї макисмальної лінійно незалежної підсистеми (1, 0, 3), (2, 2, 1), (-1, 1, -1), (2, 3, 3).
Знайти ранг матриці в залежності від значення параметру

Змістовий модуль 2. Визначники, матриці, многочлени

Тема 3. Визначники

Лекція 9. Поняття підстановки, парність, операція множення підстановок – 2 год.

Лекція 10. Поняття визначника, його основні властивості – 2 год.

Лекція 11. Застосування визначників: теорема Крамера, мінорний ранг матриці – 2 год.

Лабораторна робота 9. Множення підстановок – 2год.

Лабораторна робота 10. Обчислення визначників - 2 год.

Лабораторна робота 11. Застосування визначників - 2 год.

Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 9 і лабораторної роботи 9 (4 год)

а) Множення підстановок

б) Властивості визначників

До лекції 10 і лабораторної роботи 10 (4 год)

а) Обчислення визначників малих порядків.

б) Приклади обчислення визначників n-го порядку

До лекції 11 і лабораторної роботи 11 (4 год.)

а) Застосування визначників

б) знаходження мінорного рангу матриці

Література [1-3, 7, 9]

Контрольні питання і завдання:

Поняття визначника, визначник транспонованої матриці, визначник з двома однаковими рядками.

2 . Визначник з пропорційними рядками, елементарні перетворення над рядками.

3 . Розклад визначника за рядком. Мінори, алгебраїчні доповнення, теорема Лапласа.

4. Застосування визначників: формула для оберненої матриці;

5. Теорема і правило Крамера

6. Теорема про ранг матриці

Тема 4. Алгебра матриць

Лекція 12. Дії над матрицями. Алгебра квадратних матриць. – 2 год.

Лекція 13. Теорема про визначник добутку матриць. Обернена матриця. – 2 год.

Лекція 14. Невироджені матриці, критерії невиродженості матриць – 2 год.

Лабораторна робота 12. Дії над матрицями – 2год.

Лабораторна робота 13. Знаходження оберненої матриці - 2 год.

Лабораторна робота 14. Критерії невиродженості матриць - 2 год.

Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 12 і лабораторної роботи 12 (4 год)

а) Множення матриць

б) Алгебра квадратних матриць

До лекції 13 і лабораторної роботи 13 (4 год)

а) Застосування теореми про визначник добутку двох матриць.

б) Визначник ступінчастої матриці

До лекції 14 і лабораторної роботи 14 (4 год.)

а) Різні методи знаходження оберненої матриці

б) Критерії невиродженості матриці

Література [1-5, 8]

Контрольні питання і завдання:

Дії над матрицями. Їх властивості. Матричний запис СЛР.
Застосування визначників: формула для оберненої матриці;
Теорема і правило Крамера
Теорема про ранг матриці

Тема 5. Алгебра многочленів

Лекція 15. Кільце многочленів, теорема про ділення з остачею – 2 год.

Лекція 16. Відношення подільності. Найбільший спільний дільник, алгоритм Евкліда – 2 год.

Лекція 17. Корені многочлена. Теорема Безу. Формули Вієта – 2 год.

Лекція 18. Кратність кореня, відокремлення кратних коренів – 2 год.

Лабораторна робота 15. Ділення з остачею – 2год.

Лабораторна робота 16. Знаходження НСД многчленів - 2 год.

Лабораторна робота 17. Застосування теорем Безу і Вієта - 2 год.

Лабораторна робота 18. Відокремлення кратних коренів - 2 год.

Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 15 і лабораторної роботи 15 (4 год)

а) Поняття кільця многочленів

б) Ділення многочленів з остачею

До лекції 16 і лабораторної роботи 16 (4 год)

а) Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

б) Формула Мавра

До лекції 17 і лабораторної роботи 17 (4 год.)

а) Корені з комплексних чисел

б) Корені з одиниці

До лекції 18 і лабораторної роботи 18 (4 год.)

а) Знаходження рангу матриці

б) Знаходження розв’язків СЛР

Література [1-3, 9]

Контрольні питання і завдання:

1. Кільце многочленів від однієї змінної. Ділення з остачею.

2. Найбільший спільний дільник, алгоритм Евкліда для його обчислення.

3. Розклад на незвідні множники, Його однозначність. Корені многочлена.

4. Теорема Безу та її наслідки. Кількість коренів.

5. Розклад на лінійні множники і формули Вієта.

6. Поняття про "основну теорему алгебри".

7 . Кратність кореня, зв'язок з похідною, відокремлення кратних коренів. Теорема про інтерполяцію.

8. Раціональні дроби. Розклад на найпростіші, його єдиність.

Типове завдання модульної контрольної роботи № 2.

Знайти добуток , де , .
Обчислити визначники: а) , б).
Обчислити значення від матриці .
Знайти обернену матрицю до матриці А за допомогою приєднаної матриці .
Знайти обернену матрицю до матриці

Перелік питань до іспиту за 1-й семестр

Поняття поля. Приклади. Підполя і розширення полей.
Задача про побудову поля комплексних чисел.
Існування і єдиність поля комплексних чисел.
Геометрична інтерпретація комплексних чисел і тригонометричний спосіб їх запису.
Властивості модуля та аргумента. Корені з комплексних чисел.
Корені з одиниці, Їх властивості. Первісні корені з одиниці.
Системи лінійних рівнянь (СЛР) та їх класифікація. Поняття матриці, матриця СЛР .
Елементарні перетворення. Метод Гаусса розв’язування СЛР.
Арифметичні векторні простори. Лінійно залежні та незалежні системи векторів .
Бази і розмірність векторного простору.
Підпростори, Лінійна оболонка і ранг системи векторів.
Теорема про ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі.
Підпростір розвязків однорідної СЛР, фундаментальні системи розвязків.
Теорема про будову множини розв’язків неоднорідної СЛР .
. Поняття підстановки, парність, операція множення підстановок.
Поняття визначника, визначник транспонованої матриці, визначник з двома однаковими рядками.
Визначник з пропорційними рядками, елементарні перетворення над рядками.
Розклад визначника за рядком.
Мінори, алгебраїчні доповнення, теорема Лапласа.
Застосування визначників: теорема Крамера, мінорний ранг матриці.
Дії над матрицями. Алгебра квадратних матриць.
Теорема про визначник добутку матриць. Обернена матриця.
Невироджені матриці, критерії невиродженості матриць.
Кільце многочленів від однієї змінної. Ділення з остачею.
Найбільший спільний дільник, алгоритм Евкліда для його обчислення.
Теорема Безу та її наслідки. Кількість коренів.
Розклад на лінійні множники і формули Вієта.
Поняття про "основну теорему алгебри".
Кратність кореня, зв'язок з похідною, відокремлення кратних коренів. Теорема про інтерполяцію.
Раціональні дроби. Розклад на найпростіші, його єдиність

2-й семестр

Змістовий модуль 3. Векторні простори і лінійні відображення

Тема 6. Векторні простори

Лекція 1. Поняття векторного простору над полем. База та розмірність векторного простору – 2 год.

Лекція 2. Підпростори, сума та перетин підпросторів. Теорема Грасмана – 2 год.

Лекція 3. Пряма сума підпросторів. Фактор простір – 2 год.

Лабораторна робота 1. Знаходження баз і розмірностей векторних просторів – 2год.

Лабораторна робота 2. Знаходження базисів сум і перетинів підпросторів - 2 год.

Лабораторна робота 3. Розклад просторів в пряму суму підпросторів - 2 год.

Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 1 і лабораторної роботи 1 (4 год)

а) Поняття векторного простору

б) Базиси векторного простору

До лекції 2 і лабораторної роботи 2 (4 год)

а) Знаходження базису суми і перетину підпросторів.

б) Теорема Грасмана

До лекції 3 і лабораторної роботи 3 (2 год.)

а) Прямі суми векторних просторів, зовнішня пряма сума

б) Фактор-простір і його розмірність

Література [1-3, 7, 9]

Контрольні питання і завдання:

1. Поняття векторного простору. Приклади. База і розмірність векторного простору.

Поняття підпростору, приклади.
Сума і перетин підпросторів.
Теорема Грасмана, її застосування.
Пряма сума просторів, розклад простору в пряму суму.
Фактор-простір векторного простору.

Тема 7. Лінійні відображення

Лекція 4. Лінійні відображення та їх матриці. Зміна матриці лінійного відображення при зміні баз – 2 год.

Лекція 5. Власні числа та власні вектори лінійних операторів. Характеристичний многочлен – 2 год.

Лекція 6. Теорема Гамільтона-Келі. Інваріантні підпростори 2 год.

Лекція 7. Поняття про нормальну форму Жордана – 2 год.

Лабораторна робота 4. Знаходження матриці лінійного відображення, зміна матриці при зміні баз – 2год.

Лабораторна робота 5. Знаходження власних чисел і власних векторів лінійних операторів - 2 год.

Лабораторна робота 6. Знахолження інваріантних підпросторів для лінійних операторів – 2год.

Лабораторна робота 7. Знаходження ЖНФ для матриць невеликих розмірів - 2 год.

Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 4 і лабораторної роботи 4 (4 год)

а) Знаходження матриці лінійного відображення

б) Зміна матриці лінійного відображення при зміні базису

До лекції 5 і лабораторної роботи 5 (4 год)

а) Знаходження власних чисел і власних векторів лінійного оператора.

б) Властивості характеристичного многочлена

До лекції 6 і лабораторної роботи 6 (4 год.)

а) Теорема Гамільтона-Келі і її застосування

б) Поняття інваріантного підпростору

До лекції 7 і лабораторної роботи 7 (4 год.)

а) Знаходження ЖНФ для матриць малих порядків

б) Застосування ЖНФ

Література [1-3, 6-9]

Контрольні питання і завдання:

Матриця лінійного відображення.
Зміна матриця лінійного відображення при зміні базису векторного простору
Власні числа та власні вектори лінійного оператора, їх знаходження.
Характеристичний много член лінійного оператора, його коефіцієнти.
Многочлен від матриці, теорема Гамільтона-Келі.
Інваріантні підпростори, блочна матриця лінійного оператора.
Жорданова нормальна форма для матриць невеликого розміру.

Типове завдання модульної контрольної роботи № 3.

Дії над лінійними відображеннями та їх властивості, Чи утворює векторний простір множина ,
Знайти базиси суми та перетину підпросторів та
Довести, що многочлени утворюють базис простору , а відображення є лінійним оператором на цьому просторі. Знайти матрицю оператора в базисі , якщо ,
Знайти ЖНФ та матрицю переходу до жорданового базису для матриці

Змістовий модуль 4. Білінійні функції на векторних просторах

Тема 8. Лінійні і білінійні функції

Лекція 8. Лінійні функціонали, дуальний простір – 2 год.

Лекція 9. Білінійні функції, їх типи – 2 год.

Лекція 10. Квадратичні функції, зведення до канонічного вигляду методами Лагранжа і Якобі – 2 год.

Лекція 11. Критерій Сильвестра. Закон інерції дійсних квадратичних форм – 2 год.

Лабораторна робота 8. Розвязання задач на лінійні функціонали і спряжений простір – 2 год.

Лабораторна робота 9. Розвязання задач на білінійні функції - 2 год.

Лабораторна робота 10. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду методом Лагранжа і Якобі - 2 год.

Лабораторна робота 11. Додатньо визначені квадратичні форми, закон інерції для квадратичних форм – 2 год.

Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 8 і лабораторної роботи 8 (4 год)

а) Спряжений простір

б) Зміна координат лінійної функції при зміні базису

До лекції 9 і лабораторної роботи 9 (4 год)

а) Основні властивості білінійних функцій.

б) Зміна матриці білінійної форми при зміні базису

До лекції 10 і лабораторної роботи 10 (2 год.)

а) Метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного вигляду

б) Метод Якобі,

До лекції 11 і лабораторної роботи 11 (6 год.)

а) Задачі на використання критерію Сильвестра

б) Закон інерції для дійсних квадратичних форм

Література [2-4, 7, 9]

Контрольні питання і завдання:

1. Поняття лінійного функціоналу, спряжений простір.

2. Дуальний базис, канонічний ізоморфізм між V i V^**.

3. Матриця білінійної форми, полярний розклад білінійної форми.

4 . Квадратичні форми, зведення квадратичної форми до канонічного вигляду методом Лагранжа і Якобі.

5. Додатньо визначені квадратичні форми, критерій Сильвестра;

6. Закон інерції для дійсних квадратичних форм.

Тема 9. Евклідові і унітарні простори, оператори на них

Лекція 12. Скалярні добутки. Евклідові та унітарні простори. – 2 год.

Лекція 13. Метод ортогоналізації Грама-Шмідта. Ортонормовані бази. – 2 год.

Лекція 14. Ортогональні та унітарні оператори, їх матриці. Спряжений оператор -2 год.

Лекція 15. Самоспряжені оператори. Теорема про канонічну форму матриці нормального оператора. – 2 год.

Лекція 16. Канонічна форма матриці ортогонального, унітарного та самоспряженого операторів – 2 год.

Лекція 17. Зведення квадратичної функції до головних осей – 2 год.

Лабораторна робота 12. – Розвязання задач на евклідові і унітарні простори - 2год.

Лабораторна робота 13. Ортогоналізація системи векторів, знаходження ортонормованих базисів - 2 год.

Лабораторна робота 14. Розвязання задач на ортогональні і унітарні оператори - 2 год.

Лабораторна робота 15. Знаходження спряженого оператора до даного. Розвязання задач на самоспряжені оператори - 2 год.

Лабораторна робота 16. Зведення ортогональних і унітарних матриць до канонічного вигляду - 2 год.

Лабораторна робота 17. Зведення квадратичної форми до головних осей - 2 год.

Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 12 і лабораторної роботи 12 (4 год)

а) Поняття евклідового простору, приклади

б) Унітарні простори

До лекції 5 і лабораторної роботи 13 (4 год)

а) Процес ортогоналізації Грама-Шмідта.

б) Застосування процесу ортогоналізації

До лекції 14 і лабораторної роботи 14 (2 год.)

а) Ортогональні оператори, їх властивості

б) Унітарні оператори

До лекції 15 і лабораторної роботи 15 (6 год.)

а) Знаходження спряженого оператора до даного оператора

б) Задачі на спряжені оператори

До лекції 16 і лабораторної роботи 16 (6 год.)

а) Зведення ортогональних матриць до канонічного вигляду

б) Зведення унітарних матриць до канонічного вигляду

До лекції 17 і лабораторної роботи 17 (6 год.)

а) Зведення квадратичної форми до головних осей

б) Розв’язання задач на симетричні оператори

Література [2-5, 7-9]

Контрольні питання і завдання:

1. Евклідові простори, основні властивості.

2. Процес ортогоналізації Грама Шмідта.

3. Ортонормовані базиси, ортогональні матриці.

4. Спряжений оператор до даного оператора, його матриця.

5. Поняття унітарного простору, основні властивості унітарних просторів.

6. Канонічний вигляд ортогональних і унітарних матриць

7. Зведення квадратичної форми до головних осей.

Типове завдання модульної контрольної роботи № 4.

Звести квадратичну форму до канонічного вигляду методом Лагранжа.
При яких значеннях параметра квадратична форма є додатно означеною
Знайти базис ортогонального доповнення до підпростору, породженого векторами .
Знайти ортогональну проекцію вектора на підпростір і відстань від до
Знайти ортогональне перетворення, яке зводить матрицю до діагонального вигляду .
Довести, що дійсну симетричну матрицю А можна зобразити у вигляді , де С – дійсна не вироджена матриця тоді і тільки тоді, коли всі її головні мінори додатні.

Перелік питань до іспиту за 2-й семестр

Векторні простори, підпростори, бази і розмірність.
Ізоморфізм векторних просторів однакової розмірності.
Координати вектора. Сума і перетин підпросторів, формула Грасмана.
Прямі суми підпросторів.
Лінійні відображення. Приклади. Матриця лінійного відображення.
Координатний вираз лінійного відображення.
Ядро і образ, ранг і дефект лінійного відображення, зв'язок між ними.
Заміна бази. Матриця переходу. Перетворення координат вектора і матриці лінійного відображення при заміні бази.
Двоїстий (дуальний) простір. Двоїста база. Координати лінійної функції.
Перетворення координат лінійної функції при заміні бази.
Власні числа і власні вектори лінійного оператора. Характеристичний многочлен, його зв'язок з власними числами.
Теорема Гамільтона-Келі.
Діагоналізовність лінійних відображень і матриць без кратних власних чисел.
Поняття про нормальну форму Жордана (без доведень).
Білінійні форми, приклади. Матриця білінійної форми.
Координатний вираз білінійної форми. Перетворення матриці білінійної форми при заміні бази.
Симетричні і кососиметричні білінійні форми. Квадратичні форми, їх зв'язок з білінійними.
Канонічний вигляд симетричних і кососиметричних білінійних форм.
Дійсні квадратичні форми. Додатньо визначені форми. Закон інерції дійсних квадратичних форм.
Критерій Сiльвестра додатньої визначеностіквадратичної форми.
Півторалінійні форми в комплексних векторних просторах. Ермітові форми.
Означення і приклади унітарних та евклідових просторів.
Ортонормовані бази, Існування і способи побудови.
Ізоморфізм унітарних (евклідових) просторів однакової розмірності. Унітарність матриці переходу між ортонормованими базами.
Спряжене лінійне відображення унітарних (евклідових) просторів, його існування та єдиність.
Самоспряжені відображення, їх властивості. Існування власної ортонормованої бази для самоспряженого відображення в унітарному та в евклідовому просторі, відображення.
Унітарні (ортогональні) відображення, їх властивості.
Квадратичні форми в евклідовому просторі, зв'язок з самоспряженими лінійними відображеннями

ЛІТЕРАТУРА

а) основна

Д.К.Фаддеев. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
А.Г.Курош Курс высшей алгебры. М. Наука, 1985.
С.Т.Завало Курс алгебри. К.: Вища школа, 1985.
Л.А.Калужнін, В.А.Вишенський, Ц.О.Шуб Лінійні простори, К.:Вища школа, 1971
Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина, М.: Наука, 1987.
Д.К.Фаддеев, И.С.Соминский. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.

б) додаткова

7. А.И.Кострикин Введение в алгебру. Часть 1, Основы алгебры. М.Физматлит, 2004.

8. А.И.Кострикин Введение в алгебру. Часть 2, Линейная алгебра. М.Физматлит, 2004.

9. Э.Б.Винберг Курс алгебры, М.Факториал Пресс, 2002.

Blog

Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 080300 «Механіка» Затверджено

Содержание